第03讲 两条直线的平行与垂直、交点问题（知识清单+2易错+3必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第03讲 两条直线的平行与垂直、交点问题 题型梳理 易错分析 易错点一 根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面而致错 易错点二 两条直线相交求参数时考虑不全面致误 题型方法 题型一 两条直线平行与垂直的判定 题型二 平行与垂直的应用 题型三 两条直线的交点坐标的应用 知识清单 知识点1 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率都存在 斜率都不存在 图示 对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 两直线斜率都不存在⇒l1∥l2 知识点2 两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 图示 对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1 ⇒l1⊥l2 知识点3 两条直线平行 1. 利用直线方程判定直线平行 (1)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2，且b1≠b2. (2)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔或 当A2B2C2≠0时，l1∥l2⇔=≠. 2. 与已知直线平行的直线方程的设法 (1)与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m(m≠b)； (2)与直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). 知识点4 两条直线垂直 1. 利用直线方程判定直线垂直 (1)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1. (2)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 当B1B2≠0时，l1⊥l2⇔·=-1. 2. 与已知直线垂直的直线方程的设法 (1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线的方程可设为y=-x+m； (2)与直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点5 平行、垂直关系的应用 1. 利用平行、垂直关系求参数 已知两条直线平行、垂直关系求参数时，根据定点1、定点2中平行、垂直的判定条件建立方程(组)求解. 用点的坐标表示斜率，通过斜率列关系式时，要注意对参数的讨论. 2. 利用平行、垂直判断图形形状的步骤 (1)描点：在坐标系中描出给定的点. (2)猜测：根据描出的点猜测图形的形状. (3)求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若斜率存在，则根据给定点的坐标求出直线的斜率. (4)结论：由斜率之间的关系判断图形形状. 　　注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情形. 知识点6 两条直线的交点 1. 设两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，将两条直线的方程联立，得到方程组： 若方程组有唯一解，则两条直线相交，以此解为坐标的点就是两直线的交点. 知识点7 两条直线的位置关系与方程组解的联系 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点8 求过两条直线交点的直线方程的方法  1. 直接法：求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出待求直线的方程. 2. 待定系数法：设经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0 (A2，B2不全为0)的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数)，然后根据条件求λ. 　　注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线. 知识点9 求解直线过定点问题的常用方法 1. 将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式，则直线必过定点(x0，y0). 2. 应用分离参数的方法，将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0，由求出定点坐标. 3. 应用特殊值法，给方程中的参数赋两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，将其联立并求解，则解出的x，y的值分别为所求定点的横、纵坐标 易错分析 【易错点一】根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面而致错 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，即与重合，不满足要求， 当时，，即，则直线平行，满足要求. 故答案为：1 【变式2】（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知直线和，设a为实数，分别根据下列条件求a的值： (1) (2) 【答案】(1)a=4或a= -2 (2)a= 【分析】（1）根据，由a(a-2)-2×4=0求解； （2）根据，由4a= -2(a-2）求解. 【详解】（1）解：因为， 所以a(a-2)-2×4=0， 解得a=4或a= -2． 所以当时，a=4或a= -2； （2）因为， 所以4a= -2(a-2），解得a=． 检验：此时，，成立． 所以当时，a=. 【变式3】（2021高二·江苏·专题练习）设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0． （1）若l1与l2垂直，求m的值． （2）若l1与l2平行，求m的值． 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得m+3（m﹣2）＝0，解可得m的值； （2）根据题意，由直线平行的性质可得m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得m的值，验证直线是否重合即可得答案． 【详解】（1）根据题意，直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0． 若l1与l2垂直，必有m+3（m﹣2）＝0， 解可得； （2）直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0， 若l1与l2平行，必有m（m﹣2）＝1×3＝3， 解可得：m＝﹣1或3， 当m＝﹣1时，直线l1：﹣x+3y﹣1＝0，l2：x﹣3y+1＝0，两条直线重合，不合题意； 当m＝3时，直线l1：3x+3y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，两条直线平行，符合题意； 故m＝3． 【易错点二】两条直线相交求参数时考虑不全面致误 【例2】（2022高三·江苏·专题练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ） A．1 B． C．﹣2 D．﹣1 【答案】A 【分析】分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案. 【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：. 当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形； 当时，直线的斜率为：. 当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形； 当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形； 当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1. 故选：A 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为 【答案】 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得， 若，则，解得， 若，，交于一点，联立方程组，解得， 代入，得， 解得，故a的取值集合为． 故答案为：. 【变式2】（22-23高二·江苏）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    【答案】且 【分析】由题意可分直线、、、直线经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出的值再求其补集可得答案. 【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若，则由，得； ②若，则由，得； ③若，则由，得， 当时，与三线重合，当时，平行． ④若三条直线交于一点，由，解得， 将的交点的坐标代入的方程， 解得 (舍去)，或， 所以要使三条直线能构成三角形，需且． 【变式3】（21-22高二·江苏）已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 【答案】(1)2； (2)当m≠2且m≠－2且m≠. 【分析】(1)联立和的方程求得交点坐标，将此交点坐标代入的方程即可求出m的值； (2)由题意得到三条直线不能构成三角形的情况，求出每一种情况下的值，则答案可求． 【详解】（1）由解得，代入的方程，得m＝2. （2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形． ①联立，解得，代入，得； ②当与平行时，， 当与平行时，． 综上所述，当且时，三条直线能构成三角形． 题型方法 【题型一】两条直线平行与垂直的判定 【例1】（2021高二·江苏·专题练习）下列说法中正确的有（    ） （1）若两条直线斜率相等，则两直线平行； （2）若，则 （3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； （4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可． 【详解】①若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，所以错误． ②若，则两直线的斜率相等或都不存在，所以错误． ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率存在，则两直线相交，正确． ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，所以错误． 故选：A 解题技巧 判断两条不重合的直线是否平行的方法 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)不平行也不垂直 (2)平行 (3)不平行也不垂直 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为-1，斜率相等时注意是否重合即可. 【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直. 【题型二】平行与垂直的应用 【例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【详解】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故. 故选：C 解题技巧 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【详解】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据垂直关系设直线方程为，代入点运输求解即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 代入点可得，解得， 所以过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点和直线：. (1)求过且与直线的平行的直线方程； (2)求点关于直线：的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线平行时，其一般式仅常数项不同，可设所求直线为，再代入即可得解； （2）不妨设所求点为，由对称性可知及线段的中点落在直线上，得到方程组，解之即可. 【详解】（1）因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为， 代入得，解得， 故所求直线方程为. （2）设关于的对称点为， 又直线：可化为， 故由及线段的中点落在直线上可得： ，解得， 所以对称点坐标为. 【题型三】两条直线的交点坐标的应用 【例3】（21-22高二上·江苏连云港·期中）若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求出直线和的交点，再把交点坐标代入即得解. 【详解】解：联立得. 把代入得. 故选：C 解题技巧 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两直线与轴的交点坐标，求得两直线交点坐标，利用向量的夹角公式可求的大小. 【详解】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得. 【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案； （2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案. 【详解】（1）边所在直线的方程为，所在直线的方程为 联立，解得：， 点的坐标为， 中点为， 设点， ，解得， 即点的坐标为. （2）直角的斜边为， , 边所在直线的方程为,斜率为， 边所在的直线方程斜率为， 边所在的直线过点， 边所在的直线方程为，即 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线与垂直，则实数（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线垂直列式计算即得. 【详解】由直线与垂直，得， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线与互相垂直，垂足为，则为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】利用两直线的垂直关系及点在线上计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线与直线相互垂直，则实数的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的充要条件判断即可. 【详解】解：因为直线与直线相互垂直， 所以，即. 故选：C. 5．（22-23高二上·江苏徐州·期中）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 【答案】A 【分析】利用两直线平行关系，可得的系数成比例，再检验是否有重合情况，从而可作出判断. 【详解】由直线与直线平行可得： ，解得：或， 检验，当时，直线与直线重合，故舍去； 当时，直线与直线平行； 故选：A. 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏常州·期中）设a为实数，直线，，则（   ） A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是 C．若，则或 D．恒过点 【答案】AB 【分析】利用反证法可判断A的正误，利用平行或垂直的判断方法可判断BC的正误，求出过的定点后可判断D的正误. 【详解】对于A，若过第一象限的点，则，且， 但故，矛盾，故不过第一象限，故A正确； 对于B，若，则， 故或，由直线可得， 而当时，两条直线的方程分别为：，， 此时两条直线平行，符合，反之，也成立，故的充要条件为，故B正确； 对于C，若，，故或， 但不为零，故C错误； 对于D，直线可化为：， 由可得，即直线过定点，故D错误； 故选：AB 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知三条直线，，，则下列结论正确的有（   ） A．经过定点 B．，的交点坐标为 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】分离参数可得直线过定点，联立直线方程可得交点坐标，再根据直线间位置关系可列方程，解得参数值. 【详解】A选项：，即， 令，解得，即直线过点，A选项正确； B选项：联立直线方程，解得，即直线，的交点坐标为，B选项错误； C选项：由，可得，解得，C选项错误； D选项：时，直线，满足，即，D选项正确； 故选：AD. 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 【答案】AC 【分析】利用截距概念可判断A；根据直线方程可判断B；利用两直线垂直时，斜率之积为可判断C；举反例可判断D. 【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 10．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 【答案】ABD 【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可. 【详解】时，，所以，故A正确； 此时与坐标轴交于 所以D项所求面积，故D正确； 时，， 所以，，故B正确； 时，，解得，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏·期中）过点且与直线平行的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得即可求解. 【详解】设与直线平行的直线为，因为点在直线上， 所以，可得， 所以该直线方程为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是 ． 【答案】， 【分析】求出给定的两条直线的交点坐标，并求出它关于点对称点的坐标，再利用平行四边形的性质求出方程. 【详解】由，解得，则平行四边形的一个顶点, 点关于点对称点，于是平行四边形的另两边过点， 它们分别与直线，平行， 设对应方程为，，， 则，，解得，， 所以这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是，. 故答案为：， 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知、为直线上两点，直线． (1)求直线的方程； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）两点式求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据直线垂直的判定列方程求参数. 【详解】（1）由题设，则， 故； （2）由，则， 可得. 16．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程； （2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程. 【详解】（1）由题意，可设直线方程为， 代入点，有，则， 所求直线方程为； （2）联立，解得， 设所求直线方程为，则，即， 所求直线方程为. 17．（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 18．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 19．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 两条直线的平行与垂直、交点问题 题型梳理 易错分析 易错点一 根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面而致错 易错点二 两条直线相交求参数时考虑不全面致误 题型方法 题型一 两条直线平行与垂直的判定 题型二 平行与垂直的应用 题型三 两条直线的交点坐标的应用 知识清单 知识点1 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率都存在 斜率都不存在 图示 对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 两直线斜率都不存在⇒l1∥l2 知识点2 两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 图示 对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1 ⇒l1⊥l2 知识点3 两条直线平行 1. 利用直线方程判定直线平行 (1)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2，且b1≠b2. (2)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔或 当A2B2C2≠0时，l1∥l2⇔=≠. 2. 与已知直线平行的直线方程的设法 (1)与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m(m≠b)； (2)与直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). 知识点4 两条直线垂直 1. 利用直线方程判定直线垂直 (1)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1. (2)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 当B1B2≠0时，l1⊥l2⇔·=-1. 2. 与已知直线垂直的直线方程的设法 (1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线的方程可设为y=-x+m； (2)与直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点5 平行、垂直关系的应用 1. 利用平行、垂直关系求参数 已知两条直线平行、垂直关系求参数时，根据定点1、定点2中平行、垂直的判定条件建立方程(组)求解. 用点的坐标表示斜率，通过斜率列关系式时，要注意对参数的讨论. 2. 利用平行、垂直判断图形形状的步骤 (1)描点：在坐标系中描出给定的点. (2)猜测：根据描出的点猜测图形的形状. (3)求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若斜率存在，则根据给定点的坐标求出直线的斜率. (4)结论：由斜率之间的关系判断图形形状. 　　注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情形. 知识点6 两条直线的交点 1. 设两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，将两条直线的方程联立，得到方程组： 若方程组有唯一解，则两条直线相交，以此解为坐标的点就是两直线的交点. 知识点7 两条直线的位置关系与方程组解的联系 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点8 求过两条直线交点的直线方程的方法  1. 直接法：求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出待求直线的方程. 2. 待定系数法：设经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0 (A2，B2不全为0)的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数)，然后根据条件求λ. 　　注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线. 知识点9 求解直线过定点问题的常用方法 1. 将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式，则直线必过定点(x0，y0). 2. 应用分离参数的方法，将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0，由求出定点坐标. 3. 应用特殊值法，给方程中的参数赋两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，将其联立并求解，则解出的x，y的值分别为所求定点的横、纵坐标 易错分析 【易错点一】根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面而致错 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，若，则 ． 【变式2】（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知直线和，设a为实数，分别根据下列条件求a的值： (1) (2) 【变式3】（2021高二·江苏·专题练习）设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0． （1）若l1与l2垂直，求m的值． （2）若l1与l2平行，求m的值． 【易错点二】两条直线相交求参数时考虑不全面致误 【例2】（2022高三·江苏·专题练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ） A．1 B． C．﹣2 D．﹣1 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为 【变式2】（22-23高二·江苏）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    【变式3】（21-22高二·江苏）已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 题型方法 【题型一】两条直线平行与垂直的判定 【例1】（2021高二·江苏·专题练习）下列说法中正确的有（    ） （1）若两条直线斜率相等，则两直线平行； （2）若，则 （3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； （4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题技巧 判断两条不重合的直线是否平行的方法 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【题型二】平行与垂直的应用 【例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 解题技巧 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点和直线：. (1)求过且与直线的平行的直线方程； (2)求点关于直线：的对称点的坐标. 【题型三】两条直线的交点坐标的应用 【例3】（21-22高二上·江苏连云港·期中）若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 解题技巧 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线与垂直，则实数（　　） A．3 B． C． D．2 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线与互相垂直，垂足为，则为（    ） A． B． C．0 D．4 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线与直线相互垂直，则实数的值是（    ） A．3 B． C． D． 5．（22-23高二上·江苏徐州·期中）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏常州·期中）设a为实数，直线，，则（   ） A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是 C．若，则或 D．恒过点 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知三条直线，，，则下列结论正确的有（   ） A．经过定点 B．，的交点坐标为 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 10．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏·期中）过点且与直线平行的直线方程为 ． 12．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 14．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知、为直线上两点，直线． (1)求直线的方程； (2)若，求实数的值． 16．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 17．（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 18．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 19．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$