【小升初复习篇 第五章 综合与实践 分数和百分数问题】2025年暑假小升初衔接（新版人教版专用）

第五章 综合与实践 之分数和百分数问题旧知复习 1、公式： 分率（百分数）=部分量÷单位“1” 利润 = 定价-成本 = 利润率X成本 利润率 = X 100% = X 100% 定价(售价) = 成本X (1+利润的百分数) = 成本+利润 成本 = = 定价(售价) - 利润 税率 = X100% 2、A比B多几分之几： A=B×（1+几分之几） A比B少几分之几： A=B×（1－几分之几） 小试牛刀 题型一：纯分数、百分数问题 1．有两块地共72亩，第一块地的和第二块地的种西红柿；两块地余下的共39亩种茄子，问第一块地是多少亩？ 【分析】可以设第一块地是x亩，根据有两块地共72亩，得出第二块地是（72－x）亩。根据一个数的几分之几用乘法，得出数量关系式：第一块地的亩数×＋第二块地亩数×＋39＝两块地的总亩数。列出方程得出解。 【详解】解：设第一块地是x亩。 x＝45 答：第一块地是45亩。 2．仓库有一批水泥，第一天运走了总数的40%，第二天运走余下的一半，已知第一天比第二天多用了24吨。两天共运走多少吨？ 【分析】设这批水泥的总数为单位“1”。第一天运走了总数的40%，第二天运走余下的一半，因此第二天运的分率为：。第一天比第二天多用了的分率为：，第一天比第二天多用了24吨，因此用量率对应24吨除以20%即可求出总的吨数。最后再用总数乘两天的分率之和即可求出两天共运走多少吨。 【详解】 （吨） （吨） 答：两天共运走168吨。 3．一个修路队修一条公路，第一天修了8千米，比第二天少修20%，第三天修的比第二天多24%。三天共修路多少千米？ 【分析】第一天修了8千米，比第二天少修20%，因此用8千米除以即可求出第二天修了多少米。第三天修的比第二天多24%，因此用第二天的米数乘即可求出第三天修了多少米。再相加求和就可以求出三天一共修了多少千米。 【详解】 （千米） 答：三天共修路30.4千米。 4．三个工程队合修一条长5800千米的铁路。第二队修的是第一队的，第三队修的是第一队的，三队各修路多少千米？ 【分析】设第一队修路的长度为单位“1”，第二队修的是第一队的，第三队修的是第一队的，因此第二队修路的分率为，第三队修路的分率为，相加即可求出三个队修路对应的分率。三个队修路的总长为5800千米，因此量率对应即可求出单位“1”，即第一队修路的长度。然后用第一队修的长度依次乘第二队、第三队的分率，即可求出三队各修路多少千米。 【详解】第一队： （千米） 第二队：（千米） 第三队：（千米） 答：第一队修路2400千米，第二队修路1600千米，第三队修路1800千米。 5．建筑队运回一批砖，第一天运回25000块，比第二天多运25%，第二天运回的相当于全部的，还有多少块没运回？ 【分析】第一天运回25000块，比第二天多运25%，因此用第一天运的数量除以即可求出第二天运的数量。第二天运回的相当于全部的，因此用第二天运的数量除以即可求出全部的数量。再用全部的数量减去第一天和第二天的数量，即可求出还有多少块没运回。 【详解】全部： （块） 剩余： （块） 答：还有115000块没运回。 6．某工厂有职工500人，某天的出勤率是98%，其中出勤的女职工是男职工的，这天出勤的男职工有多少人？ 【分析】某工厂有职工500人，某天的出勤率是98%，先用乘法求出这天出勤的总人数。出勤的女职工是男职工的，将出勤的男职工人数看作单位“1”，则出勤的女职工分率为，出勤总人数的分率为：。最后用出勤总人数除以即可求出出勤的男职工人数。 【详解】 （人） 答：这天出勤的男职工有280人。 7．李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内。已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的卖给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%。原来东、西两院一共养鸡多少只？ 【分析】可以将原来东、西两院鸡的总数设为未知数，东院养鸡40只，可以表示出西院的鸡的数量，然后表示出剩下的鸡的数量，列方程求解。 【详解】解：设原来东西两院一共养鸡只，那么西院养鸡只。 解出 答：原来东、西两院一共养鸡280只。 8．五年级有3个班，一班人数占全年级的，三班人数比二班人数多，如果从三班调走4人后，和二班人数同样多，求五年级共有多少人？ 【分析】三班人数比二班人数多，说明三班比二班多的人数占二班人数的，数量关系是：二班人数×=三班比二班多的人数；如果三班调走4人，和二班人数一样多，说明三班比二班多4人；二班人数为4÷=44人；三班人数：44+4=48人；再根据一班人数占全年级的，说明二班、三班占全年级的（1-），以此解答． 【详解】（4÷+4+4÷）÷（1-） =（44+4+44）÷ =92÷ =132（人） 答：五年级共有132人． 题型二：利润和折扣问题 1．有一个集邮爱好者卖了两本集邮册，每本各卖600元，其中一本多卖了原价的20%，另一本少卖了原价的20%，试问他是赚钱还是赔钱？ 【分析】已知售价和利润率，则可以根据“售价÷（1＋利润率）＝成本”算出两本集邮册的成本分别为多少元，即可知道总的成本为多少元；再求出总售价为：600×2＝1200（元），将总成本与总售价进行比较即可知道他是赚钱还是赔钱。 【详解】600÷（1＋20%）＝500（元） 600÷（1－20%）＝750（元） 500＋750＝1250（元） 600×2＝1200（元） 1200元＜1250元 答：他赔钱了。 2．某种蜜瓜大量上市．这几天的价格每天都是前一天80%．妈妈第一天买了2千克，第二天买了3千克，第三天买了5千克，共花了38元．若这10千克蜜瓜都在第三天买，能少花多少钱？ 【分析】我们注意到蜜瓜的价格是未知的，给解题带来不便．因此，设第一天1千克蜜瓜的价格为单位1，这样就可求出第二天、第三天每1千克蜜瓜的价格，也就可求出在第三天买10千克蜜瓜所需的价钱． 【详解】设第一天1千克蜜瓜的价格为“1”，买2千克需“2”；第二天1千克蜜瓜的价格为1×80%=0.8，买3千克需“2.4”；第三天1千克蜜瓜的价格为1×80%×80%=0.64，买5千克，需“3.2”． 如果10千克蜜瓜都在第三天买，则需“6.4”，能少花 答：若这10千克蜜瓜都在第三天买，能少花6元钱． 3．某商店同时卖出两件商品，每件60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，问这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？ 【详解】一件商品赚到20%后是60元，即这件商品原来应为：60÷（1+20%）=50（元） 一件商品亏20%后是60元，即这件商品原来应为：60÷（1-20%）=75（元） 50+75-2×60=5（元） 所以，商店卖出这两件商品亏5元． 4．某商场在迎元旦展销期间，将一批电视机降价出售．如果打九折出售，可盈利215元；如果打八折出售，亏损125元．此电视机的购入价是多少元？ 【详解】第二种方法比第一种多降了定价的20%-10%=10%，而导致第二种方法比第一种少卖了215+125=340元．说明定价的10%就是340元．可以求出定价，也可以求出成本． 详解过程：电视机的定价为：（215+125）÷（20%-10%）=3400（元） 那么该电视机的购入价为：3400×（1-10%）-215=2845（元） 答：此电视机的购入价是2845元． 5．某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有多少名？ 【分析】甲乙旅社的标价是一样的，可以每人的标价为100元，则5名教师就是500元。再设有x个学生，甲旅社是老师的费用是按照原价，学生的费用打七折，就是学生的费用现价是原价的70%，即为（100x×70%）元，甲旅社最后的费用再加上500。乙旅社的老师、学生的费用全部打八折，就是现价是原价的80%，即为100（x＋5）×80%元。 甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，将乙旅社的费用看成单位“1”，甲是乙的（1－10%），利用乙的费用×90%＝甲的费用解答即可。 【详解】解：设学生有x名，每人100元。 500＋100x×70%＝100（x＋5）×80%×（1－10%） 500＋70x＝80（x＋5）×90% 500＋70x＝72（x＋5） 500＋70x＝72x＋360 72x－70x＝500－360 2x＝140 x＝140÷2 x＝70 答：学生有70名。 6．某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？ 【分析】配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，本题中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比. 【详解】相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％. （85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2. 他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3. 设买红笔是x支，可列出比例式 5x∶9×30＝2∶3 x==36(支) 答：红笔买了 36支. 7．某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？ 【详解】解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润 （45-35）×12＝120（元）. 出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润120÷8＝15（元）. 不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是（45-15）÷（1-85％）＝200（元）. 答：每个商品的定价是200元. 8．一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？ 【详解】解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5. 现在出售70％商品已获得利润0.5×70％＝0.35. 剩下的 30％商品将要获得利润0.5×82％-0.35＝0.6 因此这剩下30％商品的售价是1×30％＋0.06＝0.36. 原来定价是1×30％×（1+50％）＝0.45. 因此所打的折扣百分数是0.36÷0.45＝80％. 答：剩下商品打8折出售. 题型三：利息、纳税问题 1．一家商店将某型号空调原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，九折优惠”，结果被工商部门发现有欺诈行为，为此按每台所多得利润的10倍处以4500元的罚款，求每台空调的原价是多少？ 【分析】根据题意，可以设每台空调的原价是x元，原价提高20%，就是现在的价格是原来价格的（1＋20%），打九折就是现价的90%，即为[（1＋20%）×90%x]，即每一台空调的利润＝最后的价格－原价。再根据数量关系式：利润×10＝4500，列方程得出方程的解。在计算百分数时将百分数转化为小数计算比较简便。 【详解】解：设每台空调的原价是x元。 [（1＋20%）×90%x－x]×10＝4500 120%×90%x－x＝4500÷10 1.08x－x＝450 0.08x＝450 x＝450÷0.08 x＝5625 答：每台空调的原价为5625元。 2．某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人．一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5贷给乙．甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等．甲、乙各贷款多少元？ 【详解】解：设甲贷款x元，则乙贷款(10800－x)元，根据“甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等”．列方程得x×9.5%×1=(10800－x)×8.5%×1，解方程得x=5100，10800－5100=5700(元)，所以，甲贷款5100元，乙贷款5700元． 3．张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？ 【详解】解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购4×3＝12（件）. 由于60件每件减价 4元，就少获得利润4×60＝240（元）. 这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润240÷12＝20（元）. 这种商品每件成本是100-4-20＝76 （元）. 答：这种商品每件成本76元． 4．开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？ 【分析】因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷. 【详解】解：设去年的利润是“1”. 利润下降40％，转变成去年成本的10％，因此去年成本是40％÷10％＝4. 在售价中，去年成本占 因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％. 答：今年书的成本在售价中占88％. 5．某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？ 【详解】解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3 其中80％的卖价是 1.3×80％，20％的卖价是 1.3÷2×20％. 因此全部卖价是1.3×80％ ＋1.3÷2×20％＝ 1.17. 实际获得利润的百分数是1.17－1＝0.17＝17％. 答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％. 6．某商人用500元批入一批货物后，一次性以10%的利润批发给一买主，但买主不是付现金，而是付的存折．3个月以后，商人持存折向银行兑现，以年利率为2.25计算．兑现后，商人又批入与前次同样多钱的货物，又用与前次同样的方法批发给他人．这样进行8回，问这个商人共获利润多少元？ 【分析】要求这个商人共获利润多少元，需计算出商人这八次每次获利润多少元，而这八次获利润均相同，因此只需求出第一次获利润多少元即可．这样就必须先求第一次买卖的成本与利润之和，用其减去最初的500元即为第一次的利润． 【详解】第一次买卖的成本与利润之和为500×(1+10%)=550(元) 兑现存折时得到的本利之和为 所以，第一次买卖所获利润为553.51－500=53.51(元)． 又因为第二次，第三次……第八次所获利润与第一次相同，所以这个商人共获利润为53.51×8=428.08(元)． 答：该商人共获利润428.08元． 题型四：浓度问题 1．一瓶纯酒精倒出，后用水加满，再倒出后，仍用水加满，再倒出后还用水加满，这时瓶中纯酒精比原来少几分之几？ 【分析】一瓶纯酒精倒出后用水加满，此时即纯酒精会减少；再倒出后仍用水加满，酒精会减少余下纯酒精的，即全部淳酒精的；再倒出后还用水加满，酒精会减少此时余下纯酒精的，即全部淳酒精的；将三次减少的相加，即可求出这时瓶中纯酒精比原来少几分之几。 【详解】 答：这时瓶中纯酒精比原来少二分之一。 2．浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 【详解】浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40-8＝32（克）. 如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克， 就有x∶32＝40％∶（1-40％）， x==21， 还要加糖21-8=13（克） 答：加糖13克． 3．浓度为10%，重量为80克的糖水中，加多少克水就得到浓度为8%的糖水？ 【详解】浓度10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水80-8＝72（克）. 如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克）， 其中有水100-8＝92（克） 还要加入水 92- 72＝ 20（克） 答：加水20克． 4．白色容器中有浓度为12%的盐水500克，黄色容器中有500克水．把白色容器中盐水的一半倒入黄色容器中；混合后，再把黄色容器中现有盐水的一半倒入白色容器中；混合后，再把白色容器中的盐水倒入黄色容器，使两个容器盐水一样多．问最后黄色容器中的盐水浓度是多少？ 【详解】从白色容器中倒一半给黄色容器后，黄色容器中有盐水750克， 其中含盐． 从黄色容器中倒一半给白色容器后，白色容器中有盐水250+375=625（克）， 其中含盐30+15=45（克），黄色容器中含盐为30-15=15（克）． 从白色容器中倒入625-500=125（克）给黄色容器， 其中含盐． 最后黄色容器中溶液浓度为（15+9）÷500×100%=4.8%． 5．一满杯水中溶有10克糖，搅匀后喝去；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去；添入6克糖，加满水搅匀，又喝去；再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去，那么此时杯中所剩的糖水中有多少克糖？ 【详解】根据题目，我们把原有的10克糖水和后加入的糖分别考虑． 杯中原有10克糖，喝完第四次后还剩； 第一次加入的6克糖，喝完第四次后还剩； 第二次加入的6克糖，喝完第四次后还剩； 第三次加入的6克糖，喝完第四次后还剩． 所以，当第四次喝完后，杯中所剩糖水中有糖． 6．有浓度分别为60%和30%的盐水，要配制成50%的盐水900克，应在这两种盐水各取多少克？ 【详解】我们先可以用假设法求一个量： 假设取的900克都是浓度为60%的食盐水，盐的重量是900×60%比实际上900×50%多90克，1克60%的盐水比1克30%的盐水含盐量的重量多1×60%-1×30%=0.3（克）， 需30%盐水90÷0.3=300（克）， 那么需60%的盐水900-300=600（克）． 7．有甲、乙、丙三个容量为1000毫升的容器．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升，丙容器有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器盐水的浓度各是多少？ 【分析】本题由于液体来回倒入，所以盐水浓度比较大．可以采取画表格的办法，列出每次倒后的浓度，边分析边填表，思路比较清晰，易得结果． 【详解】解： 甲 乙 丙 开始 40%的盐水400毫升 水400毫升 20%的盐水400毫升 第一次 40%的盐水200毫升 15%的盐水800毫升 20%的盐水200毫升 第二次 27.5%的盐水400毫升 15%的盐水400毫升 17.5%的盐水400毫升 答：最后甲容器中盐水的浓度是27.5%，乙容器中盐水的浓度是15%，丙容器的盐水浓度是17.5%． 8．把浓度为20%、30%、和45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓渡为35%的酒精溶液45千克．已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍．原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？ 【分析】从“浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍”可知，无论它们各取多少，它们之间的用量的比总是3∶1，那么混合后得到一种新的酒精溶液，其浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%，这样原题变为“把浓度为22.5%和45%的两种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45千克．求每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？” 【详解】浓度为20%与30%的两种酒精按3∶1的比例混合后所得到酒精溶液的浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5% 浓度为45%的酒精用量为：（45×35%-45×22.5%）÷(45%-22.5%)=25（千克） 浓度为30%的酒精用量为：（45-25）÷（3+1）=5（千克） 浓度为20%的酒精用量：5×3=15（千克） 答：浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15千克、5千克、25千克． 培优精练 1．两根电线共长52米，第一根的和第二根的的和是16米，求两根电线各长多少米？ 【详解】解：52×=13（米） 第二根：（16-13）÷（-） =3÷ =20（米） 第一根：52-20=32（米） 答：第一根长32米，第二根长20米． 2．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 【详解】6÷（1-）=8（只） 8÷（1-）=12（只） 12÷（1-）=18（只） 答：篮里原有桃子18只． 3．某工厂男工比女工的多3人，如果男工增加2人，女工减少4人，则男女工人数相等，这个车间原来有男女工各多少人？ 【分析】本题可以用方程来解决。设女工有x人，则男工有（）人。男工增加2人，女工减少4人，则此时男工人数为：（）人，女工人数为：人。根据此时男女工人数相等即可列出方程并求解。 【详解】解：设女工有x人，则男工有（）人。 男工： （人） 答：这个车间原来有男工21人，女工27人。 4．解放路小学六（1）班暑假组织学生参加游泳和乒乓球训练，全班无一人不参加，已知参加乒乓球训练的人数与两项都参加的人数比是12∶7，只参加游泳的人数是参加乒乓球训练人数的，只参加乒乓球训练的人数比只加游泳的人数多6人，求两项都参加的人数？ 【分析】我们把“参加乒乓球训练的人数”看作“单位1”。由“参加乒乓球训练的人数与两项都参加的人数比是12∶7，知“只参加乒乓球训练的人数为1，这个比只参加游泳训练的多6人，据此可求得参加乒乓球训练的人数，之后即可求出两项都参加的人数了。 【详解】1 6÷（）＝36（人） 3621（人） 答：两项都参加的有21人。 5．小王8时整骑摩托车从甲地出发前往乙地，8时15分追上一个早已从甲地出发的骑车人。小李8时15分开大客车从甲地出发前往乙地，8时30分追上这个骑车人。9时整，小王、小李同时到达乙地。已知小王、小李、骑车人的速度始终不变，骑车人从甲地出发时是几时几分？ 【分析】小王8时出发，9时整到达乙地共用60分，而追上骑车人用15分，因此小王追上骑车人时行了全程的； 小李8时15分出发，9时整到达乙地共用了45分，而追上骑车人用15分，因此小李追上骑车人时，行了全程的； 骑车人在甲到乙方向处被小王追上，15分钟后在甲到乙方向处被小李追上，因此骑车人15分钟行了甲到乙的距离的，即骑车人每行驶甲到乙的距离的时需要15分钟，则当汽车人到达甲到乙的距离的时，里面有3个，也就是3个15分钟，即骑车人从甲出发走到全程处时已用了45分钟，而此时正好是8时15分，可得出骑车人7点30分从甲地出发。 【详解】9时－8时＝1（小时） 1小时＝60（分） 8时15分－8时＝15（分钟） 15÷60＝ 8时30分－8时15分＝15（分钟） 9时－8时15分＝45（分钟） 15÷45＝ （分钟） 8时15分－45＝7时30分。 答：骑车人从甲地出发时是7时30分。 6．张华和李冰分别从A、B两地同时出发相向而行，张华的速度是李冰的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，张华的速度比原来增加了，李冰比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处35千米，A，B两地相距多少千米？ 【分析】张华的速度是李冰的，以李冰的速度为单位“1”，张华和李冰的速度比则第一次相遇时，张华行驶的路程是李冰的路程的，张华行驶了全程的，也就是这时相遇点距离A点。 李冰的速度比张华的快，当李冰从B地到达A地时，也就是行驶了全程，这时张华才行驶了全程的，还有才能到B地，这时李冰的速度比原来增加了，李冰的速度就是1＋，张华的速度不变还是，则张华的速度就是李冰的，即张华的路程就是李冰的。 当张华到达B地时，也就是张华行驶了，张华的路程就是李冰的，用除法得出李冰又行驶了。 这时，张华的速度比原来增加了，则现在的速度是1。这时张华的速度是李冰的，即张华的路程是李冰的。 第二次相遇时，两个人的之间的路程应该是减去李冰行驶前程的，则是全程的。李冰这时候行驶了的，即，这时李冰距离A地是。 综上所述，第一次相遇点距离A点是，第二次相遇点距离A点，之间相差全程的，正好是35千米，已知一个数的几分之几是多少用除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 35÷（） （千米） 答：A，B两地相距165千米。 7．一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5题，两人都答错的题目占总题数的。已知小明、小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，问他们都答对多少题？ 【分析】如图，根据题意小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占总题数的知试题总数为4的倍数也是6的倍数，所以试题数为12、24、36、48 ……；根据小亮错题为5题，两个人都错试题为知道试题数一定比题要少，但是根据都答对的题目数超过了试题总数的一半，知道试题总数为24。 【详解】如图所示： （题） （题） （题） （题） 答：他们都答对17题。 8．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 9．在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？ 【分析】第一次往浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%．在这个过程中，溶液中纯酒精的质量不变，我们只要计算出5千克浓度30%的酒精溶液中所含纯酒精的量，用这个量去除以加水前后溶液浓度的差值，即可计算出原有酒精溶液的量．第二次加入的是酒精，根据加入纯酒精前后溶液中含水的量不变，可以求出纯酒精溶液的质量，进而求出加入纯酒精的质量． 【详解】浓度为40%的酒精的质量为5×30%÷（40%-30%）=15（千克） 加酒精前溶液中含水的质量为（15+5）×（1-30%）=14（千克） 加纯酒精后溶液的质量为14÷（1-50%）=28（千克） 需加入纯酒精的质量为28-（15+5）=8（千克）． 答：需加入8千克的酒精． 10．我国某城市煤气收费规定：每月用量在立方米或立方米以下都一律收元，用量超过立方米的除交元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是元，月份煤气费是元，又知道月份煤气用量相当于月份的，那么超过立方米后，每立方米煤气应收多少元？ 【分析】82.26元和40.02元都超出了6.9元，所以煤气用量都大于8立方米，先求出超出6.9元的部分分别是多少钱，把8月份煤气用量看成7份，那么1月份煤气用量是15份，多了8份，求出每一份对应多少钱，再求出每立方米对应多少钱。 【详解】（元） （元） （元） 份 份 （立方米） （元） 答：每立方米煤气应收0.48元。 11．兄弟四人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的，老二出的钱是另外三人出钱总数的，老三出的钱是另外三人出钱总数的，老四比老三多出40元．求这台彩电多少钱？ 【分析】本题关键在于在于统一单位“1”，可以通过转化单位“1”，先求出老大、老二、老三出的钱分别占总钱数的几分之几．老大出的钱是总钱数的=，老二出的钱是总钱数的=，老三出的钱是总钱数的=． 【详解】老四出的钱占总钱数的：1－(＋＋)= 老四比老三多出的40元对应的分率为：－= 这台彩电的钱数为：40÷[1－(＋＋)－]=40÷=2400(元) 答：这台彩电钱数为2400元． 12．甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 【分析】根据“两种商品都按定价的90%出售，结果仍获得27.7元的利润”可知，两种商品售出后，共收入227.7元。由此可求出如果两种商品按原来的定价出售，共应该收入253元。这样，就可以求出两种商品如果按原来的定价出售，共应获利53元。 我们可以假设两种商品都按30%的利润来定价。那么两种商品出售后，共应获得利润60元。因为乙商品实际是按20%的利润来定价的，而我们却假设它按30%的利润来定价，因此比实际多获得利润相当于乙商品10%的利润，这样就可以求出乙商品的成本，进而求出商品的成本。 【详解】解法一：若两种商品都按原来的定价出售，一共应该获得利润 （200＋27.7）÷90%－200 ＝227.7÷90％ ＝53（元） 假设两种商品都按30%利润出售，一共应该得利润200×30%＝60（元） 比实际多获利润60－53＝7（元）所以，乙商品的成本： 7÷（30%－20%） ＝7÷10% ＝70（元）。 甲商品的成本是：200－70＝130（元） 解法二：设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（200－x）元。根据题意，列方程得： [（1＋30%）x＋（1＋20%）×（200－x）]×90%＝200＋27.7 [1.3x＋1.2×（200－x）]×90%＝227.7 [1.3x＋240－1.2x]＝227.7÷90% x＝130 所以，甲商品的成本是130元，乙商品的成本是200－130＝70（元）。 答：甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 13．商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？ 【分析】又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5=48（支），而这48支相当于总数的1﹣60%=40%，求出总支数为48÷40%=120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价． 【详解】这批钢笔的总数量： （372+84）÷9.5÷（1﹣60%）， =456÷9.5÷0.4， =48÷0.4， =120（支）； 每支钢笔的购进价： 9.5﹣372÷120， =9.5﹣3.1， =6.4（元）； 答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元． 14．抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟．现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干．如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？ 【详解】， 所以每分钟的渗水量是，甲抽水单独抽完水45分钟． 15．将1999减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，最后减去余下的，那么剩下的数是多少？ 【详解】试题分析：1999减去它的，得1999﹣1999×=1999×（1﹣）；减去余下的，得1999×（1﹣）﹣1999×（1﹣）×=1999×（1﹣）×（1﹣）；再减去余下的，得1999×（1﹣）×（1﹣）﹣1999×（1﹣）×（1﹣）×=1999×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）；…，依次类推，最后减去余下的，得1999×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣），进一步计算，通过约分，得出结果． 解：1999×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）， =1999××××…×， =1； 答：最后剩下的数是1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 综合与实践 之分数和百分数问题旧知复习 1、公式： 分率（百分数）=部分量÷单位“1” 利润 = 定价-成本 = 利润率X成本 利润率 = X 100% = X 100% 定价(售价) = 成本X (1+利润的百分数) = 成本+利润 成本 = = 定价(售价) - 利润 税率 = X100% 2、A比B多几分之几： A=B×（1+几分之几） A比B少几分之几： A=B×（1－几分之几） 小试牛刀 题型一：纯分数、百分数问题 1．有两块地共72亩，第一块地的和第二块地的种西红柿；两块地余下的共39亩种茄子，问第一块地是多少亩？ 2．仓库有一批水泥，第一天运走了总数的40%，第二天运走余下的一半，已知第一天比第二天多用了24吨。两天共运走多少吨？ 3．一个修路队修一条公路，第一天修了8千米，比第二天少修20%，第三天修的比第二天多24%。三天共修路多少千米？ 4．三个工程队合修一条长5800千米的铁路。第二队修的是第一队的，第三队修的是第一队的，三队各修路多少千米？ 5．建筑队运回一批砖，第一天运回25000块，比第二天多运25%，第二天运回的相当于全部的，还有多少块没运回？ 6．某工厂有职工500人，某天的出勤率是98%，其中出勤的女职工是男职工的，这天出勤的男职工有多少人？ 7．李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内。已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的卖给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%。原来东、西两院一共养鸡多少只？ 8．五年级有3个班，一班人数占全年级的，三班人数比二班人数多，如果从三班调走4人后，和二班人数同样多，求五年级共有多少人？ 题型二：利润和折扣问题 1．有一个集邮爱好者卖了两本集邮册，每本各卖600元，其中一本多卖了原价的20%，另一本少卖了原价的20%，试问他是赚钱还是赔钱？ 2．某种蜜瓜大量上市．这几天的价格每天都是前一天80%．妈妈第一天买了2千克，第二天买了3千克，第三天买了5千克，共花了38元．若这10千克蜜瓜都在第三天买，能少花多少钱？ 3．某商店同时卖出两件商品，每件60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，问这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？ 4．某商场在迎元旦展销期间，将一批电视机降价出售．如果打九折出售，可盈利215元；如果打八折出售，亏损125元．此电视机的购入价是多少元？ 5．某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有多少名？ 6．某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？ 7．某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？ 8．一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？ 题型三：利息、纳税问题 1．一家商店将某型号空调原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，九折优惠”，结果被工商部门发现有欺诈行为，为此按每台所多得利润的10倍处以4500元的罚款，求每台空调的原价是多少？ 2．某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人．一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5贷给乙．甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等．甲、乙各贷款多少元？ 3．张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？ 4．开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？ 5．某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？ 6．某商人用500元批入一批货物后，一次性以10%的利润批发给一买主，但买主不是付现金，而是付的存折．3个月以后，商人持存折向银行兑现，以年利率为2.25计算．兑现后，商人又批入与前次同样多钱的货物，又用与前次同样的方法批发给他人．这样进行8回，问这个商人共获利润多少元？ 题型四：浓度问题 1．一瓶纯酒精倒出，后用水加满，再倒出后，仍用水加满，再倒出后还用水加满，这时瓶中纯酒精比原来少几分之几？ 2．浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 3．浓度为10%，重量为80克的糖水中，加多少克水就得到浓度为8%的糖水？ 4．白色容器中有浓度为12%的盐水500克，黄色容器中有500克水．把白色容器中盐水的一半倒入黄色容器中；混合后，再把黄色容器中现有盐水的一半倒入白色容器中；混合后，再把白色容器中的盐水倒入黄色容器，使两个容器盐水一样多．问最后黄色容器中的盐水浓度是多少？ 5．一满杯水中溶有10克糖，搅匀后喝去；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去；添入6克糖，加满水搅匀，又喝去；再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去，那么此时杯中所剩的糖水中有多少克糖？ 6．有浓度分别为60%和30%的盐水，要配制成50%的盐水900克，应在这两种盐水各取多少克？ 7．有甲、乙、丙三个容量为1000毫升的容器．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升，丙容器有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器盐水的浓度各是多少？ 8．把浓度为20%、30%、和45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓渡为35%的酒精溶液45千克．已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍．原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？ 培优精练 1．两根电线共长52米，第一根的和第二根的的和是16米，求两根电线各长多少米？ 2．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 3．某工厂男工比女工的多3人，如果男工增加2人，女工减少4人，则男女工人数相等，这个车间原来有男女工各多少人？ 4．解放路小学六（1）班暑假组织学生参加游泳和乒乓球训练，全班无一人不参加，已知参加乒乓球训练的人数与两项都参加的人数比是12∶7，只参加游泳的人数是参加乒乓球训练人数的，只参加乒乓球训练的人数比只加游泳的人数多6人，求两项都参加的人数？ 5．小王8时整骑摩托车从甲地出发前往乙地，8时15分追上一个早已从甲地出发的骑车人。小李8时15分开大客车从甲地出发前往乙地，8时30分追上这个骑车人。9时整，小王、小李同时到达乙地。已知小王、小李、骑车人的速度始终不变，骑车人从甲地出发时是几时几分？ 6．张华和李冰分别从A、B两地同时出发相向而行，张华的速度是李冰的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，张华的速度比原来增加了，李冰比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处35千米，A，B两地相距多少千米？ 7．一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5题，两人都答错的题目占总题数的。已知小明、小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，问他们都答对多少题？ 8．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 9．在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？ 10．我国某城市煤气收费规定：每月用量在立方米或立方米以下都一律收元，用量超过立方米的除交元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是元，月份煤气费是元，又知道月份煤气用量相当于月份的，那么超过立方米后，每立方米煤气应收多少元？ 11．兄弟四人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的，老二出的钱是另外三人出钱总数的，老三出的钱是另外三人出钱总数的，老四比老三多出40元．求这台彩电多少钱？ 12．甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 13．商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？ 14．抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟．现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干．如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？ 15．将1999减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，最后减去余下的，那么剩下的数是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$