精品解析：广西“名校联盟”2024-2025学年高一下学期5月联合模拟考试数学试题

广西“名校联盟”2025年5月高一联合模拟考试 数学 （全卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上. 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 5. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 7. 如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（    ） A. 6km B. km C. km D. 7km 8. 在四面体中，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 10. 如图，在正方体中，点P是线段上一动点，则（ ） A. 当P为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 B 平面 C. 随着的长度变长，直线与平面所成角先变小再变大 D. 11. 已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. 函数在上递减 C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，，，若，则______. 13. 当时，曲线与的交点个数为________． 14. 已知函数，若存在区间，使得函数在区间上值域为，则实数k的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 17. 如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A大小； （2）若D为的中点，且，求的最大值． 19. 若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”． （1）当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”； （2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围； （3）已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广西“名校联盟”2025年5月高一联合模拟考试 数学 （全卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上. 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合，再根据交集定义求出. 【详解】对于不等式，因式分解可得. 所以集合或.  已知集合， 在集合中，满足或的元素只有，所以.  故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【详解】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A 3. 已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合题意，即可判断. 【详解】充分性：只有当垂直于内的两条相交直线，才可推出，由题可知，垂直于内的一条直线，可能与平面斜交，平行，或在平面内， 故无法推出，充分性不满足； 必要性：，又，则，故必要性成立； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性排除部分选项，再取特殊值判断即可. 【详解】因为，所以是奇函数，排除AC， 又因为，排除B， 故选：D. 5. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的巧用，求和的最小值即可. 【详解】已知，，， 所以 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A. 7. 如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（    ） A. 6km B. km C. km D. 7km 【答案】A 【解析】 【分析】先在中利用余弦定理求出，则可得，再利用同角三角函数关系求出，然后在中利用正弦定理可求出结果. 【详解】由题意得，在中，， 由余弦定理得, 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，，由正弦定理得 由正弦定理得， 所以. 故选：A 8. 在四面体中，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先找到底面三角形的外接圆圆心和半径，确定过该圆心与底面的垂线，在垂线上设球心，由勾股定理，求出半径，可得答案. 【详解】，，，， 为等边三角形，又平面平面， 取中点，连接，则球心在上，如下图： 则，有，解得， 该四面体外接球的表面积为. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 10. 如图，在正方体中，点P是线段上一动点，则（ ） A. 当P为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 B. 平面 C. 随着的长度变长，直线与平面所成角先变小再变大 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，转化到直角三角形中求出其正切值；对B，利用面面平行的判定定理得平面平面，再利用面面平行的性质定理即可判断；对C，转化得，分析其变化过程即可；对D，利用线面垂直的判定定理得平面，即可证明. 【详解】对于 A ，设正方体的棱长为，则， 因为侧面，侧面，则，而， 故直线与直线所成角的正切值为 ，故A错误； 对于B，连接，易证：， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又平面， 故平面平面，平面，平面，故B正确； 对于C，连接，平面，即为直线与平面所成角， ，当从移动至的过程中，增大，先变小再变大， 即先变大再变小，故C错误； 对于D，连接，，，， 由正方体的性质可得：，平面， 平面，所以，， 平面，所以平面， 因为平面，所以同理可得， ，平面，平面 平面，，故D正确； 故选： BD. 11. 已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. 函数在上递减 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据是奇函数判断A，再判断即可得到的图象关于直线对称，从而判断B、C，根据对称性得到，即可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误； 因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有， 所以，所以的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案. 【详解】由题意，，因为，所以. 故答案为：2. 13. 当时，曲线与的交点个数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故答案为：6. 14. 已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】转化为方程 有两个解，再利用换元法转化为二次函数与直线交点个数问题. 【详解】函数的定义域为，且单调递增， 函数在区间上的值域为，则且， 即方程有两个实数解，即， 令，则有2个非负实数解， 作出函数的图象与直线， 即与在轴右侧（含轴）有2个交点，则． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行； （2）利用椎体体积公式进行求解. 【小问1详解】 证明：连接，设，连接， ∵是正三棱柱的侧面， ∴为矩形， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2， ，侧面为矩形， 所以三棱锥的体积. 16. 已知函数. （1）求函数最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1），增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式和正弦函数单调性即可求解； （2）利用整体代入法结合正弦函数性质求解可得. 【小问1详解】 由 ， 可得函数的最小正周期为， 令，可得， 故函数的增区间为； 【小问2详解】 由，有， 所以， 所以， 所以，函数在区间上的值域为. 17. 如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由面面垂直判定定理可证. （2）法一：(几何法)找到二面角的位置，由余弦定理可得；法二：(向量法)建立适当空间直角坐标系，分别求两个面的法向量，从而可求得二面角. 【详解】（1）证明：由已知可得，，在中，满足 ∴ ∵，且，、平面，∴平面 又平面，∴平面平面. （2）解：法一：(几何法)如图所示，连接，取中点，连接， ∴，过作交于点，连接、， ∵平面平面， 平面平面， ∴平面，∴，又， ∴平面， ∴， 所以即为所求的二面角的平面角， 由， ∴，， 又， ∴∴二面角的余弦值为. 法二：(向量法)取的中点，连接 ∵∴∵平面平面， 平面平面， ∴平面， 如图所示，以为坐标原点， 以，分别为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，则 ，， ∴， 设为平面的法向量，有 不妨令，则，， ∴， 而平面的其中一个法向量显然为 二面角的余弦值为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若D为的中点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】1）先利用二倍角公式化简已知等式，再通过正弦定理将角化为边，最后根据余弦定理求出角； （2）在和中分别利用余弦定理，结合得到与的关系式，再利用基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 已知，根据二倍角公式，将其进行化简： 即 即. 即. 由正弦定理边角互化可得：. 再根据余弦定理，将代入可得： 因为，所以. 【小问2详解】 因为为AC的中点，所以. 在中，根据余弦定理可得. 在中，根据余弦定理可得. 因为，所以，即： ，化简得. 又因为（第一问已求得），所以可得： ，即. 根据基本不等式（当且仅当时取等号）， 则有：，即，当且仅当时取等号. 则的最大值为18. 19. 若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”． （1）当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”； （2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围； （3）已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是；理由见详解；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）依题意，由得,，令，求解可得结论； （2）由题意知，在上有解，令，可得在上有解，令，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意，根据局部奇函数的概念，可得时，， 在上都有解，根据函数单调性，求出的范围，根据的范围包含的范围，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 由得, 令，而存在一根, 即存在，使得，所以为“局部奇函数”； （2）由题意知,在上有解， 即在上有解， 所以在上有解， 令，所以在上有解， 令，则是开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，即，解得， 此时在上必有零点，所以； ②当时，在上有零点必须满足 ， 综上，实数m的取值范围是； （3）由题意知，，在上都有解， 即时，，在上都有解， 即时，， 在上都有解， 令，令， 因为显然是关于的减函数， 所以在上也单调递减， 因此， 即， 又，为使时，，在上都有解， 只需，即，解得， 综上，实数a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于对新定义“局部奇函数”概念的理解，新定义要求满足方程在定义域内有解即可，结合函数的基本性质，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$