精品解析：广东省梅州市五华县双华中学2025年中考数学模拟练习卷

梅州市五华县双华中学2025年中考数学模拟练习卷 满分120分 120分钟 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有76300人，76300用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个扇形统计图中，已知某部分所对的圆心角为，则该部分占总体的百分比是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，，，为垂足．若，则菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 8. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数（、）的图象上，点P是上的动点，连结，若半径为3，的最大值是8，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：=_______________. 12. 化简的结果为_______． 13. 现规定一种新运算：，若，则_____． 14. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为_____． 15. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为__________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解不等式组： 17. 已知，，有三个代数式：，，． （1）因式分解； （2）在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 18. 如图，在中，． （1）利用尺规求作线段的垂直平分线，分别交于点D，E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，若，，求的长． 19. 中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163 乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 160 160.5 a 3.6 乙 160 b 159 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由． （3）在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数？若以优秀率作为评判标准请判断哪位员工更加优秀？请说明理由． 20. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度即与之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集； （3）过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点． 22. 直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． （1）求点的坐标； （2）如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； （3）过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 23. 如图，是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于点，同时过点作，交于点． （1）设度，直接写出____________度，____________度（用含的代数式表示）； （2）如图，过点作，交的延长线于点，连接，其中，； 试问的值是否是定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； 求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市五华县双华中学2025年中考数学模拟练习卷 满分120分 120分钟 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先估算无理数的大小，然后根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是3， 故选：C． 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有76300人，76300用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、二次根式的加法、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、二次根式的加法、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 5. 在一个扇形统计图中，已知某部分所对的圆心角为，则该部分占总体的百分比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，直接用该扇形的圆心角度数除以360度再乘以百分之一百即可得到答案． 【详解】解：， ∴该部分占总体的百分比是， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 7. 如图，菱形中，，，为垂足．若，则菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据菱形的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的长度，最后根据菱形的性质即可求出其周长． 【详解】解∶∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ， ∴， ∴菱形的周长是， 故选∶A． 8. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲有只羊，乙有只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得， ． 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内的增大而减小， ∵，，都在函数图象上，， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数（、）的图象上，点P是上的动点，连结，若半径为3，的最大值是8，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】如图，当过圆心A时，取最大值8，连接，可得轴，，，利用勾股定理求出，得到点A坐标，进而可求k的值． 【详解】解：如图，当过圆心A时，取最大值8，连接， ∵与y轴相切于点B， ∴轴， ∵半径为3， ∴，， ∴， ∴， ∵点在函数（、）的图象上， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到圆的距离，切线的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出点A坐标是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 12. 化简的结果为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后按照同分母分式加减运算法则计算并约分即可． 【详解】解： ． 13. 现规定一种新运算：，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算以及解一元一次方程，利用题中的新定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ 解得，， 故答案为：． 14. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为 故答案为：． 15. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，设，得到，证明，列出比例式求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，设， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 在中，； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 此不等式组的解集为． 17. 已知，，有三个代数式：，，． （1）因式分解； （2）在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】（1） （2） 选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，． （1）利用尺规求作线段的垂直平分线，分别交于点D，E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． （1）利用基本作图，作的垂直平分线即可； （2）连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，，则，根据直角三角形斜边上中线的性质得出 ，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 点是的中点，， ， ． 19. 中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163 乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 160 160.5 a 3.6 乙 160 b 159 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由． （3）在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数？若以优秀率作为评判标准请判断哪位员工更加优秀？请说明理由． 【答案】（1），，3 （2） 乙员工更加优秀，理由如下： 因为乙的方差小于甲的方差， 所以乙所包粽子质量质量比较稳定； （3）甲员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个，乙员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个， 甲员工更加优秀，理由： 甲员工所包粽子的优秀率为， 乙员工所包粽子的优秀率为， 甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率， 甲员工更加优秀． 【解析】 【分析】本题考查了求众数、中位数、方差的应用；样本估计总体； （1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可，根据方差的定义求出乙的方差即可； （2）比较两者方差的大小即可； （3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 乙的中位数为第5、6 个数的平均数，， ， 故答案为：，，3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：个， 个， 甲员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个，乙员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个． 20. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度即与之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）闸机通道的宽度即与之间的距离为 （2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形、分式方程的应用，掌握在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半、列分式方程并求解是解题的关键． （1）连接，延长交于点G；延长交于点H，则，，根据“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”分别求出、，再由计算闸机通道的宽度即与之间的距离即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列关于x的分式方程并求解，再计算的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点G；延长交于点H． 由题意可知，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴闸机通道的宽度即与之间的距离为． 【小问2详解】 解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （人）． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集； （3）过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点． 【答案】（1） （2）或 （3） 证明：由（1）可知，，， 根据题意可得，， 设直线解析式为，代入、坐标得： ，解得， 直线解析式为， 故直线经过原点． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得； （2）根据函数图象直接写出不等式解集即可； （3）根据题意可得，，待定系数法求出直线解析式是正比例函数即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键． 【小问1详解】 解：当时，一次函数， ， 、两点都在反比例函数图象上． ，即， ． ，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 根据函数图象可知不等式的解集为：或． 【小问3详解】 略 22. 直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． （1）求点的坐标； （2）如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； （3）过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有，最大值为8，最小值为0 【解析】 【分析】（1）令，求出值即可； （2）利用一元二次方程根的判别式解决函数交点问题； （3）根据题意易得，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，，，从而求出解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ； 【小问2详解】 解：抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当时，抛物线开口向下，与直线没有交点， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：直线且过点， 直线解析式为， ， ， ， ， 当时，不成立， ， 如图， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， 点、、、四点共圆， 设点为外接圆圆心 过作于， 点在上， 连接， 在中，， 解得半径，， 点，点在第一象限内， ， ，，， 将，，代入抛物线得： ，解得：， ， ， ， 最大值为8，最小值为0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与直线交点问题、四点共圆、二次函数最值等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于点，同时过点作，交于点． （1）设度，直接写出____________度，____________度（用含的代数式表示）； （2）如图，过点作，交的延长线于点，连接，其中，； 试问的值是否是定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； 求出的最大值． 【答案】（1），； （2）是定值；最大值为． 【解析】 【分析】（）作圆周角，可求得，进而得出 ， 根据得出； （）作于，可证得 ，从而，从而求得的值，可证得，从而得出结果； 可得出，从而，从而得出 ，从而当点在的中点时，最大， 进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图，作圆周角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图， 是定值，理由如下： 作于， ∴，， 由 （） 知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点共圆， ∴， 由（） 知，， ∴， ∴， ∴； 由上知，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当点在的中点时，最大， 如图，连接，交于点， ∴， ∴， ∴最大． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $