精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

汽开三中2024-2025学年度下学期期中考试 高二数学 命题人： 审题人： 注意事项：试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先对函数求导，采用赋值的方式计算出的结果，由此计算出的值. 【详解】因为，所以令，则， 所以，则， 故选：B. 【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一个括号内取项情况分两类，利用通项求相应项系数再合并即可得. 【详解】二项展开式的通项为， 要得到项，有两类方法： 第一类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘， 由得，，即，则系数为； 第二类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘， 由得，，即，则项的系数为； 综上可知，展开式中的系数为. 故选：B. 3. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率. 【详解】令，得，得 故选：D 4. 某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ） A. 360种 B. 336种 C. 216种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量. 【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种； 若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种； 所以不同的派法共有种. 故选： 5. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 6. 设某医院仓库中有盒同样规格的光片，其中有盒、盒、盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．若甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为、、，现从这盒中任取一盒，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件、、分别表示抽取的光片为甲厂、乙厂、丙厂生产的，记事件为“抽出的光片为次品”，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件、、分别表示抽取的光片为甲厂、乙厂、丙厂生产的， 记事件为“抽出的光片为次品”， 则，，，，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 7. 已知随机变量服从二项分布若，则（ ） A. 144 B. 48 C. 24 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布方差公式，结合方差的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 故选：D 8. 已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到是的一个零点，转化为和时，分别有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】解：由函数，若有且只有3个零点， 当时，可得，可得是的一个零点， 当时，由，可得，解得； 当时，，可得，可得， 要使得函数在上有一个零点， 即函数与的图象有一个公共点，则满足， 综上可得：，即函数有三个零点时，实数的范围为 故选：B. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ） A. B. 展开式的各项系数的和为 C. 展开式的各二项式系数的和为256 D. 展开式的常数项为第5项 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】解：因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得（舍去），故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故D正确； 所以展开式的各项系数的和为，故B错误； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则期望 C. 已知随机变量的分布列为，则 D. 从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性计算可判断A；利用二项分布的数学期望公式计算可判断B；利用离散型随机变量的分布列的性抟计算可判断C；利用古典概型概率公式计算可判断D. 【详解】对于A，若随机变量，可得正态曲线关于对称， 由，可得， 所以，故A正确； 对于B，若随机变量，则期望，故B正确； 对于C，已知随机变量的分布列为， 所以， 所以，解得， 则，故C错误； 对于D，从3名男生，2名女生中选取2人共有种选法，则其中至少有一名女生的选法有，所以其中至少有一名女生的概率为，故D正确. 故选：ABD. 11. 离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ） X 0 1 2 4 P a A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D. 【详解】根据题意，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分．） 12. 已知随机变量服从，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布性质求概率. 【详解】因为,及正态分布的对称性可得 . 故答案为：. 13. 已知，．则________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令 、令即可得答案. 【详解】在中， 令可得， 令可得， 所以 故答案为：0. 14. 已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】的导函数为，当时，， 由时，，时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为，最大值为， 所以对于任意的，． 因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在上的值域为， 又因为存在． 由题意，得， 可得，解得． 故答案为: ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可 【小问1详解】 设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； 【小问2详解】 设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 16. 某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． （1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） （2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 【答案】（1）159； （2）分布列见解析，期望为19.5. 【解析】 【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得， 因此， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. 【小问2详解】 的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为. 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． 【小问3详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和概率乘法公式即可计算求解. （2）甲得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望；乙得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望. 【小问1详解】 由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. 小问2详解】 记甲同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以甲同学得分的数学期望为. 记乙同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以乙同学得分数学期望为. 19. 设函数． （1）若，当时，求证：； （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 分析】（1）构造利用导数研究其单调性，进而可得即可证结论. （2）由题设得，构造并讨论的范围，利用导数研究的符号，即得的符号，即可判断的区间单调性，结合区间零点个数确定m的范围. 【小问1详解】 令，则， 当有，即在单调递减，又， 所以，即，即， 所以当时，得证. 【小问2详解】 由，，可得， 令且，其开口向上且对称轴为，又，， 当时，，即，单调递增，则， 此时在上没有零点，不合题意； 当时，则，设使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 因为，要使在上存在唯一零点，则满足，解得， 当时，在上恒成立，即，在上递减， 所以，故在上没有零点，不合题意. 综上，实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问，对求导后构造且，根据二次函数的性质、讨论并结合区间零点个数，利用导数判断符号即的符号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汽开三中2024-2025学年度下学期期中考试 高二数学 命题人： 审题人： 注意事项：试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若函数，则的值为（ ） A 0 B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A B. C. D. 3. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A B. C. D. 1 4. 某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ） A. 360种 B. 336种 C. 216种 D. 120种 5. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设某医院仓库中有盒同样规格的光片，其中有盒、盒、盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．若甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为、、，现从这盒中任取一盒，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量服从二项分布若，则（ ） A. 144 B. 48 C. 24 D. 16 8. 已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ） A. B. 展开式的各项系数的和为 C. 展开式的各二项式系数的和为256 D. 展开式的常数项为第5项 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则期望 C. 已知随机变量的分布列为，则 D. 从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为 11. 离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ） X 0 1 2 4 P a A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分．） 12. 已知随机变量服从，若，则__________. 13. 已知，．则________． 14. 已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 16. 某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． （1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） （2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 19. 设函数． （1）若，当时，求证：； （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$