【小升初复习篇 第五章 综合与实践 比和比例问题】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版人教版专用）

第五章 综合与实践 之比和比例问题旧知复习 1、比例的基本性质;两个外项之积=两个内项之积 2、正比例:; 反比例: 3、比例的应用解题技巧: 一般法:把比例转化为分数,用分数方法解答,即先求总份数,然后求出各部分占总量的几分之几,最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法,分别求出各部分的量是多少。 归一法:把比看作分得的份数,先求出总份数,然后用“总量 总份数=平均每份的量(归一)”,再用“1份的量 各部分量所对应的份数”求出各部分的量。 小试牛刀 题型一:比和比例 1.能与∶组成比例的是( )。 A.16∶15 B.15∶16 C.24∶15 D.24∶36 2.如果男生人数占全班人数的40%,那么男生人数与女生人数的比是( )。 A.2∶5 B.2∶3 C.5∶3 D.3∶2 3.能与组成比例的是( )。 A.2∶3 B.3∶2 C. 4.x和y是两个相关联的量,且xy+4=20,x和y( )。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.无法确定 5.中学我们将会学到这样的知识:“三个角相等,三边成比例的两个三角形叫作相似三角形”。在小学我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解,下面( )两个三角形相似。 A.①和② B.①和③ C.①和④ D.③和④ 6.小宇在外旅游,他准备从Melville镇出发去Folley镇,大约需要行( )。 A.5km B.30km C.40km D.50km 7.甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4,年龄之和为45岁,则最大年龄是( )岁。 A.8 B.16 C.20 D.24 8.一个圆柱的侧面沿高展开后是正方形,则这个圆柱的底面直径与高之比是( )。 A.1∶ B.m∶1 C.1∶2 D.1∶4 9.=a(a≠0),当n一定时,m和a成( )比例;当m一定时,n和a成( )比例;当a一定时,m和n成( )比例。 10.一个长方形精密零件的长为6.5mm,宽为4mm,在一幅图纸上这个零件的宽为12cm,这幅图纸的比例尺是( ),在这幅图纸上这个零件的长是( )cm。 11.在一个比例里,两个内项互为倒数,一个外项是2.5,另一个外项是( )。如果一个内项是0.5,那么这个比例可能是( )。 12.立竿见影。同一时间、同一地点,竿高和影长成( )比例。如果一棵小树的高度是1.2米,影长是0.6米,同一时间、同一地点,测得一棵大树的影长是4.5米,那么这棵大树的高度是( )米。 13. ∶ 成 折。 14.15∶( )==0.75==。 题型二:比例应用题 1.甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发,相向而行,丙与甲同时从A出发,在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回,遇到甲也立即返回),已知丙每分钟跑240米,甲每分钟走40米,当丙第一次折返回来并与甲相遇时,甲、乙二人相距210米。 (1)那么乙每分钟走多少米? (2)甲下一次遇到丙时,甲、乙相距多少米? 2.王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高,于是提前1小时40分到达北京,北京、上海两市间的路程是多少千米? 3.淘气、笑笑、奇思三个人赛跑,三人同时从起点出发,9秒后,淘气到达终点,笑笑还需要1秒到达终点,奇思还需要3秒到达终点﹒若此时笑笑、奇思相距12米,求起点到终点的距离? 4.小明每天早上6点半从家里出发,走路去学校。平时保持每分钟35米,可以比规定时间提早5分钟到校;但今天他特别开心,步伐轻快,每分钟走50米,比规定时间提早20分钟到校,那么小明家距离学校有多远? 5.小华登山,从山脚到途中A点的速度是千米/时,从A点到山顶的速度是2千米/时。他到达山顶后立即按原路下山,下山速度是4千米/时,下山比上山少用了小时。已知途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少500米,且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时。问:从山脚到山顶的路程是多少千米? 6.两块合金含金比例不同,质量分别为64千克和25千克。是否可以从两块合金上各切下m千克的一块,彼此交换后重新熔合,得到两块含金比例相同的合金;如果可以,求出满足要求的m,如果不可以,请说明理由。 7.欢欢和乐乐同时从A地出发去C地,当欢欢来到AC之间的B地时,立刻调头返回,与乐乐迎面相遇。之后,欢欢即刻调头去C地,当他到达C地时,乐乐刚好来到B地。欢欢从C地返回时,再次与前往C地的乐乐迎面相遇。已知欢欢、乐乐的速度之比为5∶3,欢欢在第二次相遇过程中走了1000米(从第1次相遇点 C地 第2次相遇点),求AC全程是多少米? 8.一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作:第一次,沉入小球;第二次,取出小球,沉入中球;第三次,取出中球,沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍,第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 9.一个水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管,甲管注入18吨水时,水箱已满;若只开乙、丙两管,乙管注入27吨水时,水箱才满。又知,乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水? 10.周长一定,甲的长与宽的比为3:2,乙的长与宽的比是7:5,求甲乙的面积比是多少? 11.一位牧羊人赶着一群羊去放牧,跑出一只公羊后,他数了数羊的只数,发现剩下的羊中,公羊与母羊的只数比是9∶7;过了一会跑走的公羊又回到了羊群,却又跑走了一只母羊,牧羊人又数了数羊的只数,发现公羊与母羊的只数比是7∶5.这群羊原来有多少只? 12.有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子,甲与乙长度的比是6:5,甲钉子的钉入墙内,甲与丙钉入墙内的部分之比5:4,而它们留在墙外的部分一样长.问:甲、乙、丙的长度之比是多少? 13.一条路全长为30公里,分为上坡、平路和下坡三段,各段路程长的比是1∶2∶3,某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6,已知他上坡的速度是每小时3公里。问此人走完全程共用了多少时间? 14.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行,5小时后相遇在C点.如果甲速度不变,乙每小时多行4千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点D距C点10千米;如果乙速度不变,甲每小时多行3千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点E距C点5千米.问:甲原来的速度是每小时多少千米? 15.甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动,他们租了一辆大巴,已知学生步行的速度为5千米/小时,大巴车的行驶速度为55千米/小时,出发地到终点之间的距离为8千米,但大巴只够一个班的学生坐,于是他们计划先让甲班的学生坐大巴,乙、丙两班的学生步行,甲班学生搭乘大巴一段路后,下车步行,然后大巴车回头去接乙班学生,并追赶上步行的甲班学生,再回头载上丙班学生后一直驶到终点,如果三个班的学生同时到达,求这些学生到达终点一共所花的时间. 培优精练 1.在一幅比例尺为1∶16000000的地图上,量得甲、乙两地的距离为5厘米,有两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发,速度分别是85千米/时和75千米/时。两车经过多长时间相遇? 2.有甲、乙两筐水果,甲筐重96千克,从甲筐取出它的,从乙筐取出它的20%以后,此时甲乙两筐水果余下的重量比是4∶3,乙筐水果原来有多少千克? 3.“铁人三项”是将游泳、自行车和跑步这三项结合,考验运动员体力和意志的项目。其中跑步的距离是10千米,是自行车项目距离的四分之一,和游泳距离的比是20∶3。“铁人三项”的比赛全程是多少千米? 4.赵爷爷准备用自己多年的积蓄9900元资助某地灾区的失学儿童,他先拿出540元资助了3名失学儿童。照这样计算,剩下的钱还可以资助多少名失学儿童?(用比例知识解决) 5.在比例尺是1∶10000000的地图上,量得甲、乙两地的高速铁路长6.3厘米。高铁列车的平均运行速度是210千米/时,从甲地到乙地乘高铁大约需要几时? 6.有两包糖,每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知:①第一包糖的块数是第二包的;②在第一包糖中,奶糖占25%,在第二包糖中,水果糖占50%;③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的2倍。当两包糖合在一起时,巧克力糖占28%,那么水果糖所占的百分比是多少? 7.猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至少跑多少米才能追上兔子? 8.我国民间常用生姜、红糖和水煎服以防感冒(俗称“姜汤”)。小明妈妈一般把生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配好后,煎20分钟左右,做成姜汤,分给全家四口人喝。这天,小明妈妈准备了40克生姜。 (1)她需要准备红糖多少克? (2)小明家有一个容量为2升的壶,用来煎这天的姜汤,壶够大吗?(1升水的质量为1千克) (3)根据经验,妈妈估计姜汤煎好后蒸发掉的水量在60%左右,这天煎好后的姜汤大约有多少克? 9.某人骑自行车从小镇到县城,8点出发,计划9点到,骑了一段路后,自行车出了故障。下车就地修车10分钟,修车地点距中点还差2千米,他为了按时到县城,车速提高了,结果还是比预定时间晚2分钟到达县城,骑车人原来每小时行多少千米? 10.如图,四边形被分成四个三角形,四边形的面积是42平方厘米,其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米,那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米? 11.西安和合肥是“一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市,客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是4∶5,两车在途中相遇后继续行驶,客车把速度提高20%,货车速度不变,再行4小时后,货车到达合肥,而客车离西安还有116千米,西安合肥两地相距多少千米? 12.黔锋学校要定做一批凳子,如果加工厂每天加工200个,比规定时间提前3天完成任务,如果每天加工120个,比规定时间多用5天完成任务,规定完成任务的时间是多少天? 13.在比例尺是1∶2000000的地图上,量得两个城市之间的铁路长45厘米。甲乙两列火车同时从两个城市出发相对而行,4小时相遇。已知甲乙两车的速度比是3∶2,甲车每小时行多少千米? 14.甲、乙、丙三村合修一条公路,修完后甲村受益是丙村的3倍,乙村受益的等于甲村受益的。三个村原来协商按各个村受益的多少来派出劳力修公路,后来因丙村抽不出劳力,经再次协商,丙村抽不出的劳力由甲、乙两村分担,丙村共付给甲、乙两村工钱1200元,结果甲村共派45人,乙村共派35人完成修路任务。问:甲、乙两村各应分得工钱多少元? 15.港珠澳大桥是东亚建设中的跨海大桥,连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市,设计时速每小时100千米。大桥在2018年10月24日上午9时正式通车。星期六早上,李叔叔和林阿姨分别开车从大桥两端即香港口岸人工岛和珠海洪湾拱北,同时出发,相向而行。李叔叔的车速每小时90千米,李叔叔与林阿姨的行车速度比是6∶5,他们相遇时距离大桥中点2.5千米。李叔叔到达珠海后,上午8:30把车停在珠海市粤华路,办完事后于下午2:45离开,驱车回香港。 (1)港珠澳大桥全长多少千米? (2)自2018年3月底珠海市第二批路内停车收费设施启用以来,目前夏湾路、昌平路、港一路、港二路、港三路、粤华路、莲花路、侨光路等路段的停车位正式投入使用。具体计费标准以30分钟为一个单位,繁忙时段:8:30—17:30,前30分钟(含第30分钟)收费2元,此后每30分钟收费3元,如不满30分钟则以30分钟计算。据此,请你计算出李叔叔停车费应付多少元。 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第五章 综合与实践 之比和比例问题旧知复习 1、比例的基本性质；两个外项之积=两个内项之积 2、正比例：； 反比例： 3、比例的应用解题技巧： · 一般法：把比例转化为分数，用分数方法解答，即先求总份数，然后求出各部分占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。 · 归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数=平均每份的量（归一）”，再用“1份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分的量。 小试牛刀 题型一：比和比例 1．能与∶组成比例的是（    ）。 A．16∶15 B．15∶16 C．24∶15 D．24∶36 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，据此逐项分析解答即可。 【详解】A．∶和16∶15，把和15看作两个外项，和16看作两个内项，×15＝×16＝10，所以，∶与16∶15能组成比例； B．∶和15∶16，把和16看作两个外项，和15看作两个内项，×16＝，×15＝，，所以∶和15∶16不能组成比例； C．∶和24∶15，把和15看作两个外项，和24看作两个内项，×15＝10，×24＝15，10≠15，所以，∶与24∶15不能组成比例； D．∶和24∶36，把和36看作两个外项，和24看作两个内项，×36＝24，×24＝15，24≠15，所以，∶和24∶36不能组成比例。 故答案为：A 2．如果男生人数占全班人数的40%，那么男生人数与女生人数的比是（    ）。 A．2∶5 B．2∶3 C．5∶3 D．3∶2 【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的40%，那么女生占全班人数的：1－40%＝60%，据此求出男生人数与女生人数的比即可。 【详解】女生占全班人数的：1－40%＝60% 男生人数与女生人数的比是：40%∶60%＝（40%÷20%）∶（60%÷20%）＝2∶3 故答案为：B 3．能与组成比例的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C． 【分析】比值相等的两个比，可以组成比例。据此，用比的前项除以后项，求出各个比的比值，再找出能与组成比例的即可。 【详解】＝＝＝ A．2∶3＝2÷3＝； B．3∶2＝3÷2＝； C．＝＝＝； 所以，能与组成比例的是3∶2。 故答案为：B 4．x和y是两个相关联的量，且xy＋4＝20，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【分析】判断两个量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为xy＋4＝20，所以xy＝20－4＝16（一定），x和y的乘积一定，所以x和y成反比例。 故答案为：B 5．中学我们将会学到这样的知识：“三个角相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形”。在小学我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，下面（    ）两个三角形相似。 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 【分析】根据“三个角相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形”， 图形的放大和缩小只改变图形的大小，不改变图形的形状。据此分析判断。 【详解】A．①是一个钝角三角形，②是一个锐角三角形，它们的形状明显不同，角不相等，所以①和②不相似。 B．①和③都是钝角三角形，但对应角不相等，因此①和③不相似。 C．①和④都是钝角三角形，从形状上看，它们具有相似性，可看作是图形的放大和缩小关系，即三个角相等，符合相似三角形的特征，所以①和④相似。 D．④是钝角三角形，形状③是钝角三角形，对应边不成比例，不能看作是图形的放大或缩小，所以③和④不相似。 所以①和④两个三角形相似。 故答案为：C 6．小宇在外旅游，他准备从Melville镇出发去Folley镇，大约需要行（    ）。 A．5km B．30km C．40km D．50km 【分析】图上1cm表示实际距离10km，比例尺为1∶1000000；量的从Melville镇到Folley镇的图上距离大约是4cm，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】1cm∶10km ＝1cm∶1000000cm ＝1∶1000000 量的从Melville镇到Folley镇的图上距离大约是4cm。 （cm） 4000000cm＝40km 因此从Melville镇出发去Folley镇，大约需要行40km。 故答案为：C 7．甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4，年龄之和为45岁，则最大年龄是（    ）岁。 A．8 B．16 C．20 D．24 【分析】分析题目，根据比的意义先用三人的年龄之和除以三人的年龄总份数（2＋3＋4）可以得到一份是多少，再乘最大的年龄所占的份数4即可得到最大年龄是多少岁。 【详解】45÷（2＋3＋4） ＝45÷9 ＝5（岁） 5×4＝20（岁） 甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4，年龄之和为45岁，则最大年龄是20岁。 故答案为：C 8．一个圆柱的侧面沿高展开后是正方形，则这个圆柱的底面直径与高之比是（    ）。 A．1∶π B．m∶1 C．1∶2π D．1∶4π 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征可知，圆柱的侧面展开图是正方形时，圆柱的底面周长等于高；根据圆的周长公式C＝πd，可知πd＝h；根据比的意义写出圆柱的底面直径与高之比，化简比即可。 【详解】设圆柱的底面直径为d，圆柱的高为h，且πd＝h； 圆柱的底面直径∶高 ＝d∶πd ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 则这个圆柱的底面直径与高之比是1∶π。 故答案为：A 9．＝a（a≠0），当n一定时，m和a成( )比例；当m一定时，n和a成( )比例；当a一定时，m和n成( )比例。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为如果＝a（a≠0），那么m÷a＝n，a×n＝m， 当n一定时，即比值一定，m和a成正比例； 当m一定时，即乘积一定，n和a成反比例； 当a一定时，即比值一定，m和n成正比例。 10．一个长方形精密零件的长为6.5mm，宽为4mm，在一幅图纸上这个零件的宽为12cm，这幅图纸的比例尺是( )，在这幅图纸上这个零件的长是( )cm。 【分析】已知一个长方形精密零件的宽为4mm，在一幅图纸上这个零件的宽为12cm，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1cm＝10mm”，求出这幅图纸的比例尺； 已知长方形精密零件的长为6.5mm，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出在这幅图纸上这个零件的长。 【详解】12cm∶4mm ＝（12×10）mm∶4mm ＝120∶4 ＝（120÷4）∶（4÷4） ＝30∶1 6.5×＝195（mm） 195mm＝19.5cm 这幅图纸的比例尺是30∶1，在这幅图纸上这个零件的长是19.5cm。 11．在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是2.5，另一个外项是( )。如果一个内项是0.5，那么这个比例可能是( )。 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，如果两个内项互为倒数，则两个内项之积等于1，用1÷2.5即可求出另一个外项。根据内项是0.5，用1÷0.5求出另一个内项，然后写出比例即可。 【详解】1÷2.5＝0.4 1÷0.5＝2 比例为：2.5∶0.5＝2∶0.4 所以，两个内项互为倒数，一个外项是2.5，另一个外项是0.4。如果一个内项是0.5，那么这个比例可能是2.5∶0.5＝2∶0.4（比例答案不唯一）。 12．立竿见影。同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。如果一棵小树的高度是1.2米，影长是0.6米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.5米，那么这棵大树的高度是( )米。 【分析】同一时间、同一地点，物体的长度和它影子长度的比值一定，所以同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例关系，大树的高度∶大树的影长＝小树的高度∶小树的影长，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。 解：设这棵大树的高度是x米。 x∶4.5＝1.2∶0.6 0.6x＝4.5×1.2 0.6x＝5.4 x＝5.4÷0.6 x＝9 所以，这棵大树的高度是9米。 13． ∶ 成 折。 【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此根据分数与除法和比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空。分数化小数，直接用分子÷分母，小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可，根据几成或几折就是百分之几十，确定成数和折扣。 【详解】＝4∶5＝4÷5 30÷5×4＝24；20÷4×5＝25；4÷5＝0.8＝80%＝八成＝八折 24∶2580八成八折 14．15∶（    ）＝＝0.75＝＝。 【分析】小数化成分数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号。 【详解】0.75＝＝ ＝＝，＝15∶20 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 即15∶20＝＝0.75＝＝。 题型二：比例应用题 1．甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回），已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米。 （1）那么乙每分钟走多少米？ （2）甲下一次遇到丙时，甲、乙相距多少米？ 【分析】如图所示： 假设乙、丙在处相遇，然后丙返回，并在处与甲相遇，此时乙则从走处到处．根据题意可知米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从到再到的长度是的6倍，那么，，可见．那么丙从到所用的时间是从到所用时间的，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和（加）是前一段时间内乙、丙所走的路程之和（加，即全程）的，所以，而，可得，． 相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为（米/分），即乙每分钟走60米． 当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的，为米。 【详解】（1）如图所示： 假设乙、丙在处相遇，然后丙返回，并在处与甲相遇，此时乙则从走处到处．则DE＝210米。 V丙∶V甲＝240∶40＝6∶1 S丙∶S甲＝6∶1           ∴ （米） ∴， 相同时间内，丙乙的路程比是280∶70＝4∶1 所以，丙乙的速度比＝4∶1 乙的速度：（米/分） （2）当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离变为原来的。 甲下一次遇到丙时，甲、乙相距：米 答：那么乙每分钟走60米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距90米。 2．王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京，北京、上海两市间的路程是多少千米？ 【分析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，即车速与原计划的车速比为10∶9，则所用时间比为9∶10，即比原计划少用1份的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1份，原计划时间为：1.5÷（10－9）×10＝15（小时）；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，即此后车速与原来的车速比为7∶6，则此后所用时间与原计划的时间比为6∶7，即此后比原计划少用1份的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1份，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：÷（7－6）×7＝（小时），所以，原计划的速度为：280÷（15－）＝84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：84×15＝1260（千米）。 【详解】一个半小时＝1.5小时    1小时40分＝小时 出发时：实际车速∶原计划车速＝10∶9 根据路程一定，速度和时间成反比 实际用时∶原计划用时＝9∶10 原计划用时＝1.5÷（10－9）×10＝15（小时） 返回时，行了280千米后 实际车速∶原计划车速＝7∶6 实际用时∶原计划用时＝6∶7 原计划用时＝÷（7－6）×7＝（小时） 即前280千米用时：15－＝（小时） 原计划速度：280÷＝84（千米/小时） 全程：84×15＝1260（千米） 答：北京、上海两市间的路程是1260千米。 3．淘气、笑笑、奇思三个人赛跑，三人同时从起点出发，9秒后，淘气到达终点，笑笑还需要1秒到达终点，奇思还需要3秒到达终点﹒若此时笑笑、奇思相距12米，求起点到终点的距离？ 【分析】淘气、笑笑、奇思三人到达终点时，分别用时9秒，10秒，12秒，则三人的时间比是9∶10∶12；路程相同，速度和时间成反比，因此，三人的速度比是：20∶18∶15，那么，当淘气到达终点时，三人的时间相同，速度和路程成正比，此时，三人的路程比是20∶18∶15，再结合笑笑和奇思相距12米，即可得出答案。 【详解】淘气、笑笑、奇思三人都达到终点用时比＝9∶10∶12 根据路程相同，速度和时间成反比， 淘气、笑笑、奇思三人的速度比＝20∶18∶15 当淘气到达终点时，三人的时间相同，速度和路程成正比， 此时，淘气、笑笑、奇思的路程比＝20∶18∶15 全程＝12÷（18－15）×20＝80（米） 答：起点到终点的距离是80米。 4．小明每天早上6点半从家里出发，走路去学校。平时保持每分钟35米，可以比规定时间提早5分钟到校；但今天他特别开心，步伐轻快，每分钟走50米，比规定时间提早20分钟到校，那么小明家距离学校有多远？ 【分析】平时和今天相比，小明所走的路程是一样的，速度和时间成反比，平时和今天的速度比是35∶50＝7∶10，则平时和今天所用的时间比是10∶7，相差3份，相差了20－5＝15分钟，即可算出平时的时间，再乘平时的速度，即可得到全程。 【详解】小明平时和今天的速度比＝35∶50＝7∶10 时间比＝10∶7 平时所用时间：（20－5）÷（10－7）×10＝50（分钟） 总路程：50×35＝1750（米） 答：小明家距离学校有1750米。 5．小华登山，从山脚到途中A点的速度是千米/时，从A点到山顶的速度是2千米/时。他到达山顶后立即按原路下山，下山速度是4千米/时，下山比上山少用了小时。已知途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少500米，且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时。问：从山脚到山顶的路程是多少千米？ 【分析】如图：可以看到AB相距0.5千米，“小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时”我们不妨让小华下山也走到A点，这样一共走了1＋0.5÷4小时，因为从A点上山与从山顶到A点路程相同，根据反比例的意义，上山与下山的速度比是2∶4＝1∶2，因此上山与下山的时间比是2∶1，把按2∶1分配，上山用了小时，可得出从A点上山路是21.5千米；可算出A点上山顶与山顶到A点所用的时间差为：1.5÷2小时，1.5÷4小时，小时，因此小时的时间差是在行山脚与A点这段路程中产生的。这段路程中上、下山的速度比是∶4＝2∶3，则时间比为3∶2，而时间差为小时，可见3份与2份差1份是小时，因此上山的3份时间是小时，4千米，也可求得结果为5.5千米。 【详解】如图： 500米＝0.5千米，1＋0.5÷4（小时） 上山与下山的速度比是2∶4＝1∶2 因此上山与下山的时间比是2∶1 （小时） （小时） 得出从A点上山路是21.5（千米） 1.5÷2－1.5÷4（小时） 下山的速度比是∶4＝2∶3，则时间比为3∶2 （）÷（3－2）×3×1.5 ＝1.51.5 ＝5.5（千米） 答：从山脚到山顶的路程是5.5千米。 6．两块合金含金比例不同，质量分别为64千克和25千克。是否可以从两块合金上各切下m千克的一块，彼此交换后重新熔合，得到两块含金比例相同的合金；如果可以，求出满足要求的m，如果不可以，请说明理由。 【分析】设64千克和25千克的合金各含金的百分比为a、b，则交换后第一块含金[a×（64－m）＋bm]千克，第二块含金[b×（25－m）＋am]千克，根据交换后得到两块含金比例相同列比例即可求解。 【详解】解：设64千克和25千克的合金各含金的百分比为a、b。 1600a－25ma＋25bm＝1600b－64bm＋64am 89m（a－b）＝1600（a－b） m 答：交换千克合金即可。 7．欢欢和乐乐同时从A地出发去C地，当欢欢来到AC之间的B地时，立刻调头返回，与乐乐迎面相遇。之后，欢欢即刻调头去C地，当他到达C地时，乐乐刚好来到B地。欢欢从C地返回时，再次与前往C地的乐乐迎面相遇。已知欢欢、乐乐的速度之比为5∶3，欢欢在第二次相遇过程中走了1000米（从第1次相遇点→C地→第2次相遇点），求AC全程是多少米？ 【分析】根据题意，我们知道，他们相遇时的路程比与速度比相同，故第二次他们相遇时，共走的路程是B到C的距离，假设其中欢欢走了5份，乐乐走了3份，即BC之间的距离为5＋3＝8（份）；再根据“第一次相遇后，欢欢即刻调头去C地，当他到达C地时，乐乐刚好来到B地”，可见，BC的距离是第一次相遇点到C地距离的，则第一次相遇点到B地距离是88＝12（份）；接着根据“当欢欢来到AC之间的B地时，立刻调头返回，与乐乐迎面相遇”，可知，第一次相遇点到B地距离正好是AB之间距离的，即AB的距离是1248（份）；那么AC之间的距离是48＋8＝56（份）；又因为“欢欢在第二次相遇过程中走了1000米（从第1次相遇点→C地→第2次相遇点）”，可见，12＋8＋5＝25（份）的距离是1000米，据此即可求出全程56份是多少米了。 【详解】解：设第二次相遇中欢欢走了5份路程，乐乐走了3份路程，则得： 5＋3＝8（份） 88＝12（份） （5－3）÷2＝1 1248（份） 48＋8＝56（份） 12＋8＋5＝25（份） 1000÷25×56＝2240（米） 答：AC全程是2240米。 8．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 【分析】第一次溢出的水量的体积相当于是小球的体积；第二次溢出的水量的体积相当于是中球体积减去小球体积；第三次溢出的水量的体积相当于是大球体积减去中球体积。 【详解】设第二次溢出的水量是1份，那么第一次溢出的水量是3份，第三次溢出的水量是6份； 那么小球体积是3份，中球的体积为3＋1＝4份，大球体积是4＋6＝10份； 所以小中大三球的体积比是3∶4∶10。 答：小、中、大三球的体积比是3∶4∶10。 9．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 10．周长一定，甲的长与宽的比为3：2，乙的长与宽的比是7：5，求甲乙的面积比是多少？ 【详解】甲的长与宽的比是3：2，可知甲的长和宽一共是5份；乙的长与宽的比是7：5，可知乙的长和宽一共是12份；根据“甲乙两个长方形的周长相等”，可得出它们的周长是5和12的最小公倍数，即：．分别求出甲乙各自的长和宽，就可以求出面积的比． 甲的长，宽= ；乙的长=宽= 甲的；乙的；它们面积的比是：864：875 11．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5．这群羊原来有多少只？ 【分析】分析题意，设这群羊原有x只，结合已知条件可知：(原有羊的只数-1)×跑走一只公羊后现在公羊只数占总数的分率+1=(原有羊的只数-1)×跑走一只母羊后公羊占总只数的分率，根据这个等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这群羊原来有x只 (x-1)×+1=(x-1)× x=49 答：这群羊原来有49只． 12．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 【详解】假设甲的长度是6，则乙的长度是5， 所以甲钉入墙内：6×，留在外面：6－4=2， 丙钉入墙内部分的长度：4÷5x4= ， 丙的长度： ， 甲、乙、丙三枚钉子的长度比是6:5： = 30:25:26 答：甲、乙、丙三枚钉子的长度比是30:25:26。 13．一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里。问此人走完全程共用了多少时间？ 【分析】根据各段路程长的比和一条路全长，求出上坡路的路程，再用上坡路的路程除以他上坡的速度，求出上坡的时间，再用上坡的时间除以上坡所占总时间的几分之几，即可求出此人走完全程的时间。 【详解】上坡路的路程为（公里） 走上坡路所用的时间为（小时） 上坡路所用时间与全程所用时间为 走完全程所用的时间为（小时） 答：此人走完全程共用小时。 14．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米．问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【详解】三种相遇方式两人行程距离，行程时间都不相同，所以应该将其中一项化为相等． 当乙每小时多行4千米时，5小时可以多行20千米，所以当两人相遇后继续向前走，5小时的时候甲可以走到C点，乙可以走过了C点20千米．相遇点D距C点10千米，因此两人相遇后各走了10千米，所以甲乙二人速度相等，即原来甲比乙每小时多行4千米．同理，当甲每小时多行3千米，则5小时可以多行15千米，所以当两人相遇后继续向前走，5小时的时候乙可以走到C点，甲可以走过了C点15千米．而相遇点E距C点5千米，因此两人相遇后甲走了10千米，乙走了5千米．甲、乙两人的速度比为2：1． 于是题目就化为一道简单的差倍问题． （4+3）÷（2-1）+4=11（千米/小时） 所以甲原来的速度是每小时11千米． 15．甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生坐大巴，乙、丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，如果三个班的学生同时到达，求这些学生到达终点一共所花的时间． 【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．由于题目条件只涉及速度和总路程，所以如果要求出时间必须首先将速度和路程对应起来，即明确学生或者大巴车的行程路段，因此我们应该画出整个行程过程的线段示意图． 如图所示：虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点D到出发点A的距离是乙班学生搭车前步行距离AB的（11+1）÷2=6倍， 如果将乙班学生搭车前步行距离AB看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离AD为6份，大巴车第一次折返点D到接到乙班学生B又行驶了5份距离， 同样的大巴车在B点接到乙班学生到在E点追上甲班学生所走的路程也应该是6份距离， 而从E点回来到C点接到丙班的距离为5份，大巴车从C点到终点F的距离为6份， 这样大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为6-5+6-5+6=8份， 所以大巴车一共行驶了8÷8×28=28（千米）， 所花的总时间为28÷55=小时． 培优精练 1．在一幅比例尺为1∶16000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为5厘米，有两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，速度分别是85千米/时和75千米/时。两车经过多长时间相遇？ 【分析】已知地图的比例尺和甲、乙两地的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地的实际距离； 已知分别从甲、乙两地同时出发的两辆汽车的速度，根据“相遇时间＝路程÷速度和”求出两车的相遇时间。 【详解】5÷ ＝5×16000000 ＝80000000（厘米） 80000000厘米＝800千米 800÷（85＋75） ＝800÷160 ＝5（小时） 答：两车经过5小时相遇。 2．有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4∶3，乙筐水果原来有多少千克？ 【分析】把甲筐水果原来的质量看作单位“1”， 从甲筐取出它的，还剩1－，根据求一个数的几分之几是多少，用96×（1－）求出甲筐水果剩下的质量，把甲筐水果余下的部分看作4份，乙筐水果余下的部分看作3份，用甲筐水果剩下的质量除以4，求出1份是多少，再乘3求出乙筐水果剩下的质量，从乙筐取出它的20%以后，还剩下（1－20%），对应的数量是乙筐水果剩下的质量，用乙筐水果剩下的质量除以（1－20%）即可求出乙筐水果原来有多少千克。 【详解】96×（1－） ＝96× ＝64（千克） 64÷4×3 ＝16×3 ＝48（千克） 48÷（1－20%） ＝48÷0.8 ＝60（千克） 答：乙筐水果原来有60千克。 3．“铁人三项”是将游泳、自行车和跑步这三项结合，考验运动员体力和意志的项目。其中跑步的距离是10千米，是自行车项目距离的四分之一，和游泳距离的比是20∶3。“铁人三项”的比赛全程是多少千米？ 【分析】跑步的距离看作单位“1”，是自行车项目距离的四分之一，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，列式：10÷，求出自行车项目距离；跑步的距离和游泳距离的比是20∶3，把跑步的距离看20份，游泳距离看作3份，先求出1份的量再求出3份的量，即为游泳距离； 将跑步的距离、自行车项目距离和游泳距离求和，计算出“铁人三项”的比赛全程距离。 【详解】10÷ ＝10×4 ＝40（千米） 10÷20×3 ＝0.5×3 ＝1.5（千米） 10＋40＋1.5＝51.5（千米） 答：“铁人三项”的比赛全程是51.5千米。 4．赵爷爷准备用自己多年的积蓄9900元资助某地灾区的失学儿童，他先拿出540元资助了3名失学儿童。照这样计算，剩下的钱还可以资助多少名失学儿童？（用比例知识解决） 【分析】根据照这样计算，资助每个失学儿童的钱数一定，即资助的钱数与被资助的失学儿童的人数的比值是一定的，二者成正比例，设出未知数，列出比例方程解答即可。 【详解】解：设剩下的钱还可以资助x名失学儿童。 （9900－540）∶x＝540∶3 540x＝（9900－540）×3 540x＝9360×3 540x＝28080 540x÷540＝28080÷540 x＝52 答：剩下的钱还可以资助52名失学儿童。 5．在比例尺是1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的高速铁路长6.3厘米。高铁列车的平均运行速度是210千米/时，从甲地到乙地乘高铁大约需要几时？ 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出甲乙两地的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，列式解答即可。 【详解】6.3÷＝6.3×10000000＝63000000（厘米） 63000000厘米＝630千米 630÷210＝3（时） 答：从甲地到乙地乘高铁大约需要3时。 6．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的块数是第二包的；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的2倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占的百分比是多少？ 【分析】已知第一包糖的粒数是第二包糖的，那么第一包糖数量与第二包糖数量的比为2∶3，把两包糖的总数看作2＋3＝5份，所以第一包糖占总数的，第二包糖占总数的1－＝；因为巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的2倍，设巧克力糖在第二包糖中所占百分比为x，那么在第一包糖中所占百分比为2x，第一包糖中巧克力糖占总数的比为2x×，第二包糖中巧克力糖占总数的比为x×，所以第一包糖中巧克力糖占总数的比与第二包糖中巧克力糖占总数的比为（2x×）∶（x×）＝4∶3；又因为两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，即0.28，所以第一包糖中巧古力糖占总数的比为0.28×＝0.16，也就是16%；已知第一包糖中巧克力糖占总数的比为16%，第一包糖占总数的，那么巧克力糖在第一包糖中所占的百分比16%÷＝0.4＝40%，把第一包糖看作单位“1”，那么水果糖在第一包糖中所占的百分比为100%－25%－40%＝35%；求两包糖合在一起时水果糖所占的百分比，第一包糖占总数的，其中水果糖占35%，所以第一包糖中的水果占总数的35%×，第二包糖占总数的，其中水果糖占50%，所以第二包糖中的水果糖中的水果占总数的50%×，据此把第一包糖中的水果占总数的分率加上第二包糖中的水果糖中的水果占总数的分率相加即可解答。 【详解】已知第一包糖的粒数是第二包糖的，2＋3＝5份，所以第一包糖占总数的，第二包糖占总数的1－＝； 设巧克力糖在第二包糖中所占百分比为x。 （2x×）∶（x×） ＝x∶x ＝∶ ＝（×5）∶（×5） ＝4∶3 28%× ＝0.28× ＝0.16 ＝16% 16%÷＝0.16×＝0.4＝40% （1－25%－40%）×＋50%× ＝（75%－40%）×＋30% ＝35%×＋30% ＝14%＋30% ＝44% 答：水果糖所占的百分比是44%。 7．猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 【分析】由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米；由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3＝a米；从而可知猎犬与兔子的速度比是2a∶a ＝6∶5，在同一时间里，路程比就是速度比6∶5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6－5＝1倍，正好是相差15米，从而求出1倍的，再乘以6就是猎犬追上兔子的距离，据此解答即可。 【详解】设猎犬每步a米，则兔子每步a米 （2×a）∶（a×3） ＝2a∶a ＝6∶5 15÷（6－5）×6 ＝15×6 ＝90（米） 答：猎犬至少跑90米才能追上兔子。 8．我国民间常用生姜、红糖和水煎服以防感冒（俗称“姜汤”）。小明妈妈一般把生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配好后，煎20分钟左右，做成姜汤，分给全家四口人喝。这天，小明妈妈准备了40克生姜。 （1）她需要准备红糖多少克？ （2）小明家有一个容量为2升的壶，用来煎这天的姜汤，壶够大吗？（1升水的质量为1千克） （3）根据经验，妈妈估计姜汤煎好后蒸发掉的水量在60%左右，这天煎好后的姜汤大约有多少克？ 【分析】（1）已知生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配成姜汤，即生姜占2份，红糖占5份，水占75份；用生姜的质量除以生姜的份数，求出一份数，再用一份数乘红糖的份数，即是红糖的质量。 （2）把姜汤的质量看作单位“1”，由生姜、红糖和水的质量比是2∶5∶75，可知生姜的质量占姜汤质量的，单位“1”未知，用生姜的质量除以，求出姜汤的质量，再根据进率“1千克＝1000克”以及1升水的质量为1千克，得出姜汤的体积，与壶的容量进行比较，得出壶是否够大。 （3）由生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比配成姜汤，用生姜的质量除以2，求出一份数，再用一份数乘75，求出原来的水量； 把原来的水量看作单位“1”，蒸发掉的水量占原来水量的60%，则还剩下的水量占原来水量的（1－60%），单位“1”已知，用原来的水量乘60%，求出剩下的水量，再加上生姜、红糖的质量，即是煎好后的姜汤的质量。 【详解】（1）40÷2×5 ＝20×5 ＝100（克） 答：她需要准备红糖100克。 （2）40÷ ＝40÷ ＝40×41 ＝1640（克） 1640克＝1.64千克 1.64÷1＝1.64升 2升＞1.64升 答：壶够大。 （3）40÷2×75 ＝20×75 ＝1500（克） 1500×（1－60%） ＝1500×（1－0.6） ＝1500×0.4 ＝600（克） 600＋40＋100＝740（克） 答：这天煎好后的姜汤大约有740克。 9．某人骑自行车从小镇到县城，8点出发，计划9点到，骑了一段路后，自行车出了故障。下车就地修车10分钟，修车地点距中点还差2千米，他为了按时到县城，车速提高了，结果还是比预定时间晚2分钟到达县城，骑车人原来每小时行多少千米？ 【分析】已知车速提高了，把原来的车速看作单位“1”，则提速后的车速是原来的（1＋），根据比的意义得出提速后的速度与原来的速度比为（1＋）∶1＝5∶4； 把全程看作单位“1”，根据“时间＝路程÷速度”，可知提速后的时间为，原来的时间为；根据比的意义得出提速后的时间与原来的时间之比∶＝4∶5； 已知修车耽误了10分钟，只比预定时间晚2分钟到达县城，即实际比原来少用了10－2＝8分钟；因为提速后的时间与原来的时间比为4∶5，即提速后的时间占4份，原来的时间占5份，相差（5－4）份；用实际比原来少用的时间8分钟除以少的份数，求出一份数为8分钟，再用一份数乘原来的时间份数，求出行驶到故障点所用的时间为8×5＝40分钟； 原计划行驶全程需9时－8时＝1小时，即60分钟，那么行驶到故障点用的时间占全部时间的40÷60＝，也就是行驶到故障点的这段路程占全程的； 已知修车地点距中点即全程的还差2千米，那么2千米占全程的（－），把全程看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出全程； 再根据“速度＝路程÷时间”，用全程除以原来计划的时间，即可求出骑车人原来的速度。 【详解】提速后的速度与原来的速度比： （1＋）∶1 ＝∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝5∶4 提速后用的时间与原来用的时间之比： （1÷5）∶（1÷4） ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝4∶5 提速前行驶用的时间： （10－2）÷（5－4）×5 ＝8÷1×5 ＝40（分钟） 行驶到故障点的这段路程占全程的：40÷60＝ 全程： 2÷（－） ＝2÷（－） ＝2÷ ＝2×6 ＝12（千米） 原来每小时行： 12÷（9－8） ＝12÷1 ＝12（千米） 答：骑车人原来每小时行12千米。 10．如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【分析】和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。同理和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。先用四边形面积减去两个小三角形的面积得到和的面积和，再根据∶＝3∶4，那么和分别是把面积和平均分成3＋4＝7份中的3份和4份，求出一份的面积再乘最大的份数即可找出最大的三角形面积。 【详解】因为，并且和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。 因为和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。 因为＋＝42－3－4＝35（平方厘米） 所以（平方厘米） ＝35－15＝20（平方厘米） 因为3＜4＜15＜20，所以最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 11．西安和合肥是“一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市，客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是4∶5，两车在途中相遇后继续行驶，客车把速度提高20%，货车速度不变，再行4小时后，货车到达合肥，而客车离西安还有116千米，西安合肥两地相距多少千米？ 【分析】时间相同，客、货车路程比等于速度比，即4∶5，把两地的路程看作单位“1”，由题意可知，相遇时货车行了＝，客车行了＝，客车距离西安还剩；相遇后货车行了，用了4小时，每小时行：÷4＝，则客车未提高20%前的速度：×＝；客车提高20%后的速度：×（1＋20%）＝；相遇后客车再行4小时行了：×4＝，客车离西安还剩：－＝，由“客车离西安还有116千米”可知，116千米对应的分率是 ，用对应量除以对应分率就是全程的长度。 【详解】时间相同，客、货车路程比＝客、货车速度比＝4∶5 相遇后货车4小时的速度： ÷4 ＝÷4 ＝ 则客车未提高20%前的速度：×＝ 客车提高20%后的速度： ×（1＋20%） ＝× ＝ 相遇后客车再行4小时行了×4＝ 客车离西安还剩：－＝ 两地的距离：116÷＝900（千米） 答：西安合肥两地相距900千米。 12．黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？ 【分析】可以设规定完成任务的时间是x天，如果每天加工200个，则用的时间是（x－3）天；如果每天加工120个，则用的时间是（x＋5）天；这批凳子总数一定，根据这个等量关系列方程解答。 【详解】解：设规定完成任务的时间是x天， 200×（x－3）＝120×（x＋5） 200x－600＝120x＋600 200x－600＋600＝120x＋600＋600 200x＝120x＋1200 200x－120x＝120x＋1200－120x 80x＝1200 80x÷80＝1200÷80 x＝15 答：规定完成任务的时间是15天。 13．在比例尺是1∶2000000的地图上，量得两个城市之间的铁路长45厘米。甲乙两列火车同时从两个城市出发相对而行，4小时相遇。已知甲乙两车的速度比是3∶2，甲车每小时行多少千米？ 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米进行单位换算；再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，已知两车的速度比，利用按比例分配的方法就能求出甲车的速度。 【详解】两地的实际距离： 45÷＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 甲、乙两列火车每小时共行： 900÷4＝225（千米） 甲车每小时行： 225×＝135（千米） 答：甲车每小时行135千米。 14．甲、乙、丙三村合修一条公路，修完后甲村受益是丙村的3倍，乙村受益的等于甲村受益的。三个村原来协商按各个村受益的多少来派出劳力修公路，后来因丙村抽不出劳力，经再次协商，丙村抽不出的劳力由甲、乙两村分担，丙村共付给甲、乙两村工钱1200元，结果甲村共派45人，乙村共派35人完成修路任务。问：甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 【分析】把丙村收益看作单位“1”，则甲村收益是“3”，由题意可得：乙村受益×＝甲村受益×，则乙村受益为：3×÷＝，则甲、乙、丙三村受益比为：3∶∶1＝9∶8∶3，由题意可得：三村所派人数的比即为9∶8∶3，总人数是：45＋35＝80（人）；80人按9∶8∶3比例分配为：36人、32人、12人；即甲村需36人，乙村需32人，丙村需12人；所以甲村有45－36＝9（人）在为丙村修路；而乙村有35－32＝3（人）在为丙村修路；然后根据人数的比进行解答即可。 【详解】把丙村收益看作单位“1”，则甲村收益是“3”，由题意可得：乙村受益×＝甲村受益×，则乙村受益为：3×÷＝，则甲、乙、丙三村受益比为：3∶∶1＝9∶8∶3 9＋8＋3＝20（份） 甲分配人数： （45＋35）÷20×9 ＝80×20×9 ＝36（人） 乙分配人数： （45＋35）÷20×8 ＝80×20×8 ＝32（人） 丙分配人数： （45＋35）÷20×3 ＝80×20×3 ＝12（人） 45－36＝9（人），35－32＝3（人） 甲村应得工钱：1200×＝1200×＝900（元） 乙村应得工钱：1200×＝1200×＝300（元） 答：甲村应该分得900元，乙村应分得300元。 15．港珠澳大桥是东亚建设中的跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，设计时速每小时100千米。大桥在2018年10月24日上午9时正式通车。星期六早上，李叔叔和林阿姨分别开车从大桥两端即香港口岸人工岛和珠海洪湾拱北，同时出发，相向而行。李叔叔的车速每小时90千米，李叔叔与林阿姨的行车速度比是6∶5，他们相遇时距离大桥中点2.5千米。李叔叔到达珠海后，上午8：30把车停在珠海市粤华路，办完事后于下午2：45离开，驱车回香港。 （1）港珠澳大桥全长多少千米？ （2）自2018年3月底珠海市第二批路内停车收费设施启用以来，目前夏湾路、昌平路、港一路、港二路、港三路、粤华路、莲花路、侨光路等路段的停车位正式投入使用。具体计费标准以30分钟为一个单位，繁忙时段：8：30—17：30，前30分钟（含第30分钟）收费2元，此后每30分钟收费3元，如不满30分钟则以30分钟计算。据此，请你计算出李叔叔停车费应付多少元。 【分析】（1）李叔叔与林阿姨的行车速度比是6∶5，路程比也是6∶5，他们相遇时距离大桥中点2.5千米，说明李叔叔比林阿姨多行驶2.5×2千米，多行驶的路程对应6－1份，求出一份数×（6＋5）即总份数＝大桥全长； （2）用终点时间－起点时间，先求出李叔叔停车时间，不满30分钟则以30分钟计算，用前30分钟的费用＋后面小时数×2×3即可。 【详解】（1）2.5×2÷（6－5）×（6＋5） ＝5÷1×11 ＝55（千米） 答：港珠澳大桥全长55千米。 （2）14：45－8：30＝6小时15分 2＋6×2×3 ＝2＋36 ＝38（元） 答：李叔叔停车费应付38元。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$