精品解析：2025年山东省聊城临清市中考三模数学试题

2025年中考模拟检测（三） 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列有理数中最小的是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（个） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（） 10 11.4 12.8 142 15.6 17 … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ） A 27 B. 28 C. 29 D. 30 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式组的解集是_______． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______． 14. 如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为______度． 15. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________． 三、解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简后求值：，其中． 17. 如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： （1） ； （2）四边形是菱形． 18. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 【数据整理】 测试结束后，小李将两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： 小张将两个人工智能产品的三项能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 9 8 B 75 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：___________． （2）哪个人工智能产品的语言交互能力更强（从“平均数”“中位数”和“众数”中选择两个方面评价即可）？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 19. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（参考数据：，，） （1）求图中到一楼地面的高度． （2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到十分位） 20. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 21. 如图，为直径，C，D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的半径以及的长． 22. 二次函数图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． （1）若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； （2）当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 23. 问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考模拟检测（三） 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列有理数中最小的是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是数的比较大小，按照比较有理数比较方法比较即可，注意两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 下列有理数中最小的是， 故选：D． 2. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可得到答案．熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，逐一分析选项： A、选项中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形但是中心对称图形，不符合题意； C、选项中的图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； D、选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选B． 6. 已知关于一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 7. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 的长． 故选：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 9. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 10. 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（个） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与杯子之间的数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加，得到，根据杯子总高度不大于列关于的一元一次不等式求解． 【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加， 则当放进x个杯子时，总高度． 要一次性放进高的柜子里，则， 解得，， 则的最大值为29， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答．本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．注意计算的准确性 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 故该不等式组的解集为：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8， ∴AC===4， 由作图可知，PQ垂直平分线段AC， ∴AD=DC=AC=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 14. 如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为______度． 【答案】102 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式（且n为整数）分别求出内角即可求解． 【详解】解：∵四边形、五边形、六边形的各内角相等， ∴四边形的每个内角是，五边形的每个内角是，六边形的每个内角是， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：102． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式和三角形的内角和，求出正多边形的内角是解题的关键． 15. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 三、解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简后求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、负整数指数幂、分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题关键． （1）先分别化简 平方根、负整数指数幂，绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】16．（1） ； （2） ， 当时，原式 ． 17. 如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： （1） ； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直平分线的性质得，结合平分，得，即可证明； （2）先由等边对等角得，进行角的等量代换得，证明，故四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 【数据整理】 测试结束后，小李将两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： 小张将两个人工智能产品的三项能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 9 8 B 7.5 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：___________． （2）哪个人工智能产品的语言交互能力更强（从“平均数”“中位数”和“众数”中选择两个方面评价即可）？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】（1）7 （2）人工智能产品的语言交互能力更强．见解析 （3）该公司应该选择使用人工智能产品 【解析】 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）先求出中位数和众数，再评价即可； （3）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：分． 故答案为：7； 【小问2详解】 解：人工智能产品的语言交互能力更强，理由如下： ∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， ∴中位数，众数是7； ∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10， ∴中位数是，众数是6． 从平均数来看，A，B的测试得分的平均数分别为7分，7.5分，B的测试得分的平均数大于的测试得分的平均数，人工智能产品的语言交互能力更强． 从中位数来看，的测试得分的中位数分别为7分，7.5分，的测试得分的中位数大于的测试得分的中位数，人工智能产品的语言交互能力更强． 【小问3详解】 解：）（分）． （分）． ， 该公司应该选择使用人工智能产品． 19. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（参考数据：，，） （1）求图中到一楼地面的高度． （2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到十分位） 【答案】（1） （2）约为 【解析】 【分析】（1）过点作于，由坡度的定义和勾股定理求解即可； （2）过点作于交于，过点作于交于，则四边形、四边形是矩形，求出，再由三角函数定义求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作于，如图所示， ， 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 答：到一楼地面的高度为； 【小问2详解】 解：过点作于交于，过点作于交于， ， 则，四边形、四边形是矩形，， ， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可． 【小问1详解】 解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 如图，过作轴于，过作轴于， 即 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． 21. 如图，为直径，C，D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的半径以及的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为6，的长为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线； （2）连接，，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径，∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接，在中，， ∴， ∴． ∵为直径， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． ∴的半径为6，的长为． 22. 二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． （1）若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； （2）当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】（1）①，，；②最大值为8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①将代入二次函数解析式求出，即可得出二次函数的解析式，令，则，求出的值即可得出、的坐标；②求出直线的解析式为，设点，则，，再由表示出面积，结合二次函数的性质即可得解； （2）由题意可得点在抛物线内部，当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点，将代入得，从而可得，求解即可． 【小问1详解】 解：①点坐标为，即， ． 该二次函数的解析式为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴交点为， ②过点作轴的垂线，交于点，交轴于点， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，则， ， ∴， ， ∵， 当时，的值最大，最大值为8； 【小问2详解】 解：当时，抛物线经过， 点在抛物线内部， 当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点， 将代入得， ， 解得， ． 23. 问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 【答案】[探究发现]，，理由见解析；[类比应用]；[延伸思考] 【解析】 【分析】[探究发现]根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； [类比应用]根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； [延伸思考]过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，即可解答． 【详解】解：[探究发现] ， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． 故答案为：， [类比应用]由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由[探究发现]可得：， ， 解得：； [延伸思考]过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$