2.1　函数的概念及其表示（2考点+8大题型15种考向）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

2.1　函数的概念及其表示 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的概念 3 二、分段函数的应用 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：函数基本概念辨析 5 题型二：函数同一性判定 6 题型三：具体函数的定义域 7 题型四：抽象函数定义域的求解 7 题型五：定义域在函数应用中的拓展 8 题型六：函数解析式的求法 8 考向1：待定系数法（函数类型确定） 8 考向2：换元法或配凑法 8 考向3：方程组法 9 考向4：求分段函数的解析式 9 考向5：抽象函数解析式 10 题型七：函数的值域 10 考向1：观察法 10 考向2：配方法 10 考向3：图像法（数形结合） 11 考向4：基本不等式法 11 考向5：代数换元法与三角换元法 11 考向6：分离常数法 11 考向7：判别式法 12 考向8：单调性法 12 考向9：有界性法 12 考向10：导数法 12 题型八：分段函数的应用 13 04 好题赏析（一题多解） 14 05 数学思想方法 15 ①数形结合 15 ②转化与化归 15 ③分类讨论 15 06 课时精练（真题、模拟题） 17 基础过关篇 17 能力拓展篇 18 1、了解函数的含义. 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3、了解简单的分段函数，并会简单的应用. 一、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 二、分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 常用二级结论 一、抽象函数定义域 原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ①已知的定义域是，求的定义域 解不等式，其解集就是的定义域. ②已知的定义域是，求的定义域 利用求的值域，该值域就是的定义域. ③已知的定义域是，求的定义域 利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域. 二、求值域、最值的方法 1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值. 2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3、换元法：代数换元法，三角换元法. 常见的模型 ①，令，则. ②，令，则； ③，令，则； ④，令，则； ⑤，令，则； ⑥令，则； ⑦令，则. ⑧，令， (或令，). ⑨时，令，； ⑩令，则. 4、图象法(数形结合法)： ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求或的值域 ③根据函数表达式的几何意义. 5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值. 6、基本（均值）不等式法 7、有界性法：含，，，，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。 8、判别式法 9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值. 题型一：函数基本概念辨析 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【解题总结】 利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 【变式1-1】存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【变式1-3】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数同一性判定 【例2】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【解题总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 【变式2-1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 【变式2-3】下列函数属于同一函数的是：（     ）. A． B． C． D．以上均不正确 题型三：具体函数的定义域 【例3】函数的定义域为 ． 【解题总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 【变式3-1】（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【变式3-2】（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【变式3-3】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 题型四：抽象函数定义域的求解 【例4】已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【解题总结】 1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解. 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集． 【变式4-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【变式4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【变式4-3】已知函数的定义域为，则的定义域为 题型五：定义域在函数应用中的拓展 【例5】已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【解题总结】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 【变式5-1】已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【变式5-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 【变式5-3】若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 题型六：函数解析式的求法 考向1：待定系数法（函数类型确定） 【例6】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【变式6-1】已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为 . ①，；②在上单调递减. 【变式6-2】一次函数在上单调递增，且，则 . 【变式6-3】已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， . 考向2：换元法或配凑法 【例7】若函数，则 ． 【变式7-1】若，则的解析式为 . 【变式7-2】已知函数在上具有单调性，且，则 . 【变式7-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ． 【变式7-4】若函数，且，则实数a的值为 . 考向3：方程组法 【例8】已知函数满足，则 . 【变式8-1】（2025·高三·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【变式8-2】若函数满足，则 ． 【变式8-3】已知，则 . 考向4：求分段函数的解析式 【例9】（2025·安徽池州·二模）定义在上的函数满足.若，对，，则 ，并写出的一个函数解析式 . 【变式9-1】函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式 【变式9-2】（2025·高三·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 【变式9-3】设函数，若，，则的解析式为 ，关于的方程的解的个数为 ． 考向5：抽象函数解析式 【例10】函数满足，，且，则 . 【变式10-1】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【变式10-2】函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 【变式10-3】写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 . 【变式10-4】设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 题型七：函数的值域 考向1：观察法 【例11】下列函数中，值域为的是（       ） A． B． C． D． 【变式11-1】函数的值域为 【变式11-2】函数的值域为 ． 考向2：配方法 【例12】函数的最大值为 . 【变式12-1】函数的值域是 . 【变式12-2】函数的值域 . 【变式12-3】若函数的定义域为，则其值域为 ． 考向3：图像法（数形结合） 【例13】给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 【变式13-1】定义为中的最小值，则的最大值为 . 【变式13-2】函数的最大值为 . 【变式13-3】函数的值域为 ． 考向4：基本不等式法 【例14】函数的最大值为 . 【变式14-1】函数的值域为 ． 【变式14-2】已知满足，且，则的值域为 考向5：代数换元法与三角换元法 【例15】若，则的取值范围是________ 【变式15-1】（2025·高三·河南·开学考试）已知且，则的最小值为 ． 【变式15-2】已知函数，则函数的值域为 【变式15-3】函数的值域为 ． 考向6：分离常数法 【例16】，，则的值域为 ． 【变式16-1】函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【变式16-2】函数的值域是 . 考向7：判别式法 【例17】已知，且，则的取值范围是 . 【变式17-1】函数的最大值为 ． 【变式17-2】设实数x，y，z满足，则的最大值是 ，最小值是 ． 考向8：单调性法 【例18】函数的最小值为 . 【变式18-1】函数的最小值为 ． 【变式18-2】函数的值域为 ． 【变式18-3】（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 考向9：有界性法 【例19】（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【变式19-1】设均为非负数，且满足关系式，则的最大值为 . 【变式19-2】函数的值域是________________. 考向10：导数法 【例20】函数的最小值为 ． 【变式20-1】已知的最小值为 ． 【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若实数满足，则的最小值为 . 【变式20-3】函数在上的最小值为 ． 题型八：分段函数的应用 【例21】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【解题总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 【变式21-1】（多选题）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．函数的值域为 【变式21-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【变式21-3】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 1．求函数的最小值. 2．已知函数满足，若，则    A．25 B．125 C．625 D．15625 ①数形结合 1．已知函数，若的值域是R，则实数a的取值范围是    A． B． C． D． 2．已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ②转化与化归 3．已知对于任意，都有，且，则     A．4 B．8 C．64 D．256 4．已知定义在R上的函数满足对任意的a，R，，，则    A． B．0 C．2 D．1 5．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ③分类讨论 6．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是      A． B． C． D． 8．已知函数，若，则a的值为     A．0或 B．0或 C． D． 基础过关篇 1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·三模）已知定义在上的函数满足对任意的. 则（    ） A． B．0 C．2 D．1 4．（2025·重庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 7．（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（   ） A． B． C．2 D． 9．（多选题）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D． 11．（多选题）（2025·福建·模拟预测）设是非空的实数集，若，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数值域为 D．函数无极值 12．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，则的值等于 ． 13．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数的定义域为，若，则 . 14．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 15．（2025·贵州黔东南·一模）若函数满足，则 ． 16．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 17．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则 ． 能力拓展篇 18．（2025·上海金山·二模）已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 19．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 20．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 21．已知函数，则 ． 22．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 23．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 24．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为 25．（2025·河北沧州·一模）已知函数满足：，，，若，则 . 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1　函数的概念及其表示 目录 01 课标要求 3 02 落实主干知识 4 一、函数的概念 4 二、分段函数的应用 4 常用二级结论 4 03 探究核心题型 6 题型一：函数基本概念辨析 6 题型二：函数同一性判定 8 题型三：具体函数的定义域 10 题型四：抽象函数定义域的求解 11 题型五：定义域在函数应用中的拓展 13 题型六：函数解析式的求法 14 考向1：待定系数法（函数类型确定） 14 考向2：换元法或配凑法 15 考向3：方程组法 17 考向4：求分段函数的解析式 19 考向5：抽象函数解析式 21 题型七：函数的值域 23 考向1：观察法 23 考向2：配方法 24 考向3：图像法（数形结合） 25 考向4：基本不等式法 27 考向5：代数换元法与三角换元法 28 考向6：分离常数法 30 考向7：判别式法 32 考向8：单调性法 33 考向9：有界性法 34 考向10：导数法 36 题型八：分段函数的应用 38 04 好题赏析（一题多解） 41 05 数学思想方法 43 ①数形结合 43 ②转化与化归 44 ③分类讨论 45 06 课时精练（真题、模拟题） 47 基础过关篇 47 能力拓展篇 53 1、了解函数的含义. 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3、了解简单的分段函数，并会简单的应用. 一、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 二、分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 常用二级结论 一、抽象函数定义域 原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ①已知的定义域是，求的定义域 解不等式，其解集就是的定义域. ②已知的定义域是，求的定义域 利用求的值域，该值域就是的定义域. ③已知的定义域是，求的定义域 利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域. 二、求值域、最值的方法 1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值. 2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3、换元法：代数换元法，三角换元法. 常见的模型 ①，令，则. ②，令，则； ③，令，则； ④，令，则； ⑤，令，则； ⑥令，则； ⑦令，则. ⑧，令， (或令，). ⑨时，令，； ⑩令，则. 4、图象法(数形结合法)： ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求或的值域 ③根据函数表达式的几何意义. 5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值. 6、基本（均值）不等式法 7、有界性法：含，，，，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。 8、判别式法 9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值. 题型一：函数基本概念辨析 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【解析】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 【解题总结】 利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 【变式1-1】存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，取得，取得，矛盾，即不存在函数满足，A不是； 对于B，取得，取得，矛盾，即不存在函数满足，B不是； 对于C，取得，取得，矛盾，即不存在函数满足，C不是； 对于D，为R上的增函数，对任意都有唯一的 满足，则存在函数满足，D是. 故选：D 【变式1-2】设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当时， 这12 个点对应的圆心角分别为， 然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个， 因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项， 因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称， 此时每个都满足一个只会对应一个. 故选：A. 【变式1-3】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 【变式1-4】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D 题型二：函数同一性判定 【例2】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，易知的定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，可知A错误； 对于B，显然的定义域为， 而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误； 对于C，两函数定义域均为，但的值域为， 而的值域为，两函数值域不同，即C错误； 对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确. 故选：D 【解题总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 【变式2-1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】A中，的定义域为，的定义域为，故A错误； B中，，B正确； C中，的定义域为，的定义域为，故C错误； D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误． 故选：B. 【变式2-2】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 【答案】B 【解析】对于A，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为定义域为， 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为定义域为, 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 【变式2-3】下列函数属于同一函数的是：（     ）. A． B． C． D．以上均不正确 【答案】C 【解析】A选项，无意义，，故两函数定义域不同，错误； B选项，的定义域为，的定义域为，错误； C选项，由解析式可知两函数定义域都是相同，约分后与相同，C正确. 故选：C 题型三：具体函数的定义域 【例3】函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【解题总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 【变式3-1】（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式3-2】（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-3】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 题型四：抽象函数定义域的求解 【例4】已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【解题总结】 1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解. 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集． 【变式4-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 故答案为：． 【变式4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题设，可得，则. 故答案为： 【变式4-3】已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 题型五：定义域在函数应用中的拓展 【例5】已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【解题总结】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 【变式5-1】已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【答案】 【解析】由题设知，在R上恒成立， 所以，则，故， 所以在上单调递增，故. 故答案为： 【变式5-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，对任意成立，且在上单调递减. ∴实数应满足解得，故实数的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 【答案】 【解析】由题意知为一次函数，则 所以. 故答案为：. 题型六：函数解析式的求法 考向1：待定系数法（函数类型确定） 【例6】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【答案】 【解析】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 【变式6-1】已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为 . ①，；②在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意为指数型函数，且在R上单调递减，可以为，如． 故答案为：．（答案不唯一）． 【变式6-2】一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【解析】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 【变式6-3】已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， . 【答案】 【解析】（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即， 所以，解得，，又，得，所以. 故答案为：， 考向2：换元法或配凑法 【例7】若函数，则 ． 【答案】 【解析】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 【变式7-1】若，则的解析式为 . 【答案】 【解析】令，则，代入得: ，即. 故答案为： 【变式7-2】已知函数在上具有单调性，且，则 . 【答案】 【解析】令，则， 中，令得，故， 显然单调递增，且，故， 所以，. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ． 【答案】或2021. 【解析】令，则， 令，则，解得或. 而，故.因此. 则， 即， 因此或 当时，，时，此时； 当时，. 故答案为：或2021. 【变式7-4】若函数，且，则实数a的值为 . 【答案】 【解析】函数，又的值域为， ， ，可得，解得. 故答案为：. 考向3：方程组法 【例8】已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 【变式8-1】（2025·高三·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 【变式8-2】若函数满足，则 ． 【答案】 【解析】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 【变式8-3】已知，则 . 【答案】 【解析】因为，① 所以， 所以，② ②-①可得，． 故答案为：． 考向4：求分段函数的解析式 【例9】（2025·安徽池州·二模）定义在上的函数满足.若，对，，则 ，并写出的一个函数解析式 . 【答案】 4 【解析】由得：当时，；当时，. 假设，使得，则题意得，即， 取时，有，即这与矛盾.所以不，使得. 综上，当时，；当时，①. 当时，；当时，②. 对于①而言： 当时，即，则，所以，所以， 注意到的任意性，所以 当时，即，则，所以，所以，注意到的任意性，所以 所以，即，解得或 即或，舍.所以，则 对于②而言：同理得，则. 故答案为：4；. 【变式9-1】函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式 【答案】 【解析】当时，，当时，， 当时，. 故答案为： 【变式9-2】（2025·高三·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 【答案】 【解析】因为函数解析式为，则，则， 由可得，，解得，所以. 【变式9-3】设函数，若，，则的解析式为 ，关于的方程的解的个数为 ． 【答案】 3 【解析】时的解析式， 则有： 得： 函数的解析式为． 关于的方程：解的个数，就是函数，交点的个数，画出两个函数的图象如图： 由函数的图象可知，两个函数的图象有3个交点，所以方程有3个解； 故答案为：；3． 考向5：抽象函数解析式 【例10】函数满足，，且，则 . 【答案】 【解析】令，则，所以． 令，则，所以． 令，，则，所以． 令，，则， 所以． 当时，， 则 ． 当时，上式也成立，所以， 所以． 【变式10-1】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 故答案为：. 【变式10-2】函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 【答案】 【解析】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 【变式10-3】写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为对任意，都有，即函数在内单调递减， 由于，即可取， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式10-4】设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得，即． 故答案为： 题型七：函数的值域 考向1：观察法 【例11】下列函数中，值域为的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 函数的值域为，，故排除； 函数的值域为，故排除； 函数的值域为，故满足条件； 函数的值域为，，故排除， 故选：． 【变式11-1】函数的值域为 【答案】 【解析】当在第一象限时，， 当在第二象限时，， 当在第三象限时，， 当在第四象限时，， 当在坐标轴上时，函数无意义， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 【变式11-2】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 考向2：配方法 【例12】函数的最大值为 . 【答案】1 【解析】函数，定义域为， 令，所以， 所以， 函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线， 所以时，函数取最大值，最大值为， 即函数的最大值为1． 故答案为：1． 【变式12-1】函数的值域是 . 【答案】 【解析】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 【变式12-2】函数的值域 . 【答案】 【解析】将函数化为顶点式：, 抛物线的二次项系数为，所以开口向下.对称轴为. 因为，所以当时，，取得最大值. 当时，，取得最小值. 函数的值域为. 故答案为：. 【变式12-3】若函数的定义域为，则其值域为 ． 【答案】 【解析】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为． 考向3：图像法（数形结合） 【例13】给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】令，解得或， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 【变式13-1】定义为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令，在同一坐标系内作出函数，如图， 函数的图象如图中实线部分，由解得， 由解得，于是， 函数的图象的最高点为，而点， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 【变式13-2】函数的最大值为 . 【答案】3 【解析】当时，； 当时，； 当时，. 故函数的最大值为3. 故答案为：3. 【变式13-3】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】令，则， 则半圆与直线存在交点， 半圆方程为：， 画出图象如图： 当直线过点，即图中直线时，； 当直线与半圆相切时，即图中直线时，，得（舍）， 故，即值域为. 故答案为： 考向4：基本不等式法 【例14】函数的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为， 令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则， 即函数的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 【变式14-1】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】对于函数，有，可得， 所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立， 故函数的值域为. 故答案为：. 【变式14-2】已知满足，且，则的值域为 【答案】 【解析】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 考向5：代数换元法与三角换元法 【例15】若，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 解：因为 所以解得，令， 则 所以， 因为，所以，所以 所以 故答案为： 【变式15-1】（2025·高三·河南·开学考试）已知且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】，则， ， 令， 则， 由，， 知，即恒成立， 又由，即当且仅当时等号成立， 由，故当时等号取到， 所以， 当，即时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 【变式15-2】已知函数，则函数的值域为 【答案】 【解析】易得是减函数，所以． 令，则，因为函数在上单调递增， 所以，即的值域为． 故答案为：. 【变式15-3】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 考向6：分离常数法 【例16】，，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 【变式16-1】函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 / 【解析】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 【变式16-2】函数的值域是 . 【答案】且 【解析】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 考向7：判别式法 【例17】已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以. 又因为， 所以，解得. 故答案为：. 【变式17-1】函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 【变式17-2】设实数x，y，z满足，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 8 【解析】将，整理得， 故，是的两个根， 由，解得， 所以， 当时，的最大值为8，当时，的最小值为． 故答案为：8； 考向8：单调性法 【例18】函数的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意可得函数的定义域为， ， 由复合函数的单调性可得函数为增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：. 【变式18-1】函数的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】的定义域满足，即.则函数定义域为. 在内单调递减，在也是单调递减， 则在定义域内单调递减，则. 故答案为：． 【变式18-2】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】， 令，则时，， ，函数在上单调递减， 若，则， 若，则， 故函数值域为． 故答案为：. 【变式18-3】（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 考向9：有界性法 【例19】（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】# 【解析】因为，所以，所以，所以， 因为 ，所以， 当时取等号， 所以，则的最小值为. 故答案为： 【变式19-1】设均为非负数，且满足关系式，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】设结合原条件，有整体， 解得：. 代入可得. 由于均为非负数，则，解得：. 当，即时，; 当，即时，. 故答案为：. 【变式19-2】函数的值域是________________. 【答案】 【解析】 由题意， 因为， 所以， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为：. 考向10：导数法 【例20】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 当时，. ， 故在上单调递减； 当时，. ， 在上单调递减； 当时，. ， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. 又为连续函数， 因此函数的最小值为. 故答案为：. 【变式20-1】已知的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，对称轴为：， 则， 设，则． 当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 所以， 即的最小值为． 故答案为： 【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若实数满足，则的最小值为 . 【答案】（或） 【解析】由，可得，则， 则.令， 则. 当时，，当时，， 从而的最小值为， 即的最小值为. 故答案为：. 【变式20-3】函数在上的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】得 ，在上，， 所以当时，； 可得的增区间为， 当时，， 可得的减区间为， 又， 所以在上的最小值为. 故答案为：. 题型八：分段函数的应用 【例21】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】A：当时，， 令，解得； 令，解得或， 所以不等式的解集为，故A正确； B：易知在上单调递增， 图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 因为在R上单调递增，所以，解得，故B错误； C：易知二次函数的最小值为， 由，解得或， 要使的值域为R，需，解得，故C正确； D：令，解得； 令，解得或. 当时，与轴无交点，与轴有2个交点； 当时，与轴有1个交点，与轴有2个交点； 当时，与轴有1个交点，与轴有1个交点； 当时，与轴有1个交点，与轴无交点. 综上，若有两个零点，则或，故D正确. 故选：ACD 【解题总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 【变式21-1】（多选题）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，根据题意，由，故A正确； 对于B，根据题意，由，故B正确； 对于C，根据题意，由 ，故C错误； 对于D，由于当时，函数， 满足， 所以图象关于直线对称， 当时，， 所以，，即； 当时，，故，； 当时，由于，所以此时； 当时，由于，所以此时， 以此类推，根据定义域为，所以可得函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 【变式21-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式21-3】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为： 1．求函数的最小值. 【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..① 又，即， 对①式两边平方，得. 整理，得.② 对②式两边平方，得， 再整理，得.③ ，x为实数，， 化简并整理，得， 即， 又，，， 当时，方程③为，即， 解得，故函数的最小值为. 解法二： 令，，，则 点A关于x轴的对称点为. 则 （其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当、P、B三点共线时取“等号”）. 2．已知函数满足，若，则    A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C  【解析】 解法一：由题意取，可得 即则 故选 解法二：令， 则 ， 所以， 即，所以，则故选 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到 故选 ①数形结合 1．已知函数，若的值域是R，则实数a的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 已知与均是增函数，且有两个交点和， 因为函数的值域为R，由图像可知，a的取值范围为 2．已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 分别画出与的图象，如下图所示： 由图象知，不等式的解集为 故选： ②转化与化归 3．已知对于任意，都有，且，则     A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D  【解析】 因为，且， 所以， ， 所以 故选： 4．已知定义在R上的函数满足对任意的a，R，，，则    A． B．0 C．2 D．1 【答案】C  【解析】令，得， 再令，得， 令，得，则， 因为，所以， 当时，，解得 故选： 5．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】， 则， 则， 即， 所以， 即 故选 ③分类讨论 6．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】当时，函数，因为对数函数在时单调递增，， 所以，即的值域为， 当时，，，此时，函数的值域为不满足值域为R， 当时，函数是二次函数，图象为抛物线，对称轴为， 要使函数的值域为R，则的值域要包含 因为二次函数开口向下才能有可能包含所以， 且在处的函数值因为已经满足这一条件， 同时判别式， 解不等式，即，因式分解得，解得， 又因为，所以， 故选： 7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是      A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 当时，， ，所以在区间单调递增， 故 当时，在内单调递增，所以，因为函数的值域为R，所以实数a的取值范围是， 故选： 8．已知函数，若，则a的值为     A．0或 B．0或 C． D． 【答案】A  【解析】若，即，可得， 解得：，符合； 若，即，可得，解得：，符合； 综上可知：a的值为0或， 故选： 基础过关篇 1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 2．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 3．（2025·重庆·三模）已知定义在上的函数满足对任意的. 则（    ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为对任意的， 令，则，即； 令，则，即； 可得， 令，则，解得. 故选：C. 4．（2025·重庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以. 故选：A. 5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，则， 所以. 故选：A 6．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【解析】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 7．（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为，，所以， 又，有， 又由，有，故， ． 故选：A． 8．对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为是“平方差关联函数”，所以， 化简得，则 解得 故， 故选：B． 9．（多选题）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】CD 【解析】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或. 综上所述，或. 故选：CD. 11．（多选题）（2025·福建·模拟预测）设是非空的实数集，若，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数值域为 D．函数无极值 【答案】AD 【解析】由函数的定义可知，集合中的任意一个数， 在集合中都有唯一确定的数和它对应， 所以函数的定义域为，值域为集合的子集，故A正确，B错误； 对于C，当，时，值域不为，故C错误； 对于D，，所以单调递增，无极值，故D正确. 故选：AD. 12．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，则的值等于 ． 【答案】 【解析】因为，则. 故答案为： 13．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数的定义域为，若，则 . 【答案】2024 【解析】， ，即， ， 故答案为：2024. 14．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 【答案】8 【解析】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 15．（2025·贵州黔东南·一模）若函数满足，则 ． 【答案】2 【解析】由， 令，得， 令，得， 两式联立，解得. 故答案为：2. 16．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【解析】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 17．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则 ． 【答案】 【解析】令，所以， 所以， 即，，……， 所以，以上式子相加可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 能力拓展篇 18．（2025·上海金山·二模）已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 【答案】 【解析】由题可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形面积为， 如图，由二次函数和可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形的面积， 所以. 故答案为：. 19．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 【答案】①③④ 【解析】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点， 结合函数图象可知， 对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确； 对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误； 对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确； 对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确． 故答案为：①③④. 20．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 21．已知函数，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，且， 所以， 所以 . 故答案为： 22．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【解析】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 23．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 【答案】/0.5 【解析】设且， 令， 则有， 即， 设，则， 即， 所以有解，， 所以的最大值等于． 故答案为： 24．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为 【答案】 【解析】由，令，得，解得； 设，则，由，得，即， 设，则在上单调递减．由，得，即． 所以解得，即不等式的解集为． 故答案为：2；. 25．（2025·河北沧州·一模）已知函数满足：，，，若，则 . 【答案】2024 【解析】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又 ； 又 ， 所以，即. 故答案为：2024. 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$