精品解析：2025年广东省江门市蓬江区省实学校中考二模数学试题

2024-2025学年九年级数学中考模拟考试（二） （本试卷共23题，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 3. 随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在网格中，小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2025的相反数是_________． 12. 因式分解：______． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 14. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____． 15. 如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 已知中，． （1）过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）所作的图中连结，求四边形的周长． 18. 图1是一辆在平地上滑行滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手A离地面的高度（参考数据：，，）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 【问题情境】 如图1，这是一种电风扇横截面示意图，点为电风扇横截面的圆心，为底座下部的圆的直径，若连接，则与分别交于两点，且． 【问题探究】 （1）如图2，设是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，，求证：是的切线． 【问题解决】 （2）如图2，连接，经测量可得，，，求电风扇的半径的长． 21. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数，且是整数）． （1）设该影院每天的利润为（单位：元），求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少 四、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分． 22. 定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． （1）直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． （2）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； （3）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 23. 如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为． （1）如图，在旋转过程中， ①判断与是否全等，并说明理由； ②当时，与交于点，求的长． （2）如图，延长交直线于点． ①求证：； ②在旋转过程中，线段长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级数学中考模拟考试（二） （本试卷共23题，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：如果将零下记作，那么表示零上． 故选：A． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方运算法则计算出各项后再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算正确，符合题意； D. ，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 5. 由8个大小相同正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案． 本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键． 【详解】解：由题干中的几何体可得其左视图为， 故选：A． 6. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，依题意得，再求出，进而根据平行线的性质得，然后再根据即可得出的度数． 【详解】解：依题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确做出辅助线是解本题的关键；连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵是上的一条弦，直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据勾股定理，可得、的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理，得，，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 故选：D． 10. 定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2025的相反数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与它符号相反但绝对值相等的数． 【详解】解：由相反数的定义可知，2025的相反数是． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 14. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：， 则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为， 则圆锥的底面积为 ， 该圆锥的表面积是． 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案． 【详解】解： 最短，则最短， 如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于， 则 此时点满足最短， 平分 而的长为： 最短为 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的立方根、算术平方根和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算立方根、算术平方根和特殊角的三角函数值，然后进行加减计算． 【详解】解： ． 17. 已知中，． （1）过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）所作的图中连结，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）按照作一个角等于已知角的方法和作角平分线的方法画图即可； （2）根据平行线性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，根据三线合一和线段的垂直平分线的性质可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，平分， ∴， ∴四边形的周长为． 18. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手A离地面的高度（参考数据：，，）． 【答案】把手A离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点A作于点D，延长交地面于点E，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点A作于点D，延长交地面于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴把手A离地面的高度为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 20. 【问题情境】 如图1，这是一种电风扇的横截面示意图，点为电风扇横截面的圆心，为底座下部的圆的直径，若连接，则与分别交于两点，且． 【问题探究】 （1）如图2，设是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，，求证：是的切线． 【问题解决】 （2）如图2，连接，经测量可得，，，求电风扇的半径的长． 【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】 【分析】本题考查切线的证明，相似三角形的性质与判定，解题的关键是根据实际物品构造几何图形解题． （1）先证明，即可得到，最后根据可得，即是的切线； （2）先证明，得到，代入计算即可． 【详解】（1），， ， 点是线段的中点， ， ， 即， 是的切线； （2），， ， ， ， ， ，， ， 解得． 21. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数，且是整数）． （1）设该影院每天的利润为（单位：元），求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少 【答案】（1） （2）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值， 此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 四、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分． 22. 定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． （1）直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． （2）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； （3）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1） （2）27 （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据衍生抛物线的定义解答即可； 对于（2），先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式，求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案； 对于（3），先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，再求出解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是 ∴衍生抛物线的对称轴是， ∴衍生抛物线的关系式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点，根据题意，得 ， 解得. ∵， ∴． ∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，则交点坐标为． ∵两个抛物线的顶点坐标为， ∴伴随三角形的面积； 【小问3详解】 解：由（2），知， 抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，交点坐标为． ∴顶点坐标为． ∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点， ∴当时，是直角三角形， ∴， 即， 解得或（舍去）． 所以． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数与几何图形，直角三角形的性质，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 23. 如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为． （1）如图，在旋转过程中， ①判断与是否全等，并说明理由； ②当时，与交于点，求的长． （2）如图，延长交直线于点． ①求证：； ②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①全等，证明见解析；②；（2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS）即可证明；②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出，再由求出结果； （2）①根据全等三角形性质可得，再在和中由三角形内角和定理得出，从而证明结论；②根据∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大时，即GD⊥AG时，进而可知CEF三点共线，F与P重合，求出此时CE长，继而可得CP最大值． 【详解】解：（1）①全等，理由如下： 在等腰直角三角形中，AD=CD，， 在正方形中，GD=ED，， 又∵，， ∴ 在和中， ， ∴（SAS）； ②如解图2，过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N， ∵点是中点， ∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2， 由①得， ∴， 又∵， ∴， ∵AM⊥GD， ∴， 又∵ ， ∴四边形GMNF是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴． （2）①由①得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：； ②∵， ∴， ∴当最大时，PC最大， ∵∠DAC=45°，是定值， ∴最大时，最大，PC最大， ∵AD=4，GD=2， ∴当GD⊥AG，最大，如解图3， 此时， 又∵，， ∴F点与P点重合， ∴CEFP四点共线， ∴CP=CE+EF=AG+EF=， ∴线段得最大值为：． 【点睛】本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $