【小升初复习篇 第五章 综合与实践 方程问题】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版人教版专用）

第五章 综合与实践 之方程问题 旧知复习 列方程解决应用题的步骤： 1）弄清题意，设合适的未知数为x； 2）找出题目中的等量关系式； 3）根据等量关系列出方程； 4）解方程； 5）检验作答。 小试牛刀 题型一：直接设 1．两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？ 2．某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少个？ 3．师徒两人共同加工一批零件，徒弟每天做30个，师傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件，师傅每天做几个？ 4．农场有牛羊共160头，卖出羊的10%又买进30头牛，这时牛羊的头数相等。原有牛羊多少头？ 5．甲户养的羊比乙户养的多15只，如果甲户卖出其羊总只数的，乙户买入其羊总只数的，则两户的羊数恰好相等。甲、乙两户各有羊多少只？ 6．某职工大学去年共有学生2700人，今年男生人数比去年的增加9%，女生人数比去年的减少153人，今年共有学生2682人。职工大学去年有男生多少人？ 7．如图，乐乐在O点向北以每分钟40米的速度行走，贝贝在O点往东方向1050米处向西以每分钟65米的速度行走。两人同时出发多少分钟后与O点的距离相等？ 8．国庆期间，山西的特大暴雨，牵动了全国人民的心。山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡、路面冲毁、屋舍农田被淹。解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，第一队原来有多少人？ 9．如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮、黑皮各多少块？（提示：一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍） 题型二：间接设 1．某校五年级全体学生进行体育测试，第一次测试结束后，达标人数比未达标人数的4倍多1人，未达标的学生又进行了第二次测试，结果有10人达标，这样达标的人数是未达标人数的7倍。该校五年级共有多少人？ 2．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？ 3．如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板。4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒。而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板。现有这种规格的长方形纸板21张。 （1）怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ （2）根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？ 4．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出。然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置，已知搬运工体重均为120斤，求大象的重量？ 5．元元手上有两张数字卡片，这两个数字的和是13，元元先将这两张数字卡片组成一个两位数，再将这两张数字卡片位置对调，得到的新数比原来的数小9，你知道这两张数字卡片上的数字分别是多少吗？元元组成的第一个数是多少呢？ 6．下表显示了某一次钓鱼比赛的结果，上行的值表示钓到鱼的条数，下行的值表示钓到条鱼的参赛人数。 0 1 2 3 13 14 15 钓到条鱼的人数 9 5 7 23 5 2 1 当天的报纸对这次比赛做了如下的报道： ①获胜者钓到15条鱼； ②对钓到3条或3条以上的所有参赛者来说，每人平均钓到6条鱼； ③对钓到12条或者12条以下的鱼的参赛者来说，每人平均钓到5条鱼。 问：本次钓到鱼的总条数是多少？ 7．射击比赛多年来一直是奥运首金的产生地，东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国代表团揽入本届奥运会第一枚金牌。成功的背后是运动员刻苦训练的结果，一名射击运动员统计了近两天的射击成绩，这名运动员两天射击的次数相同。若第一天射中十环及以上的次数比十环以下的次数的4倍多2次，第二天射中十环及以上次数比第一天增加了8次，正好是十环以下次数的6倍。这名运动员每天射击多少次？ 8．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 9．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 10．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 培优精练 1．笼子里有鸡兔若干只，已知头35个，腿110只，问鸡、兔各多少只？ 2．将25克白糖放入空杯中，倒入100克白开水，充分搅拌后，喝去一半糖水．又加入36克白开水，若使杯中的糖水和原来的一样甜，需要加入多少克白糖？ 3．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？ 4．一条鲸鱼，头长 3 米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半，求这条大鲸鱼的全长． 5．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？ 6．钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？ 7．一次春游，六（1）班同学准备到公园划船．如果2名男生和3名女生坐一条船，则多2名男生；如果4名女生和3名男生坐一条船，则多1名女生．那么该班共有多少名同学？ 8．一块西红柿地今年获得丰收．第一天收了全部的，装了3筐还余12千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐，这块地共收了多少千克西红柿？ 9．希望小学的教师和学生共100人去植树．教师每人栽3棵树，学生平均每3人栽一棵树，一共栽100棵树．教师和学生各有多少人？ 10．五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数． 11．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。 12．A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%，18%，16%，它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g，那么A瓶糖水有多少克？ 13．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 14．张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元．两种付款方式的付款总数和付款时间都相同．假如一次性付款，可以少付房款1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：张老师要付房款多少万元？ 15．一个爱斯基摩人乘坐套有只狗的雪橇赶往朋友家，在途中第一天，雪橇以爱斯基摩人规定的速度全速行驶，一天后，有只狗扯断了缰绳和狼群一起逃走了，于是剩下的路程爱斯基摩人只好用只狗拖着雪橇，前进的速度是原来的，这使他到达目的地的时间比预计的时间迟到了天．事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天．”请问，爱斯基摩人总共走了多少千米路程？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 综合与实践 之方程问题 旧知复习 列方程解决应用题的步骤： 1）弄清题意，设合适的未知数为x； 2）找出题目中的等量关系式； 3）根据等量关系列出方程； 4）解方程； 5）检验作答。 小试牛刀 题型一：直接设 1．两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？ 【分析】本题可以用方程来解决。设快车每小时行x千米。根据“相遇路程＝相遇时间×速度和”即可列出方程，从而求解。 【详解】解：设快车每小时行x千米。 答：快车每小时行74千米。 2．某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少个？ 【分析】本题可以用方程来解决。设每人每小时必须生产x个。根据每人每小时可生产20个可以知道9个工人工作5.5小时可以完成的零件数为：（个）。要求剩下的任务必须在4小时内完成，即这4小时的可以完成的零件数为个。再根据一共要生产1926个零件即可列出方程从而解决问题。 【详解】解：设每人每小时必须生产x个。 答：每人每小时必须生产26个。 3．师徒两人共同加工一批零件，徒弟每天做30个，师傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件，师傅每天做几个？ 【分析】本题可以用方程来解决。设师傅每天做x个零件。师傅因有事只做了6天，因此师傅的工作量为6x个；徒弟每天做30个，比师傅多做了3天，因此徒弟的工作量为：（个）。最后再根据师傅比徒弟多做12个零件即可列出方程从而求解。 【详解】解：设师傅每天做x个零件。 答：师傅每天做47个零件。 4．农场有牛羊共160头，卖出羊的10%又买进30头牛，这时牛羊的头数相等。原有牛羊多少头？ 【分析】本题可以用方程来解决。设羊有x头，则牛有（160－x）头。卖出羊的10%又买进30头牛，此时羊的数量为：，牛的数量为：。根据这时牛羊的头数相等即可列出方程并求解。 【详解】解：设羊有x头，则牛有（160－x）头。 牛：（头） 答：原有羊100头，牛60头。 5．甲户养的羊比乙户养的多15只，如果甲户卖出其羊总只数的，乙户买入其羊总只数的，则两户的羊数恰好相等。甲、乙两户各有羊多少只？ 【分析】本题可以用方程来解决。先设乙户养的羊的只数为x只，则甲户养的羊的只数为（x＋15）只。如果甲户卖出其羊总只数的，乙户买入其羊总只数的，则两户的羊数恰好相等。因此等量关系为：，由此即可列出方程并求解。 【详解】解：设乙户养的羊的只数为x只，则甲户养的羊的只数为（x＋15）只。 48＋15＝63（只） 答：甲户养的羊的只数为63只，乙户养的羊的只数为48只。 6．某职工大学去年共有学生2700人，今年男生人数比去年的增加9%，女生人数比去年的减少153人，今年共有学生2682人。职工大学去年有男生多少人？ 【分析】假设去年有男生x人，则今年男生比去年增加9%x人，去年总共的学生数＋今年男生比去年增加的人数－今年女生比去年减少的人数＝今年总共的学生数，据此列方程即可解答。 【详解】解：设去年有男生x人。 2700＋9%x－153＝2682 2547＋9%x＝2682 9%x＝2682－2547 9%x＝135 x＝1500 答：职工大学去年有男生1500人。 7．如图，乐乐在O点向北以每分钟40米的速度行走，贝贝在O点往东方向1050米处向西以每分钟65米的速度行走。两人同时出发多少分钟后与O点的距离相等？ 【分析】可以利用方程解决，设两人同时出发x分钟后与O点的距离相等。乐乐的速度是每分钟40米，路程是40x米，贝贝的速度是65米，路程是65x米。 分情况：第一种是贝贝经过0点之前，根据数量关系式贝贝距离O点的路程－贝贝向O点走的路程＝乐乐走的路程，列方程求出时间。 第二种是贝贝经过0点之后，根据数量关系式贝贝向O点走的路程－贝贝距离O点的路程＝乐乐走的路程，列方程程求出时间。 【详解】解：当贝贝经过O点之前。 设两人同时出发x分钟后与O点的距离相等。 1050－65x＝40x 40x＋65x＝1050 105x＝1050 x＝1050÷105 x＝10 当贝贝经过O点后。 65x－1050＝40x 65x－40x＝1050 25x＝1050 x＝1050÷25 x＝42 答：两人同时出发10分钟或者42分钟后与O点的距离相等。 8．国庆期间，山西的特大暴雨，牵动了全国人民的心。山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡、路面冲毁、屋舍农田被淹。解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，第一队原来有多少人？ 【分析】设第一组原有人数为未知数，根据其人数的变化情况列方程求解。 【详解】解：设第一组原有人； 答：第一队原来有158人。 9．如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮、黑皮各多少块？（提示：一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍） 【分析】由题意可知，设足球上黑皮有x块，则白皮有（32－x）块，所以黑皮的边数有5x条，白皮的边数有6×（32－x）条，根据等量关系式：白皮的边数＝黑皮的边数×2，据此列方程即可。 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮有（32－x）块。 2×5x＝6×（32－x） 10x＝192－6x 10x＋6x＝192 16x＝192 x＝192÷16 x＝12 32－12＝20（块） 答：足球上黑皮有12块，白皮有20块。 题型二：间接设 1．某校五年级全体学生进行体育测试，第一次测试结束后，达标人数比未达标人数的4倍多1人，未达标的学生又进行了第二次测试，结果有10人达标，这样达标的人数是未达标人数的7倍。该校五年级共有多少人？ 【分析】第一次测试结束后，达标人数比未达标人数的4倍多1人，可以设设第一次未达标人数为x人，则达标人数为（4x＋1）人； 第二次测试后，有10人达标，即现在有（4x＋1＋10）人达标，未达标的人数是（x－10），则达标的人数是未达标人数的7倍，达标的人数是7（x－10），达标的人数相等，列出方程。得出第一次未达标人数为27人。最后根据五年级的人数＝达标人数＋未达标人数。 【详解】解：设第一次未达标人数为x人，则达标人数为（4x＋1）人， 4x＋1＋10＝7（x－10） 4x＋11＝7x－70 7x－4x＝70＋11 3x＝81 x＝81÷3 x＝27 27×4＋1＋27 ＝108＋28 ＝136（人） 答：该校五年级共有136人。 2．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？ 【分析】设爱吃白菜的小白兔有x只，根据题意可知爱吃萝卜的小白兔是2x只，不爱吃萝卜的就是（100－x）只，不爱吃白菜的小白兔就是（100－2x）只，根据不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍这个条件列出方程，解出未知数的值是爱吃白菜的小白兔的只数，进而求出爱吃萝卜的，这两个和减去总数100就是即爱吃白菜又爱吃萝卜的小白兔的只数，据此解答即可。 【详解】设爱吃白菜的小白兔有x只，则爱吃萝卜的小白兔是2x只，由题意可知： 100－x＝3×（100－2x） 100－x＝300－6x 100－x＋x＝300－6x＋x 100＝300－5x 100＋5x＝300－5x＋5x 100＋5x＝300 100＋5x－100＝300－100 5x＝200 5x÷5＝200÷5 x＝40 2×40＝80（只） 40＋80－100＝20（只） 答：它们当中有20只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。 3．如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板。4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒。而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板。现有这种规格的长方形纸板21张。 （1）怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ （2）根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？ 【分析】（1）设用x张纸板按图①所示的方法裁剪，则用（21－x）张纸板按图②所示的方法裁剪，根据裁得的小长方形纸板的总数量是裁得的小正方形纸板总数量的4倍，可列出关于x的方程，解出x的值（即按图①所示的方法裁剪的纸板数），再将其代入（21－x）及3（21－x）中，即可求出结论； （2）利用加工方还需要购进同样规格的长方形纸板的张数，即可求出结论。 【详解】（1）当裁剪出的小长方形和小正方形正好配套时，制成的无盖纸盒最多。 设用x张纸板按图①所示的方法裁剪，则用（21－x）张纸板按图②所示的方法裁剪， 根据题意得：2x＝4×3（21－x） 解得：x＝18 ∴21－x＝21－18＝3（张） 3（21－x）＝3×（21－18）＝9（个）。 答：用18张纸板按图①所示的方法裁剪，3张纸板按图②所示的方法裁剪，可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个； （2）根据题意得：80（张）。 答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张。 4．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出。然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置，已知搬运工体重均为120斤，求大象的重量？ 【分析】设一块条石的重量是x斤，则大象的重量可表示为（20x＋x＋120）斤，也可以表示为（20x＋3×120）斤，可列方程20x＋x＋120＝20x＋3×120，解方程求出x的值，再求出大象的重量即可。 【详解】解：设一块条石的重量是x斤， 根据题意得20x＋x＋120＝20x＋3×120 解得x＝240 ∴20×240＋3×120＝5160（斤） 答：大象的重量是5160斤。 5．元元手上有两张数字卡片，这两个数字的和是13，元元先将这两张数字卡片组成一个两位数，再将这两张数字卡片位置对调，得到的新数比原来的数小9，你知道这两张数字卡片上的数字分别是多少吗？元元组成的第一个数是多少呢？ 【分析】根据题意可知，两张数字卡片上的数都是一位数，两个数字之和是13，设较大的数字为x，则较小的数字为13－x，组成的较大的两位数为10x＋（13－x），组成的较小两位数为10（13－x）＋x，再根据等量关系：较大的两位数＝较小的两位数＋9列方程，先求两个卡片上的数是多少，再作进一步解答。 【详解】解：设较大的数字为x，则较小的数字为13－x。 10x＋（13－x）＝ 10（13－x）＋x＋9 9x＋13＝139－9x 18x＋13＝139 18x＝126 x＝7 13－7＝6 10×7＋（13－7） ＝70＋6 ＝76 答：两张数字卡片上的数字分别是7和6；元元组成的第一个数是76。 6．下表显示了某一次钓鱼比赛的结果，上行的值表示钓到鱼的条数，下行的值表示钓到条鱼的参赛人数。 0 1 2 3 13 14 15 钓到条鱼的人数 9 5 7 23 5 2 1 当天的报纸对这次比赛做了如下的报道： ①获胜者钓到15条鱼； ②对钓到3条或3条以上的所有参赛者来说，每人平均钓到6条鱼； ③对钓到12条或者12条以下的鱼的参赛者来说，每人平均钓到5条鱼。 问：本次钓到鱼的总条数是多少？ 【分析】从表格中可知，钓0条鱼的有9人，钓1条鱼的有5人，即一共钓5条鱼。钓2条鱼的有7人，即一共钓了14条。钓3条鱼的有23人，即一共钓了69条鱼。钓13条鱼的有5人，即一共钓了65条。钓14条鱼的有2人，即一共钓了28条鱼，钓15条鱼的有1人，即一共钓了15条鱼。根据总数＝平均数×数量，3条以及3条以上一共有的鱼的条数＝6×3条以及3条以上人数，再加上钓0条~2条的条数就是鱼的总条数。同理12条或者12条以下的鱼的总数＝5×12条或者12条以下的鱼的人数，再加上13条以及13条以上的鱼的条数也是鱼的总条数。两个等式相等，可以设钓到4条~12条的人数总共有x人，列出方程求出方程的解。 【详解】解：设钓到4条~12条的人数总共有x人。 6×（23＋x＋5＋2＋1）＋0×9＋1×5＋2×7＝5×（x＋23＋7＋5＋9）＋13×5＋14×2＋15×1 6×（x＋31）＋0＋5＋14＝5×（44＋x）＋65＋28＋15 6x＋186＋19＝220＋5x＋108 6x＋205＝5x＋328 6x－5x＋205－205＝5x－5x＋328－205 x＝123 6×（23＋123＋5＋2＋1）＋0×9＋1×5＋2×7 ＝6×154＋0＋5＋14 ＝924＋19 ＝943（条） 答：本次钓到鱼的总条数是943条。 7．射击比赛多年来一直是奥运首金的产生地，东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国代表团揽入本届奥运会第一枚金牌。成功的背后是运动员刻苦训练的结果，一名射击运动员统计了近两天的射击成绩，这名运动员两天射击的次数相同。若第一天射中十环及以上的次数比十环以下的次数的4倍多2次，第二天射中十环及以上次数比第一天增加了8次，正好是十环以下次数的6倍。这名运动员每天射击多少次？ 【分析】根据题干，设这名运动员射中十环以下的次数为x次，则射中射中十环及以上的次数就是（4x＋2）个，又因为每一天的射击的次数相同，所以第二天射中十环及以上次数是（4x＋2＋8＝4x＋10）次，那么没射中的就是（x－8）个；根据等量关系： 第二天射中十环及以上次数＝射中十环以下次数的6倍；列出方程解决问题。 【详解】设这名运动员射中十环以下的次数为x次，则射中射中十环及以上的次数就是（4x＋2）个，根据题意可得方程： 4x ＋2＋8＝ 6（x－ 8） 4x＋10＝6x－48 2x ＝ 58 x＝29 29× 4＋2＋ 29 ＝116＋2＋29 ＝ 147（个） 答：这名运动员每天射击147次。 8．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 9．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 【分析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程． 【详解】解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得 （x-1）×22=（x-3）×26． 解得x=14． 所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）． 答：这列火车的车身总长为286米． 10．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 培优精练 1．笼子里有鸡兔若干只，已知头35个，腿110只，问鸡、兔各多少只？ 【详解】试题分析：此题可以采用假设法：假设全是兔，那么就有35×4=140条腿，这样就比已知110条腿多了140﹣110=30条腿，已知每只兔比鸡多4﹣2条腿，由此即可求得鸡有30÷2=15只，由此即可解决问题． 解答：解：假设全是兔， 则鸡有：（35×4﹣110）÷（4﹣2）， =30÷2， =15（只）， 35﹣15=20（只）， 答：鸡有15只，兔有20只． 2．将25克白糖放入空杯中，倒入100克白开水，充分搅拌后，喝去一半糖水．又加入36克白开水，若使杯中的糖水和原来的一样甜，需要加入多少克白糖？ 【分析】要想杯中糖水一样甜，那就说明浓度相同，也就是说明糖和水的比例相同，可以利用浓度相同这个等量关系来列方程，也可以用比例相同这个等量关系来求解． 【详解】解法一：设需要加入白糖x克，则，解得x=9． 解法二：设需要加入糖x克，则，解得x=9． 答：需要加入9克白糖． 3．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？ 【详解】解：设今年儿子年龄岁数为x,则父亲年龄岁数为4x,根据题意得 2（x+20）=4x+20 解得x=10 4x=4×10=40（岁） 答：爸爸今年的年龄是40岁，儿子10岁． 4．一条鲸鱼，头长 3 米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半，求这条大鲸鱼的全长． 【分析】本题可设这条鲨鱼的身长为x米，则尾长=x-3米，又因为尾长等于头长加身长的一半，即尾长=x÷2＋3，由此可得方程：x÷2＋3=x-3，解此方程求得身长后，即能求得全长多少米． 【详解】解：设这条鲨鱼身长为x米，则尾长为x-3米，可得方程： x÷2+3=x-3 解得，x=12； 即身长为12米． 所以尾长：12-3=9（米）   全长为：3+12+9=24（米） 答：这条鲨鱼的全长为24米． 5．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？ 【分析】根据“甲取出自己存款的，乙取出12元，现在两人所存的钱数相等”，可找出数量之间的相等关系式为：甲的存款×（1-）=乙的存款-12，设甲原来存款x元，那么乙存款（108-x）元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：存款x元，那么乙存款(108−x)元，由题意得： (1−)x=108−x−12 解得，x=60 108−60=48(元) 答：甲原来存款60元，乙原来存款48元． 6．钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？ 【分析】（1）当时针和分针重合时，分针和时针的位置与7点的距离相等，当时针指向9时，分针指向12，它们相差9×30=270度，根据时间=路程÷速度差，可求出这时的时刻； （2）时针和分针位于数字“7”的两侧，9点整时，时针与数字7的夹角是6×10=60度，分针与数字7的夹角是6×35=210度，设经过x分钟，两针与7点的距离相等这时时针与数字7的夹角为60+0.5x度，分针与数字7的夹角为210﹣6x度，根据夹角相等可列出方程，求出时间，据此解答． 本题的关键是两种情况来进行讨论然后再根据追及问题和列方程的方法进行解答． 【详解】（1）9×30÷（6﹣0.5） =9×30÷5.5 =49（分钟） 当时针和分针重合时，这时时针与分针的位置与7点的距离相等，这时的时刻是9点49分． （2）解：设经过x分钟，两针与7点的距离相等 60+0.5x=210﹣6x 6.5x=150 x=23 当时针和分针在7点的两侧时针与分针的位置与7点的距离相等时的时刻是9时23分． 答：9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等 7．一次春游，六（1）班同学准备到公园划船．如果2名男生和3名女生坐一条船，则多2名男生；如果4名女生和3名男生坐一条船，则多1名女生．那么该班共有多少名同学？ 【详解】试题分析：设有X名男生，Y名女生，由题意“如果2名男生和3名女生坐一条船，则多2名男生；如果4名女生和3名男生坐一条船，则多1名女生”可得：=，=，组成方程组，解答求出男生和女生人数，进而求出全班人数． 解答：解：设有X名男生，Y名女生，则： 由=得：y=， 由=得：y=， 则：=， 2（4x+3）=3×（3x﹣6）， 8x+6=9x﹣18， x=24， 则把x=24代入=，则y=33； 全班共有：24+33=57（人）； 答：该班共有57名同学． 8．一块西红柿地今年获得丰收．第一天收了全部的，装了3筐还余12千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐，这块地共收了多少千克西红柿？ 【详解】解：设每筐西红柿重x千克，则这块西红柿地共收西红柿（3x+12+6x）千克． 1-= -= 根据题意可列方程：（3x+12+6x）=3x-12 整理得，x=15 解得，x=20 3x+12+6x=9×20+12=192（千克） 答：这块地共收了192千克西红柿． 9．希望小学的教师和学生共100人去植树．教师每人栽3棵树，学生平均每3人栽一棵树，一共栽100棵树．教师和学生各有多少人？ 【详解】解：设教师有x人，则学生有100﹣x人，由此可得方程： 3x+（100﹣x）=100 3x+﹣x=100， x=， x=25． 100﹣25=75（人）． 答：教师有25人，学生有75人． 10．五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数． 【分析】题目中不止一项未知数，但是各项未知数之间具有倍数关系，可以用方程法解答． 【详解】 设三项都参加的人数为x，那么参加朗诵小组的人数为7x，既参加绘画小组又参加朗诵小组人数为2x，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数也为2x，则： 46=24+20+7x-2x-2x-10+x 解得x=3 7x=21 答：参加朗诵小组的人数为21人． 11．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。 【分析】根据题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍。设B种酒精浓度为x%，则A种酒精浓度为2x%。A种酒精溶液100克，因此100×2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数。B种酒精溶液400克，因此400×x%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数。 【详解】解：设B种酒精浓度为x%，则A种酒精的浓度为2x%。 150＋6x＝14×15 x＝10 2x%＝2×10%＝20%。 答：A种酒精的浓度为20%。 12．A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%，18%，16%，它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g，那么A瓶糖水有多少克？ 【分析】三瓶糖水的浓度都是已知的，并且知道B瓶比C瓶多30克，可以假设C瓶为x克，那么B瓶为（x+30）克，A瓶糖水为：100-（x+x+30）=70-2x克，混合前后溶质的质量和没有发生变化，我们可以用这个等量关系来列方程解题． 【详解】解：设C瓶糖水有x克，则B瓶糖水为x+30克，A瓶糖水为100-（x+x+30）=70-2x， （70-2x）×20%+（x+30）×18%+x×16%=100×18.8%，整理得0.06x=0.6，解得x=10，所以A瓶糖水为：70-2×10=50（g） 答：A瓶糖水有50克． 13．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 【详解】本题属于追及问题，行人的速度为千米/时=米/秒，骑车人的速度为千米/时=米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差． 如果设火车的速度为米/秒，那么火车的车身长度可表示为或， 由此不难列出方程． 设这列火车的速度是米/秒，依题意列方程，得，解得． 所以火车的车身长为（米）． 14．张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元．两种付款方式的付款总数和付款时间都相同．假如一次性付款，可以少付房款1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：张老师要付房款多少万元？ 【详解】设分期付款方式的付款时间为年，则： ． 将的值代入方程的右式(也可代入左式)，可知分期付款的付款总数为(万元)． 所以，一次性付款的总数为(万元)． 15．一个爱斯基摩人乘坐套有只狗的雪橇赶往朋友家，在途中第一天，雪橇以爱斯基摩人规定的速度全速行驶，一天后，有只狗扯断了缰绳和狼群一起逃走了，于是剩下的路程爱斯基摩人只好用只狗拖着雪橇，前进的速度是原来的，这使他到达目的地的时间比预计的时间迟到了天．事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天．”请问，爱斯基摩人总共走了多少千米路程？ 【详解】(法1)根据爱斯基摩人所说的话，“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天”，可知只狗拉雪橇走千米，比只狗拉雪橇走千米少用一天． 设只狗的速度是千米/天，则根据题意有：，解得： 再设原计划走天，由题意得：，解得：， 所以爱斯基摩人总共走了：(千米)． (法2)由于所行总路程不变，依题意知只狗拉雪橇的速度与只狗拉雪橇的速度比为，所以时间比为，结果恰好晚了天， 所以行完全程计划用天，实际用了天， 再拖雪橇千米后所用时间比还是， 所以再拖雪橇千米后计划用时天．实际用时天， 所以只狗托雪橇的速度为(千米/天)， 所以全称为千米 1 学科网（北京）股份有限公司 $$