精品解析：黑龙江省大庆市靓湖三部联考2024-2025学年九年级下学期5月期中数学试题

2024—2025学年度下学期期中初 四 年级 数学 试 题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间 120 分钟． 5．全卷共 28 小题，总分 120 分． 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94 7. 函数的大致图像是( ) A. B. C. D. 8. 如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当点落在上时，四边形是菱形 C. 在点运动的过程中，线段的最小值为2 D. 连接，则四边形的面积始终等于 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0或1 C. 点P在直线m上，如果，那么直线m是线段AB的垂直平分线 D. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形是位似多边形． 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 化简：________． 12. 已知，，则______． 13. 古希腊著名数学家阿基米德墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，就是圆柱容器内放了一个球，四周紧贴容器内壁（如图），此时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等．在这个模型中，球的体积与圆柱的体积比为2∶3，球的表面积与圆柱的表面积比也为2∶3，这是阿基米德最为满意的一个科学发现．小明经过测量发现“圆柱容球”模型中圆柱的高为6厘米，请你结合所学的知识，从上面的材料中找到灵感，球体的体积是__________．（结果保留） 14. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 15. 不等式组的所有整数解的和是_________． 16. 如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 17. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿． 18. 抛物线（是常数，）经过两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程有实数根；④点在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是__________（填写序号）． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 21. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 22. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 23. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 24. 如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．（两张纸条不完全重合）． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线、所夹锐角的度数． （3）若矩形的两边长分别是8和4，设四边形的面积为S，则S的取值范围为_______． 25. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 26. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当___________时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 27. 已知：的内接等腰三角形，．在边上任取一点(不与点，重合)，连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① （1）求证：与相切． （2）如图②，连接，与相交于点．求证：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等． （3）如图②，连接，与相交于点．当确定时，线段的长存在最大值．当，时，请直接写出长的最大值为_______． 28. 已知二次函数（a为常数）． （1）求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； （3）若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与二次函数图象交于E，F两点，直线与直线相交于点P． ①通过证明可以得出结论：点P在一条定直线上．请直接写出这条定直线的解析式_______．（不用写证明过程） ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期中初 四 年级 数学 试 题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间 120 分钟． 5．全卷共 28 小题，总分 120 分． 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据物体及其俯视图即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，它的主视图如图所示： ， 故选：． 4. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球， 列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种， 即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是， 故选：C． 6. 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义及计算，根据各定义及计算公式分别判断，正确掌握各定义及计算方法是解题的关键 【详解】解：将数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，共7个数据,居中的一个数据是95， ∴中位数是95，故A选项正确； 这组数据中出现次数最多的数据是95，故众数是95，故C选项正确； 这组数据的平均数是，故D选项正确； 这组数据的方差为，故B选项错误； 故选：B 7. 函数的大致图像是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项． 【详解】解：函数自变量的取值范围为． 对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意； 对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除． 8. 如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当点落在上时，四边形是菱形 C. 在点运动的过程中，线段的最小值为2 D. 连接，则四边形的面积始终等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，根据动点的不同位置分析是解题的关键． 当时，证，当点落在上时，证，连接，证，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A．当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴该选项是正确的，不符合题意； B．当点落在上时，， ∴是菱形， ∴该选项是正确的，不符合题意； C．当点在点时，作于点，作于点，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在点运动的过程中，线段的最小值不为， 该选项是错误的，符合题意； D．连接，则， ∴四边形的面积始终等于， 该选项是正确的，不符合题意； 故选：C． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0或1 C. 点P在直线m上，如果，那么直线m是线段AB的垂直平分线 D. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形是位似多边形． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质、平方根、垂直平分线的判定、位似图形等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据等式的性质、平方根的定义、垂直平分线的判定与性质、位似图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 如果，那么，本选项正确，符合题意； B. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0，本选项错误，不符合题意； C. 点P在直线m上，如果，那么直线m是段不一定是的垂直平分线，本选项错误，不符合题意； D. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，且两者的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比，那么这样的两个多边形是位似多边形，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 化简：________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质． 先计算平方，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13. 古希腊著名数学家阿基米德墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，就是圆柱容器内放了一个球，四周紧贴容器内壁（如图），此时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等．在这个模型中，球的体积与圆柱的体积比为2∶3，球的表面积与圆柱的表面积比也为2∶3，这是阿基米德最为满意的一个科学发现．小明经过测量发现“圆柱容球”模型中圆柱的高为6厘米，请你结合所学的知识，从上面的材料中找到灵感，球体的体积是__________．（结果保留） 【答案】立方厘米## 【解析】 【分析】本题考查的是圆柱的面积公式和体积公式，以及比例的应用，熟记公式是解题的关键．根据题意，圆柱的高和底面半径均为3厘米，球的表面积公式代入数据计算求出球的体积． 【详解】解：“圆柱容球”模型中圆柱的高为6厘米，圆柱的半径均为3厘米， ， 故答案为：． 14. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 15. 不等式组的所有整数解的和是_________． 【答案】7 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴， 解得：； 由②得：， 整理得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，0，1，2，3，4； ∴， 故答案为：7 【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 16. 如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可． 【详解】解：∵等腰中， ∴BC=2 ∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1； 所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 17. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】466 【解析】 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并得到后一个矩形的宽与长和上一个矩形的宽与长的关系式解题的关键． 根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为⑩的矩形宽与长，再根据矩形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：由分析知： 第1个长方形的周长为； 第2个长方形的周长为； 第3个长方形的周长为； 第4个长方形的周长为； 第5个长方形的周长为； 第6个长方形的周长为； 第7个长方形的周长为； 第8个长方形的周长为； 序号为⑨的矩形的宽为； 序号为⑩的矩形的宽为． 所以，序号为⑩的矩形周长466． 故答案为：466． 18. 抛物线（是常数，）经过两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程有实数根；④点在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识；由题意得抛物线的对称轴满足，即可判断①；根据两点间距离大于1可判断②；由抛物线过点可得，代入顶点纵坐标，得纵坐标最大值，则可判断③；由④知抛物线的对称轴满足，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线，且， 即， ∵， ∴；故①正确； ∵， ∴，即两点间距离大于1， ∵， ∴当时，； ∵， ∴， ∴，故②正确； 由①知， ∴，即； 当时，抛物线为； 设顶点纵坐标为； 由于抛物线经过点，则， ∴， ∴； 由于，且对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， ∵， ∴关于的一元二次方程无实数根；故③错误； ∵，抛物线开口向下，点在抛物线上，，，总有， ∴， ∴点离较远， ∴对称轴满足， 解不等式得，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 21. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 【答案】乙班每小时挖400千克的土豆 【解析】 【分析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆， 根据题意有：， 解得：x=400， 经检验，x=400是原方程的根， 故乙班每小时挖400千克的土豆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键． 22. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 23. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 24. 如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．（两张纸条不完全重合）． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线、所夹锐角的度数． （3）若矩形的两边长分别是8和4，设四边形的面积为S，则S的取值范围为_______． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质证明四边形是平行四边形，再证明，得到，即可得出四边形是菱形； （2）过点作于点，根据矩形纸条宽度，得到，根据四边形的面积，得出，再结合特殊角的三角函数值，得出，即可求解； （3）当两个矩形的重叠部分为一个以矩形短边为边长的正方形时，四边形的面积最小，当、与矩形对角的两个顶点重合时，四边形的面积最大，求出最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点， 两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形， ，，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 矩形纸条宽度为， ， 由（1）可知，四边形是菱形； 四边形的面积为， ， ， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 解：矩形的两边长分别是8和4，设四边形的面积为S， 如图，当两个矩形的重叠部分为一个以矩形短边为边长的正方形时，四边形的面积最小， 此时； 如图，当、与矩形对角的两个顶点重合时，四边形的面积最大， ， 设菱形的边长为，则， ， 在中，， ， 解得：，即， 此时， S的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键． 25. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 26. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当___________时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 【答案】（1） （2）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； （3）当a为时，2025年的总种植成本为元． 【解析】 【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可； （2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案； （3）根据2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴当时，，解得， 即当时，元/； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， ∵， ∴随着x的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； 【小问3详解】 由题意可得， 解得（不合题意，舍去）， ∴当a为时，2025年的总种植成本为元． 【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． 27. 已知：的内接等腰三角形，．在边上任取一点(不与点，重合)，连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① （1）求证：与相切． （2）如图②，连接，与相交于点．求证：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等． （3）如图②，连接，与相交于点．当确定时，线段的长存在最大值．当，时，请直接写出长的最大值为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，由旋转的性质得，，故，即可求证； （2）点作交于点，证明，得出＝ ，根据旋转的性质以及等角对等边得出＝ ，等量代换得出＝，证明，得出，由＝，即可得证； （3）由，设，则，则，根据，转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：连接并延长交于点，连接， 是直径， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 证明：过点作交于点， ， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 由旋转的性质得：，， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， 当时，有最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等知识点，难度较大． 28. 已知二次函数（a为常数）． （1）求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； （3）若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与二次函数图象交于E，F两点，直线与直线相交于点P． ①通过证明可以得出结论：点P在一条定直线上．请直接写出这条定直线的解析式_______．（不用写证明过程） ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②直线l的解析式或 【解析】 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【小问1详解】 证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． 【小问2详解】 解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． 【小问3详解】 解：①依题意，对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． 故答案为： ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $