第02讲 直线的方程（知识清单+易错+6必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第02讲 直线的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略直线截距均为0的特殊情况致误 题型方法 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 直线的两点式方程 题型四 直线的截距式方程 题型五 直线的一般式方程 题型六 方程含参数的直线过定点问题 知识清单 知识点1 截距 　　我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距；直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距. (不是距离，可正、可负、可为0) 知识点2 直线的方程 名称 方程形式 已知条件 适用范围 点斜式方程 y-y1=k(x-x1) 直线上一定点(x1，y1)，斜率k 不垂直于x轴的直线 斜截式方程 y=kx+b 斜率k，直线在y轴上的截距b 不垂直于x轴的直线 两点式方程 = (x1≠x2，y1≠y2) 直线上两点(x1，y1)，(x2，y2) 不垂直于x轴和y轴的直线 截距式方程 +=1 (a≠0，b≠0) 直线在x轴、y轴上的非零截距a，b 不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线 一般式方程 Ax+By+C=0 (A，B不全为0) 系数A，B，C 任何位置的直线 注：几种特殊的直线： (1)x轴：y=0； (2)y轴：x=0； (3)平行于x轴的直线：y=b(b≠0)； (4)平行于y轴的直线：x=a(a≠0)； (5)过原点的直线：y=kx或x=0. 知识点3 直线方程的合理选择和求解 1. 直线方程的合理选择 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率. 注意斜率不存在的情况. (2)已知直线的斜率，一般选用斜截式方程，再由其他条件确定直线的截距. (3)已知两点坐标，一般选用两点式方程或点斜式方程，若两点是直线与坐标轴的交点，则选用截距式方程. 2. 求直线方程的两种方法 (1)直接法：根据已知条件选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时应注意各种形式方程的适用范围，必要时进行分类讨论. (2)待定系数法：先设含有参数的直线方程，然后根据条件列出方程(组)，求出参数，最后将其代入得到直线方程. 注意： ①在求直线方程时，通常将结果化为一般式方程. ②一般式方程的写法要求： (i)x的系数为非负数； (ii)x，y的系数都为整数； (iii)各项系数没有公约数. 知识点4 利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题 1. 对于含参数的直线方程，一般将方程整理成点斜式或斜截式，然后利用系数的几何意义，结合图形探求和证明过定点问题. 2. 根据斜截式方程中k，b的几何意义，可确定函数图象的位置分布. 易错分析 【易错点一】忽略直线截距均为0的特殊情况致误 【例1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】分截距为0和不为0两种情况，设出方程，代入求解即可. 【详解】当截距为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点，直线：. (1)求过点且垂直于的直线方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件设出所求直线方程，将点的坐标代入即可； （2）当所求直线的截距为0时，由条件求出方程；当截距不为0时，由条件设直线方程为，然后将点坐标代入即可. 【详解】（1）设过点且垂直于的直线方程为， 则，， 所以过点且垂直于的直线方程为； （2）当直线的截距为0时，直线方程为，即； 当直线的截距不为0时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得， 因此所求直线方程为，即. 故所求直线方程为或. 题型方法 【题型一】直线的点斜式方程 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期中）过两点和的直线在x轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点斜式写出直线方程，然后令可得结论． 【详解】直线的斜率，∴直线的方程为，即， 令，解得，∴直线在x轴上的截距为， 故选：A． 解题技巧 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)． (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式公式带入条件即可. 【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 【变式2】（21-22高二上·江苏宿迁·期中）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为 【答案】 【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 【答案】 【分析】由题意可求出直线的倾斜角，即可求得其斜率，继而可得答案. 【详解】∵直线的斜率为， ∴直线的倾斜角为， ∵直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， ∴直线l的倾斜角为，即直线l的斜率为， 又直线l过点， ∴直线l的点斜式方程为. 【题型二】直线的斜截式方程 【例2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知直线斜率为，在轴上的截距为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜截式直接求直线方程即可. 【详解】由直线斜率为，在轴上的截距为，即，， 则直线方程为：，即， 故选：D. 解题技巧 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据斜率和倾斜角的关系以及直线的斜截式方程求解即可. 【详解】直线，即， 故选：D 【变式2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】直线l的斜截式方程为，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形面积，解出的值得方程. 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【分析】求出直线的斜率及其在轴上的截距，即可得出直线的斜截式方程. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 【题型三】直线的两点式方程 【例3】（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（　　） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 【答案】B 【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解. 【详解】解：因为A（1，2），B（3，1）， 所以线段AB的中点坐标为， 所以过点M和线段AB的中点的直线方程为， 即. 故选：B. 解题技巧 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 【变式2】（21-22高二·江苏）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】根据直线的两点式方程的求法即可求得答案. 【详解】（1）直线的两点式方程为. （2）直线的两点式方程为. （3）直线的两点式方程为. 【变式3】（21-22高二·江苏）根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)在x轴、y轴上的截距分别是3，； (2)过点，且在y轴上的截距为6； (3)过点，且在x轴上的截距为3. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】根据直线两点式方程的求法即可求得答案. 【详解】（1）由题意，直线过点，所以由直线的两点式方程可得； （2）由题意，直线过点和（0,6），所以由直线的两点式方程可得； （3）由题意，直线过点和（3,0），所以由直线的两点式方程可得. 【题型四】直线的截距式方程 【例4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件，按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解作答. 【详解】依题意，直线过原点时，直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故选：C 解题技巧 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·江苏苏州·期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分两种情况：过原点和不过原点进行讨论，结合直线的截距式方程解题﹒ 【详解】直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，即； 若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为：， 把点代入可得：，解得． ∴直线方程为：，即． 综上可得满足条件的直线的条数为2． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 【题型五】直线的一般式方程 【例5】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由得：， 所以直线的斜率为， 直线的倾斜角为. 故选：D 解题技巧 求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是线段的中点，可得两点坐标，后可得直线方程. 【详解】由题意，设因为是线段的中点，则， 解得，所以则直线l的方程为，即 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出点坐标，由直线的倾斜角得出旋转后直线的倾斜角，由斜截式得直线方程，再整理即得． 【详解】在中令得，所以， 又直线的斜率为，倾斜角为，将绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，直线方程为， 一般式为. 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·江苏）求经过直线，的交点P，且经过点的直线的一般方程. 【答案】 【分析】先求出交点，再由两点式求出直线的方程. 【详解】联立，得，即， 又因为直线经过点， 由两点式得，即. 【题型六】方程含参数的直线过定点问题 【例6】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【详解】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 【变式2】（21-22高二上·江苏南京·阶段练习）若直线：恒过定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】首先整理可得，解方程组即可得解. 【详解】由可得： ， 所以， 解得，所以定点坐标为， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线. (1)当直线在x轴上的截距是它在上的截距3倍时，求实数的值； (2)求直线所过定点的坐标. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值； （2）由直线过定点的求法，列出关于的方程组即可求解. 【详解】（1）由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得， ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. （2） ， 所以直线所过定点的坐标为. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点斜式方程求解即可. 【详解】所求直线方程为，即. 故选：B. 6．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出，结合图象，即可确定答案. 【详解】由可得， 即直线过定点，设为P， 结合，则，    直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或，即或， 故m的范围为， 故选：D 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】AC 【分析】由斜率，倾斜角，点斜式与斜截式概念判断各选项正误； 【详解】A选项，因倾斜角为90°，则直线斜率不存在，又直线 过点，则其方程是，故A正确； B选项，方程与方程y－2＝k(x＋1)相比，不含点， 故B错误； C选项，因直线斜率为0，则直线形式为，又l过点， 则其方程是，故C正确； D选项，对于斜率不存在的直线，不存在相应的点斜式和斜截式方程，故D错误. 故选：AC 8．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 【答案】BC 【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 【详解】根据斜率公式，，故A错误， 设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确， 根据点斜式方程，直线的方程可写作，即， 令，则，令，则， 故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误. 故选：BC 9．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）直线，下列图象中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线， A选项，由图可知：，所以A选项错误. B选项，由图可知：，所以B选项正确. C选项，由图可知：，所以C选项正确. D选项，由图可知：，所以D选项错误. 故选：BC 三、填空题 10．（24-25高二上·江苏·期中）过点，斜率为所在直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】直接根据点斜式方程的定义得到答案. 【详解】根据点斜式方程的定义，所求的方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】把方程化为关于的等式，然后由恒等式知识求解． 【详解】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知，，，中的三个点在直线上，则 . 【答案】6 【分析】由可得在同一条直线上，利用点斜式可求得该直线，然后检验B不在该直线上，即可得到直线，即可求得答案 【详解】由题意可得，，且直线有公共点， 所以在同一条直线上， 所以该直线为，即， 由于不满足，故直线为， 所以，所以 故答案为：6 13．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 【答案】或 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 14．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 【答案】 【分析】先求出直线的横纵截距，再构建方程，解之即可. 【详解】因为直线l的方程为， 即， 由题意可知：，即， 即直线l的方程为， 所以，当时，， 当时，， 由直线l在x轴和y轴上的截距相等，可知， 解得. 15．（2023高二上·江苏·专题练习）已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线方程的两点式求解； （2）先求得AC的中点，再由点B的坐标，利用直线方程的两点式求解. 【详解】（1）解：由两点式得边AB所在直线的方程为， 即. （2）由题意，得点D的坐标为， 由两点式，得BD所在直线的方程为， 即. 16．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件分别求直线l的方程： (1)直线过点，直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0； (2)直线l经过点，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）①当直线l经过原点时，直线l的方程为；②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为，代点求得a的值，得出直线方程． （2）设直线l方程为，由l与两坐标轴围成的三角形的面积为1，可得，解得k的值，得出直线方程． 【详解】（1）①当直线l经过原点时，在x轴、y轴上的截距之和等于0， 此时直线l的方程为，即； ②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为， 在直线l上， ，，即. 综上，直线l的方程为或. （2）由题意，斜率k存在，设直线方程为， 令得，令，得， 又由l与两坐标轴围成的三角形的面积为1， 可得，解得或， 直线l的方程为或， 综上所述，直线l的方程为或. 17．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直线的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略直线截距均为0的特殊情况致误 题型方法 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 直线的两点式方程 题型四 直线的截距式方程 题型五 直线的一般式方程 题型六 方程含参数的直线过定点问题 知识清单 知识点1 截距 　　我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距；直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距. (不是距离，可正、可负、可为0) 知识点2 直线的方程 名称 方程形式 已知条件 适用范围 点斜式方程 y-y1=k(x-x1) 直线上一定点(x1，y1)，斜率k 不垂直于x轴的直线 斜截式方程 y=kx+b 斜率k，直线在y轴上的截距b 不垂直于x轴的直线 两点式方程 = (x1≠x2，y1≠y2) 直线上两点(x1，y1)，(x2，y2) 不垂直于x轴和y轴的直线 截距式方程 +=1 (a≠0，b≠0) 直线在x轴、y轴上的非零截距a，b 不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线 一般式方程 Ax+By+C=0 (A，B不全为0) 系数A，B，C 任何位置的直线 注：几种特殊的直线： (1)x轴：y=0； (2)y轴：x=0； (3)平行于x轴的直线：y=b(b≠0)； (4)平行于y轴的直线：x=a(a≠0)； (5)过原点的直线：y=kx或x=0. 知识点3 直线方程的合理选择和求解 1. 直线方程的合理选择 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率. 注意斜率不存在的情况. (2)已知直线的斜率，一般选用斜截式方程，再由其他条件确定直线的截距. (3)已知两点坐标，一般选用两点式方程或点斜式方程，若两点是直线与坐标轴的交点，则选用截距式方程. 2. 求直线方程的两种方法 (1)直接法：根据已知条件选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时应注意各种形式方程的适用范围，必要时进行分类讨论. (2)待定系数法：先设含有参数的直线方程，然后根据条件列出方程(组)，求出参数，最后将其代入得到直线方程. 注意： ①在求直线方程时，通常将结果化为一般式方程. ②一般式方程的写法要求： (i)x的系数为非负数； (ii)x，y的系数都为整数； (iii)各项系数没有公约数. 知识点4 利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题 1. 对于含参数的直线方程，一般将方程整理成点斜式或斜截式，然后利用系数的几何意义，结合图形探求和证明过定点问题. 2. 根据斜截式方程中k，b的几何意义，可确定函数图象的位置分布. 易错分析 【易错点一】忽略直线截距均为0的特殊情况致误 【例1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点，直线：. (1)求过点且垂直于的直线方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 题型方法 【题型一】直线的点斜式方程 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期中）过两点和的直线在x轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)． (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·江苏宿迁·期中）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 【题型二】直线的斜截式方程 【例2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知直线斜率为，在轴上的截距为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【题型三】直线的两点式方程 【例3】（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（　　） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 解题技巧 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【变式2】（21-22高二·江苏）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【变式3】（21-22高二·江苏）根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)在x轴、y轴上的截距分别是3，； (2)过点，且在y轴上的截距为6； (3)过点，且在x轴上的截距为3. 【题型四】直线的截距式方程 【例4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 解题技巧 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·江苏苏州·期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【题型五】直线的一般式方程 【例5】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏）求经过直线，的交点P，且经过点的直线的一般方程. 【题型六】方程含参数的直线过定点问题 【例6】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2】（21-22高二上·江苏南京·阶段练习）若直线：恒过定点，则定点坐标为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线. (1)当直线在x轴上的截距是它在上的截距3倍时，求实数的值； (2)求直线所过定点的坐标. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 8．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 9．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）直线，下列图象中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 10．（24-25高二上·江苏·期中）过点，斜率为所在直线的点斜式方程为 ． 11．（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知，，，中的三个点在直线上，则 . 13．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 四、解答题 14．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 15．（2023高二上·江苏·专题练习）已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 16．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件分别求直线l的方程： (1)直线过点，直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0； (2)直线l经过点，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 17．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$