精品解析：广东惠州市合生实验学校2025-2026学年春季八年级数学阶段性课堂练习

广东惠州市合生实验学校2025-2026学年春季八年级数学阶段性课堂练习 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为最简二次根式． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数30不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D．，被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式． 2. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键掌握邻角互补的关系．根据平行四边形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，与是邻角， ∴ ， ∵， ∴， 故选：A． 4. 在中，，若，，则的值是（ ） A. 10 B. C. D. 4.8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB=90°， ∴， ∴EF=DE-DF=1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7. 若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，由题意可得这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵一个多边形的外角和与内角和相等， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，则， 解得：， 故选：A． 8. 在长方形ABCD中，，，连接AC，的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边，再利用角平分线的性质求出，最后用等面积法列出方程，解方程即可． 【详解】如图，过点E作于点F ∵的角平分线交BC于点E，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质及等面积法的应用，作辅助线是解题的关键． 9. 如图，在中，D是边的中点，平分，于点E，连接．若，．则的长度是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．延长，交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长，交于点F， ∵平分，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∴； 故选：C． 10. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出如图辅助线，根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， 由题可得，， ∴， 又∵， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∵正方形和正方形的面积分别为，，且，， ∴正方形的面积， ∴正方形和正方形的面积之比为， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算、平方差公式，利用平方差公式进行计算是解题的关键．先利用平方差公式化简，再利用二次根式的性质计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：1． 12. 如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质；根据中位线的性质得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点，， ∴ ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用角的性质求出的长度；再在中，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，，， ∴． 14. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，根据化简结果即可解答． 【详解】解：是整数，是正整数， 又， 是完全平方数， 最小的正整数的值为． 15. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． 17. 如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ． ， ∴， 是直角三角形，， ． 18. 如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形可得即可证明结论； （2）由四边形是菱形可得，再证为等边三角形，即，再由四边形是矩形可得，然后由四边形是菱形可得，运用勾股定理可得，最后根据菱形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、矩形的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质是解答本题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： （1）分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． （2）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）中分母有理化将分子分母同乘分母的共轭根式，化简后得；理想二次根式，找且的两个数,，配方化简为； （2）中先将分母有理化得，再将的分母配方化简为，分母有理化得，最后求的值，根号部分恰好抵消，结果为整数3． 【小问1详解】 解：， ， 令， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1）学校C会受噪声影响．理由见解析 （2）环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点C作于D，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （2）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【小问1详解】 解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴． ∴是直角三角形． ∴， ∴，解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． 【小问2详解】 解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵，同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 21. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________； （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 【答案】（1），，，；（2）图见解析；的面积为3；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算的三边长；利用所在正方形的面积减去周围直角三角形的面积可求其面积； （2）仿照第一小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出，并利用割补法求其面积即可； （3）利用秦九韶公式，代入求值即可． 【详解】解：（1），，， 的面积， 故答案为，，，； （2）如图所示， 的面积； （3）将，，代入秦九韶公式， 得 ． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用以及二次根式的运算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． （2）如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知在中，，求的面积． 【答案】（1） （2）新路比原路少千米 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：依题意，， ， ， ． 【小问2详解】 解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． 【小问3详解】 解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 23. 【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，点在上运动，连接．探究的度数是否不变． （1）【特例探究】如图2，小明令点A恰好为的中点，根据已知条件，求出了的度数是 ．（直接写出答案） （2）【类比探究】请你利用图1，解答点A不是的中点时，的度数是否不变． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）①以、、为边的三角形是直角三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）可证得到，进而得到； （2）根据等边三角形性质得出，，再证，求得； （2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结，根据正方形性质，得出，再证得出，可证为直角三角形即可；②连结，根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵与均为等边三角形， ∴， 又A恰好为的中点， ， ， 在和中， ， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：不变， ∵与均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①以、、为边的三角形是直角三角形． 连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②连接， ∵为直角三角形，， 由（2）可知，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东惠州市合生实验学校2025-2026学年春季八年级数学阶段性课堂练习 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若，，则的值是（ ） A. 10 B. C. D. 4.8 5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在长方形ABCD中，，，连接AC，的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 9. 如图，在中，D是边的中点，平分，于点E，连接．若，．则的长度是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于______． 12. 如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为__________． 13. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为________． 14. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 15. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 18. 如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： （1）分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． （2）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 20. 如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 21. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________； （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． （2）如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知在中，，求的面积． 23. 【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，点在上运动，连接．探究的度数是否不变． （1）【特例探究】如图2，小明令点A恰好为的中点，根据已知条件，求出了的度数是 ．（直接写出答案） （2）【类比探究】请你利用图1，解答点A不是的中点时，的度数是否不变． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $