2．2　函数的单调性与最值（2大考点+6大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

2．2　函数的单调性与最值 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的单调性 3 二、函数的最值 3 常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：函数单调性的判断 5 题型二：利用定义证明函数的单调性 5 题型三：利用单调性比较函数值的大小 7 题型四：求函数的最值 8 题型五：解函数不等式 9 题型六：求参数的值(范围) 9 04 好题赏析（一题多解） 11 05 数学思想方法 13 ①数形结合 13 ②转化与化归 13 ③分类讨论 14 06 课时精练（真题、模拟题） 15 基础过关篇 15 能力拓展篇 17 1、借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2、掌握函数单调性的简单应用． 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 二、函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 常用二级结论 1、 单调性定义的变式：设，且， ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 2、判断函数单调性 设，具有单调性，常数，常数，则 ①，，与有相同的单调性 ②，与有相反的单调性 ③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． 题型一：函数单调性的判断 【例1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法. 【变式1-1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式1-2】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：利用定义证明函数的单调性 【例2】已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【解题总结】 证明函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法. 【变式2-1】已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式2-2】讨论函数在区间上的单调性. 【变式2-3】判断并证明函数（其中）在上的单调性. 题型三：利用单调性比较函数值的大小 【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 【变式3-1】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】设，则下列函数值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型四：求函数的最值 【例4】函数的最小值为 ． 【解题总结】 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 【变式4-1】函数的最大值为1，最小值为，则 . 【变式4-2】已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【变式4-3】已知函数在时有最大值. (1)求实数的值； (2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值. 题型五：解函数不等式 【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 【变式5-1】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式5-2】已知函数，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：求参数的值(范围) 【例6】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【变式6-1】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知、、、、、为6 个不同的实数，满足①，，，②，③，以下选项值恒成立的是    A． B． C． D． 2．若，，则ab的最大值为（    ） A． B． C． D． ①数形结合 1．设函数则满足的x的取值范围是      A． B． C． D． 2．已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于x的不等式的解集为     A． B． C． D． 3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． ②转化与化归 4．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是  A． B． C． D． 5．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是    A． B． C． D． 6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ③分类讨论 7．已知函数的最小值为，则          ． 8．已知函数若，，且，使得成立，则实数a的取值范围是          ． 9．定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则b的取值范围是          ． 基础过关篇 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则满足的x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 11．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 12．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 13．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2025·广东·二模）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 15．（多选题）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 16．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 17．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D．函数的值域为 18．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可） 19．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 20．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接） 能力拓展篇 21．（2025·安徽合肥·三模）已知，若，则的范围为 . 22．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对的某个内角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 23．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 24．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 25．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 . 26．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是 ． 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．2　函数的单调性与最值 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的单调性 3 二、函数的最值 3 常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：函数单调性的判断 5 题型二：利用定义证明函数的单调性 7 题型三：利用单调性比较函数值的大小 10 题型四：求函数的最值 12 题型五：解函数不等式 15 题型六：求参数的值(范围) 18 04 好题赏析（一题多解） 20 05 数学思想方法 23 ①数形结合 23 ②转化与化归 25 ③分类讨论 27 06 课时精练（真题、模拟题） 31 基础过关篇 31 能力拓展篇 40 1、借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2、掌握函数单调性的简单应用． 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 二、函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 常用二级结论 1、 单调性定义的变式：设，且， ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 2、判断函数单调性 设，具有单调性，常数，常数，则 ①，，与有相同的单调性 ②，与有相反的单调性 ③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． 题型一：函数单调性的判断 【例1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故A错误； B，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故B错误； C，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故C错误； D，因，则，故定义域为， ，则为奇函数， 且， 则 因，则， 又，， 则 ， 则，即， 则，即， 则是上的增函数，故D正确. 故选：D 【解题总结】 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法. 【变式1-1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 【变式1-2】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，故D错误． 故选：C． 【变式1-3】（2025·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 故选：C 题型二：利用定义证明函数的单调性 【例2】已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【解析】（1）由题设，则，故； （2）在区间上递增，证明如下： 令，则， 又，则，且， 所以，即在区间上递增. 【解题总结】 证明函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法. 【变式2-1】已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为函数满足任意的实数，，都有， 令，则，所以. 令，则， 所以，所以是奇函数. （2）在上单调递增. 证明：设，且，所以， 又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增. （3）关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立， 由（2）可知在上单调递增， 令，，所以，， 令，， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【变式2-2】讨论函数在区间上的单调性. 【解析】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 【变式2-3】判断并证明函数（其中）在上的单调性. 【解析】证明：法一（定义法）：设， 则. ，，，. 因此当时，，即， 此时函数在上为减函数. 法二（导数法）：对求导得. 又，，所以，所以函数在上为减函数. 题型三：利用单调性比较函数值的大小 【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，对求导，得. 已知，所以，这表明在上单调递增. 设，对求导，得. 已知，所以，这表明在上单调递减. 因为在上单调递增，且，所以. ，则，即，无法确定，所以选项A错误. 因为在上单调递增，且，所以. ，则，即，无法确定，所以选项B错误. 因为在上单调递增，且，所以. ，则，即. 又因为在上单调递减，且，所以. ，则，即. 同时，移项可得，所以选项C正确. 因为在上单调递增，且，所以. ，则，即. 又因为在上单调递减，且，所以. ，则，即，无法确定，所以选项D错误. 故选：C. 【解题总结】 比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 【变式3-1】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式3-2】设，则下列函数值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 所以的图像关于直线对称， 当时， ， ， 所以， 于是， 所以， 因此，当时，单调递增，故为最小值. 故选：C． 【变式3-3】（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 题型四：求函数的最值 【例4】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，可得，所以函数的定义域为， 与在上均为增函数， 在上为单调递增函数， ∴当时，． 故答案为：. 【解题总结】 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 【变式4-1】函数的最大值为1，最小值为，则 . 【答案】/ 【解析】， 令，，对称轴方程为， ①当时，，， 解得，， ②当时，，， 解得，， ③当时，，， 即或，无满足条件的解， 综上，. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【解析】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减， 则，. （3）由（1）知，， 则，， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且时，， 所以函数的值域为． 【变式4-3】已知函数在时有最大值. (1)求实数的值； (2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值. 【解析】（1）因为在时有最大值， 则，解得，所以； （2）由（1）可得， 则，又，所以，则， 所以当时单调递减， 所以，且， 所以，是关于的方程的两个解， 即， 解方程得，，， 又，所以，. 题型五：解函数不等式 【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，其定义域为. ,对进行变形， 所以，则是奇函数. 对于，因为在上单调递增，，对求导得，所以在上单调递增， 根据复合函数同增异减的性质可知在上单调递增. 对于，其导数，所以在上单调递增. 两个增函数相加还是增函数，所以在上单调递增.   已知，则，. 不等式可化为，即. 因为是奇函数，所以可化为. 因为在上单调递增，所以等价于. 移项可得，即，解得. 不等式的解集为， 故选：C. 【解题总结】 求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 【变式5-1】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 【变式5-2】已知函数，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然的定义域为， 因为，所以为偶函数． 又， 令，令，，则，且在上单调递增， 当时，，又在单调递增，所以在单调递增； 当时，，又在单调递减，所以在上单调递减， （也可利用定义求证单调性） 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，为偶函数， 所以等价于， 所以，故，则，即或， 得或. 综上，m的取值范围为. 故选：C． 【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则， 则；； 当即时，，，成立； 当时，，，； 当时，，，； 当即时，， 所以的取值范围是． 故选：D． 题型六：求参数的值(范围) 【例6】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 【解题总结】 利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【变式6-1】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 【变式6-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 1．已知、、、、、为6 个不同的实数，满足①，，，②，③，以下选项值恒成立的是    A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 方法1：构造函数， 由题设，并令， 则，同理，， 条件③转化为， 考虑到函数为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数， 由条件①可得，，且函数在上严格增， 因此，即恒成立， 故选： 方法2：特殊值排除法， 由题意，设， 并令，，，满足条件， 显然选项 B，C，D 均错误， 故选： 2．若，，则ab的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 方法一：由，，消去c得到， 要使ab有最大值，而，则只需考虑且的情况， 当且时，则，即， ，当且仅当时等号成立，故ab的最大值为 方法二：由，，可消去c得到， 则，令， ，当时，，故ab的最大值为 故选： ①数形结合 1．设函数则满足的x的取值范围是      A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 作出函数的图像如图所示， 要使， 则或 即或 因此 故选： 2．已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于x的不等式的解集为     A． B． C． D． 【答案】D  【解析】由得的图象关于直线对称， 又，得，解得， 由在上单调递减，可知在上单调递增， 画出的大致图象如下所示， 结合图象及 解得或， 不等式的解集为 故选： 3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 令，，，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 有极大值 在时取最小值 根据分段函数的定义，当时，与一致，当时，与一致． 在同一坐标系下作出与的图象． 要使分段函数的表达式有意义，则有 因为为R上的减函数，所以在上单调递减，在上单调递减， 且， 观察可得，a的取值范围为 ②转化与化归 4．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是  A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 因为在上单调递增，且函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减，且恒成立． 所以，解得 故选 5．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】因为函数，在R上为减函数； 又因为所以为奇函数， 若，不等式恒成立， 则不等式，因为为奇函数，所以， 因为为减函数，所以恒成立， 所以恒成立，所以， ，， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以，所以实数m的取值范围是 故选： 6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 根据题意，函数，所以， 令，则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称， 所以，由可得，所以， 再次研究， ， 易得，当且仅当，即时，取等号， 当时，，则， 当时，则，而根据余弦函数的性质易得， 则， 综上， 所以函数单调递减， 由可得，，即，即，解得， 故选： ③分类讨论 7．已知函数的最小值为，则          ． 【答案】  【解析】若， 当时，则，在上单调递增， 所以， 当时，，对称轴为， 则 ， 由，即，解得或， 又，所以， 此时，符合题意； 若， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 当时，则在上单调递减， 故， 若，解得， 此时，符合题意； 若，解得， 此时，不符合题意， 综上所述， 故答案为： 8．已知函数若，，且，使得成立，则实数a的取值范围是          ． 【答案】  【解析】 当时，可得，易知函数在R上单调递减，不满足题意； 当时，当时，，对称轴为， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，， 当时，开口向上，大致图象如图所示： 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，且，使得成立，满足题意； 当时： 当时，函数的开口下，对称轴， ①当，即时， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 大致图象如图所示： 由此可知，，且，使得成立，满足题意； ②当时，即时， 此时函数的大致图象如图所示： 易知函数在R上单调递减， 所以不存在，且，使得成立； 综上，a的取值范围为：， 故答案为： 9．定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则b的取值范围是          ． 【答案】  【解析】 记在上的最大值为，最小值为， ， ， 8． ①当时，，， ，解得： ②当时，，， ，解得： ③当时，，， ， ，均不合题意． 或 基础过关篇 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 2．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为是减函数，且，所以，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，因为是增函数，且，所以，故C正确； 对于D，因为是增函数，且，所以，故D错误. 故选：C. 3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 4．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示． 对于选项A：在区间不单调，故A错误； 对于选项B：没有零点，故B错误； 对于选项C：是奇函数，有3个零点，在上单调递增，故C正确； 对于选项D：有2个零点，故D错误. 故选：C 5．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 6．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 7．函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得及，解得， 所以，故在上单调递增， 所以，，综上可得， 故选：B. 8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则满足的x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，的定义域为，， 因为， 所以为偶函数， 当时，令，则， 因为和在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，得，所以， 两边平方并整理，得，解得． 故选：B． 9．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 10．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 11．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 12．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 13．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 14．（多选题）（2025·广东·二模）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 【答案】ABC 【解析】， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，A正确； ； ，B正确； ，令，则， 因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，C正确； ，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当当时即时为减函数，故D错误. 故选：ABC 15．（多选题）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 16．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 【答案】AB 【解析】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且， 所以当时，恒成立，当时，恒成立， 所以，恒成立，故A正确； 对于B，，，且，都有， 所以，故B正确； 对于C，设，则，都有，故C错误； 对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但 所以，，故D错误. 故选：AB 17．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】AC 【解析】令，得，解得或. 若，令，得，则， 此时，而， 显然不恒成立. 若，同理得，代入恒等式中验证有恒成立， 故，A正确，B错误. 易知是偶函数，且在上单调递增. 因为，且等号不能同时成立，所以， 则，则，C正确. ，易得的值域为，D错误. 故选：AC 18．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，所以，即可以是， 故答案为：(答案不唯一). 19．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 20．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接） 【答案】 【解析】易知为偶函数，周期为4， 当，，此时在上单调递减，且， 当，，此时在上单调递减，且， ，，，所以； 又，所以， 又，所以，故. 故答案为： 能力拓展篇 21．（2025·安徽合肥·三模）已知，若，则的范围为 . 【答案】 【解析】由题可得： 则 注意到 ， 则 注意到， 则， . 注意到，则. 则或， 则或， 则，当时，； 当时，；时，. 综上可得：的范围是. 故答案为： 22．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对的某个内角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，是奇函数，且在上严格单调递增，所以在上单调递增， 由，得， ， 设，由于，所以， 所以，即， 则的取值范围是， 的取值范围是， 由不等关系：恒成立，的取值范围是. 故答案为：. 23．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由是定义在上的奇函数，得， 是上的偶函数，由，得， 则，由在上递增，得在上递减， 当时，，不等式成立，因此； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 24．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 25．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 当时，，得，在上单调递减， 当时，，得，在上单调递增， 又 ，故为上的偶函数， 故等价于， 即，两边平方解得或. 所以不等式解集为， 故答案为： 26．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知得，若，则，满足是增函数； 若，由得，或，也满足在上单调递增； 若，由得，或，若在上单调递增，需满足，即，解得，在上单调递增时，实数的取值范围是或， 在区间上不是单调递增时，实数的取值范围是． 故答案为：． 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$