福建省厦门第一中学2025届高三下学期5月模拟考试数学试题

高三数学 参考答案共8页 第 1 页 福建省厦门第一中学 2025届高三下学期校模拟考 数学参考答案 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合  2log 1A x x= ≥ ，集合  | 2 1,xB y y x A= = −  ，则 A B = A．  )0,+ B．[ 3, )+ C．[2, )+ D．[3, )+ 【答案】C 【详解】因为 | 2{ }A x x=  ，由 2x  ，所以 22 1 2 1 3x −  − = ，所以 2 1 3xy = −  ， 所以    | 2 1, | 3xB y y x A y y= = −  =  ，所以 [2, )A B = + . 2．已知复数 z 满足 ( )2 i 1z+ = ，则 z z = A． 1 5 B． 5 5 C． 1 9 D． 1 5 − 【答案】 A【详解】解法 1： 1 2 i 2 i 5 z − = = + ，所以 2 i 2 i 1 5 5 5 z z − +  =  = 解法 2： ( )2 i 1z+ = ，则 ( ) ( )2 i 2 i 1z z+ = + = ，所以 1 5 z = ，所以 2 1 5 z z z = = 3．已知向量 a 与b 的夹角为60， 3a = ， 13a b+ = ，则向量b 在 a 方向上的投影向量的模长为 A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】A【详解】 13a b+ = ，即 2 2 2 13a a b b+  + = ，即 21 9 6 13 2 b b+  + = ，解得 1b = 或 4− （舍去），则 1 3 3 1 2 2 a b =   = ，则向量b 在 a 方向上的投影向量的模长为 3 12 3 2 a b a  = = 4．一个圆台母线长为 2 ，侧面展开图是一个圆心角为 2π 3 的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的 绝对值为 A． 4π 3 B． 2π C．3π D． 4π 【答案】 A【详解】设设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为 1r ，外圆半径为 2r ， 则圆台母线长为， 2 1 2r r− = ，设圆台上、下底面圆半径分别为 ( )3 4 3 4,r r r r ，则 有 1 23 4 2 2 2 ,2 3 3 r r r r    = = ，则 ( ) ( )4 3 2 21 2 4 2 3 3 r r r r    − = − = . 5．第 19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名大学生 将前往 3 个场馆 , ,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆 A时，场馆 B 仅有 2 名志愿者的概率为 A． 3 5 B． 21 50 C． 6 11 D． 3 4 【答案】 B 【详解】不考虑甲是否去场馆 A ，所有志愿者分配方案总数为 2 2 3 35 3 5 32 2 C C C A 150 A   + =    ， 高三数学 参考答案共8页 第 2 页 甲去场馆 , ,A B C 的概率相等，所以甲去场馆 B 或C 的总数为 2 150 100 3  = ， 甲不去场馆 A，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆 B ，场馆 B 有两名志愿者共有 1 1 2 4 3 2 C C A 24= 种； 情形二，甲去场馆C ，场馆 B 场馆C 均有两人共有 1 2 4 3 C C 12= 种， 场馆 B 场馆 A均有两人共有 2 4 C 6= 种，所以甲不去场馆 A 时， 场馆 B 仅有 2 名志愿者的概率为 24 12 6 42 21 100 100 50 + + = = . 6．若 ( )sin tan80 3 sin80  − = ， 为锐角，则 ( )sin 30 +  = A． 5 3 8 + B． 15 3 8 + C． 15 1 8 + D． 3 5 1 8 + 【答案】 B 【详解】 ( ) 1 sin160 sin80 sin80 cos80 12sin 2sin 80 60 4tan80 3 sin80 3 cos80      = = = =  −  −  −  又 为锐角，则 15 cos 4  = ，所以 ( ) 15 3 sin 30 sin cos30 cos sin30 8    + +  =  +  = 7．将函数 ( ) ( )sin 0f x x =  的图象向左平移 π 2 个单位长度后得到函数 ( )g x 的图象，且 (0) 1g = ， 则下说法错误的是 A． ( )g x 为偶函数 B．当 5 = 时， ( )g x 在  0,π 上有 5 个零点 C． π 1 2 f      =  D．若 ( )g x 在 π 0, 5       上单调递减，则的最大值为 6 【答案】 D 【详解】 sin ( ) sin 2 2 ( ) x xg x       =   + = +        ，又 (0) 1g = ，故 sin =1 2       ，所以 2 , 1 4 , 2 2 k k k Z    = +  = +  . 对选项 A: sin sin 2 co( ) s 2 2 x xg xx k           + = + + =        = 为偶函数，故 A 正确. 对选项 B:当 5 = 时， co 5) s(g xx = ，零点有 3 5 7 9 , , , , , 10 10 10 10 10 x      = 共 5 个，故 B 正确. 对选项 C: =sin (1+4 ) =sin +2 =1 2 2 2 f k k                       ，故 C 正确. 对选项 D: c( s) og xx = ， 0, 5 x        时， 0, 5 x       ， 若 ( )g x 在 0, 5       上单调递减，则 5   ，故的最大值为 5，故 D 错误. 8．已知定义在Z 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2 1f x y f x f y xy+ = + + − ，且 ( )2 7f = ，则 A． ( )1 4f = B．方程 ( ) 0f x = 有解 C． ( ) ( )1f x f x− = − D． ( ) ( )1f x f x+ = 【答案】C【解析】令 1x y= = ，则 (1 1) (1) (1) 2 1 7f f f+ = + + − = ，即 (1) 3f = ，得到所以 A 错误； 令 0x y= = ，则 (0 0) (0) (0) 0 1f f f+ = + + − 得到 (0) 1f = ，令 1y = ，当 2x≥ 时， 则 ( 1) ( ) (1) 2 1 ( ) 2 2f x f x f x f x x+ = + + − = + + ，即 ( 1) ( ) 2 2f x f x x+ − = + ， 高三数学 参考答案共8页 第 3 页 ( ) ( 1) 2( 1) 2f x f x x− − = − + ， (2) (1) 2 1 2f f− =  + ， 累加得： 21( ) (1) 2 1 2 1 2 1 2 2( 1) 2 2 x x f x f x x x x x  − − = + + + − + − =  + − = + − （ ） （ ） （ ） ， 即 2( ) 1f x x x= + + ，其中 (1) 3,f = (0) 1f = 也符合， 令 y x= − ，则 2(0) 1 ( ) ( ) ( ) 2 1f f x x f x f x x= = − = + − − − ， 得到 2( ) 1f x x x− = − + ，即知 x Z时， 2( ) 1f x x x= + + ，则 B 错误； 由 2 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( )f x x x x x f x− = − + − + = − + = − ，则 C 正确 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．设 1 2, , , nx x x 的极差为 X ，平均值为 x ，中位数为m ，标准差为 s . ( )1,2, ,i iy ax b i n= + = ，其 中 ,a bR， 1 2, , , ny y y 的极差为Y ，平均值为 y ，中位数为 p ，标准差为 t ,则 A．Y aX b= + B． y ax b= + C． p am b= + D． t as b= + 【答案】 BC 【解析】依题意可得Y aX= ， y ax b= + ， p am b= + ， t a s= 10．已知函数 ( ) 3 2 2f x mx x a= − + 有两个极值点 a， ( )b a b ，则 A． 0ab  B． 0a b+  C． ( ) ( ) 0f a f b+  D．若 c R， ( ) ( )1 1f c f c+ −  ，则m 的取值范围为 ( )0,12 【答案】 ACD【详解】对于 AB： ( ) 23 2f x mx = − ，可知 ( ) 23 2 0f x mx − = = 有 2 个不同实根 ( ),a b a b ，则 0m  ，且 2 0, 0 3 a b ab m + = = −  ，即 , 0b a a= −  ，故 A 正确，B 错误； 对于 C：可得 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 2 2 2 4 0f a f b f a f a ma a a ma a a a+ = + − = − + − + + =  ，故 C 正确； 对 D：因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 31 1 2 1 2 2 2f c f c m c c a mc c a + − = + − + + − − +   ( ) 23 3 1 2m c c= + + − ， 构建 ( ) ( )23 3 1 2g c m c c= + + − ，若 ( ) ( )1 1f c f c+ −  ，即 ( ) 1g c  ，即 ( )1 1g c−   ， 且 0m  ，则 ( ) 1 1 2 2 4 g c g m    − = −    ，可得 1 2 1 4 m −  ，解得0 12m  ，所以m ( )0,12 . 11．已知椭圆 2 2 2 : 1(0 2 2) 8 x y C b b + =   的离心率为 6 3 ，将C 绕其中心分别逆时针、顺时针各旋 转 45，得到椭圆 1 2,C C ，设 1 2,C C 围成的公共区域的边界为曲线Γ，则 A. Γ有四条对称轴 B. Γ上任意两点间距离的最大值为 4 2 C. Γ的周长 8 2L  D. Γ围成图形的面积 8π 3 S  【答案】 ACD【解析】由题意知 28 6 8 3 b− = ，解得 2 8 3 b = . 由 2 2 , 3 1, 8 8 y x x y =   + =  解得 2, 2, x y  =  = 或 2, 2, x y  = −  = − 则C 与直线 y x= 的交点为 ( ) ( )2, 2 , 2, 2− − ，所以直线 y x= 被C 截得的弦长为 4.结合对 称性，可作出 1 2,C C 高三数学 参考答案共8页 第 4 页 以及 Γ如图所示，其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,2 , 2,0 , 2,0 , 0, 2 , 2,2 , 2, 2 , 2,2 , 2, 2A B C D E F G H− − − − − − . 对于 A， Γ有四条对称轴，分别为直线 0, 0, ,x y y x y x= = = = − ，故 A 正确； 对于 B，由图可知， Γ上任意两点间距离 最大值为 4AD BC= = ，故 B 错误； 对于 C，正方形 ABDC 的周长为 2 2 4 8 2 = ，所以Γ的周长 8 2L  ，故 C 正确； 对于 D，C 的短半轴长为 8 3 ，可知以原点为圆心，半径为 8 3 的圆为曲线Γ的内切圆，其面 积为 8π 3 ，所以 8π 3 S  ，故 D 正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知抛物线 2: 2 0C x my+ = 恰好经过圆 2 2: 2 4 4 0M x y x y+ − + + = 的圆心， 则C 的准线方程为 ▲ ． 【答案】 1 8 y = 【详解】圆M 的圆心为 ( )1, 2M − ，将圆心M 的坐标代入抛物线的方程得 22 1 2 0m − = ，解得 1m = ，故抛物线C 的方程为 22 0x y+ = ，标准方程为 2 1 2 x y= − ， 则 1 2 2 p = ，所以， 1 2 8 p = ，故抛物线C 的准线方程为 1 8 y = . 13．已知曲线 lny x x= + 在点 ( )1,1 处的切线与曲线 2 2y x x a= − − 也相切，则 a = ▲ ． 【答案】 3− 【详解】由 lny x x= + ，得 1 1y x  = + ，当 1x = 时，切线的斜率 2k = ， 所以曲线 lny x x= + 在点 ( )1,1 处的切线方程为 ( )1 2 1y x− = − ，即 2 1y x= − ， 因为它与曲线 2 2y x x a= − − 只有一个公共点，所以方程 22 1 2x x x a− = − − 只有一解，即 2 4 1 0x x a− + − = 有唯一解，所以 0 = 解得 3a = − . 14．锐角 ABC△ 中，角 A ，B ，C ，所对应的边分别为 a，b ，c ，满足 ( ) 2a b b c= + ， 3a b+ = ， 则 ABC△ 的周长的取值范围为 ▲ ． 【答案】( )3 2,3 3 【解析】余弦定理得 ( ) 2 2 2 2 cosb b c a b c bc A+ = = + − ，化简可得 2 cosb c b A= − ， 即 ( ) ( )sin sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos sin cos sinB C B A A B B A A B B A A B= − = + − = − = − 所以 A B B− = ，即 2A B= ，所以 sin sin2 2sin cosA B B B= = ，即 2 cosa b B= ，由 3a b+ = 得， 3 2cos 1 b B = + ，所以 ( ) ( ) ( ) 33 3sin 4sinsin 3sin3 6cos 3 sin 2cos 1 sin 2cos 1 sin B Bb C B c B B B B B B − = = = = − + + 又 ABC△ 为锐角三角形，所以 , 6 4 B        ，所以3 2 3 3 3 3c−   − ， 所以 ABC△ 的周长的取值范围为 ( )3 2,3 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）在三棱锥 P ABC− 中，AC BC⊥ ，AP CP⊥ ， 2AP CP= = ，D 是 AB 的中点，且平 面 PAC ⊥平面 ABC ． （1）证明： AP ⊥平面 BCP； （2）已知平面 经过直线 PC ，且 AB ∥ ，直线 PD与平面 所成角的 正弦值为 6 3 ，求三棱锥 P ABC− 的体积. 解：（1）因为平面 PAC ⊥平面 ABC，平面 PAC 平面 ABC AC= ，BC 平面 ABC，AC BC⊥ ， 所以 BC ⊥平面 PAC ． ···················································································· 2 分 又 AP 平面 PAC ，所以BC AP⊥ ． 高三数学 参考答案共8页 第 5 页 又 AP CP⊥ ， ,BC CP 平面 BCP， BC CP C = ， 所以 AP ⊥平面 BCP． ···················································································· 5 分 （2）记 AC 的中点为 O，连接 ,PO DO ， 因为 AP CP= ，所以 PO AC⊥ ， 因为平面 PAC ⊥平面 ABC ，所以PO⊥平面 ABC ． ·············································· 6 分 因为 ,O D分别是 ,AC AB的中点，所以 / /OD BC ，又BC AC⊥ ，所以OD AC⊥ ． 以O为坐标原点， , ,OA OD OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 2BC m= ，则 ( )2,0,0A ， ( )2,2 ,0B m− ， ( )2,0,0C − ， ( )0,0, 2P ， ( )0, ,0D m ， 所以 ( )0, , 2PD m= − ， ( )2,0, 2CP = ， ( )2 2,2 ,0AB m= − ． 由题知 / /AB ， PC  ，设平面 α 的法向量为 ( ), ,n x y z= ， 则 0, 0, n CP n AB   =   = 即 2 2 0, 2 2 2 0, x z x my  + =  − + = 令 x m= ，则 2y = ， z m= − ，则 ( ), 2,n m m= − ． 8 分 则 22 2 2 6 cos , 2 2 32 PD n m PD n mPD n m  = = = +  + ， ·············································· 9 分 化简可得 4 23 2 0m m− + = ，解得 1m = 或 2m = ， ················································ 11 分 三棱锥 P ABC− 的体积 1 4 3 3 ABC V PO S m=  = △ ，所以体积为 4 3 或 4 2 3 . ······················· 13 分 16．（15 分）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是 1 9 ，甲投中而丙未投中的概率 是 1 6 ，乙投中而丙未投中的概率是 1 6 . （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为 A ），与投篮水平较高的人（记为 B 组）进行 投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮 2 次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获 胜，求 B 组获胜的概率. 解：（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为 1p 、 2p 、 3p . 依题意，得 ( ) ( ) 1 2 1 3 2 3 1 9 1 1 6 1 1 6 p p p p p p  =   − =   − =  ，解得 1 2 3 1 3 1 3 1 2 p p p  =   =   =  ， 因为 1 2 3p p p=  ，所以，丙投篮水平较高. ··························································· 6 分 （2）记 A 组投中次数为 1X ， B 组投中次数为 2X ， 由（1）知 1 1 ~ 4, 3 X B       ， 2 1 2, 2 X B        ， ···························································· 8 分 若 B 组获胜，则 1 0X = ， 2 1X = 或 1 0X = ， 2 2X = 或 1 1X = ， 2 2X = ， 所以， ( ) 0 4 1 1 0 1 1 2 4 2 1 2 1 1 8 0, 1 C C 3 3 2 2 81 P X X         = = = =                 ， ( ) 0 4 2 0 0 2 1 2 4 2 1 2 1 1 4 0, 2 C C 3 3 2 2 81 P X X         = = = =                 ， 高三数学 参考答案共8页 第 6 页 ( ) 1 3 2 0 1 2 1 2 4 2 1 2 1 1 8 1, 2 C C 3 3 2 2 81 P X X         = = = =                . 故 B 组获胜的概率为 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 20, 1 0, 2 1, 2P P X X P X X P X X= = = + = = + = = 8 4 8 20 81 81 81 81 = + + = . ······················································································· 15 分 17．（15 分）焦点在 x轴上的等轴双曲线 E ，其顶点到渐近线的距离为 2 2 ，直线过点 ( )5,0P − 与双曲线的左、右支分别交于点 A ， B ． （1）求双曲线 E 的方程； （2）若线段 AB 的中垂线与 x轴交于点 ( )5,0Q ，求直线 AB 的斜率； （3）若点 B 关于原点的对称点C 在第三象限，且 2AOB APCS S△ △ ，求直线 AB 斜率的取值范围． 解：（1）设等轴双曲线 E 的方程为 2 2 2x y a− = ，其渐近线方程为 y x=  ， 故 2 22 a = ，解得 1a = ，所以双曲线 E 的方程为 2 2 1x y− = . ··································· 3 分 （2）由题意，过点 ( )5,0P − 的直线 AB 斜率存在且不为 0，可设其方程为 5x ny= − ， 设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立 2 2 5 1 x ny x y  = −  − = ，整理得 ( )2 21 2 5 4 0n y ny− − + = ， 依题意可得 2 1 2 1 0, 0n y y−   0,△ ，得 2 1n  由韦达定理得： 1 2 2 2 5 1 n y y n + = − ， 1 2 2 4 1 y y n = − ， 所以 AB 的中点为 2 2 5 5 , 1 1 n M n n     − −  ，中垂方程为 2 2 5 5 1 1 n y n x n n   = − − +  − −  ， 所以 2 2 5 5 1n = − ，解得 2 3 1n =  ，所以直线 AB 的斜率为 3 3  . ······························· 10 分 （3）点C 在第三象限，如图所示，故直线 AB 的斜率是正数， 由 2AOB APCS S△ △ ，得 4ABC APCS S ， 所以 4AB AP ，则 5PB AP ，则 2 15 0y y  ， 由 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 y y y y y y y y + = + + ，得 2 2 5 36 1 5 n n  − ，所以 2 36 11 n  ，则 2 11 36 AB k  ， 又因为直线 AB 交两支两点，故直线 AB 的斜率 ( )0,1ABk  ， 所以 11 1 6 AB k  . ·························································································· 15 分 18．（17 分）已知数列{ }na 的前项和为 nS ， 1 1a = ，且 2 1n n na S n n + = + + ． （1）证明：数列 n S n       为等差数列； （2）设 1 C n i n n i i b a = = ， （i）求数列 nb 的前 n项和； （ii）当 1n≥ 时，设集合  1 2 *3 2 2 ,1 , ,2 2n nn i j i jM b b n b b n i j i j − += +   ++  +  N∣ ≤ ，集合 nM 中所有元素的和记为 nK ，求数列 nK 的通项公式． 高三数学 参考答案共8页 第 7 页 解：（1）由已知 1 1 1S a= = ， ··················································································· 1 分 2 1 1n n n n na nS nS S n n + + = − = + + ，即 ( ) ( )1 1 1n nnS n S n n+ = + + + 1 1 1 n n S S n n + = + + ， 所以数列{ }n S n 为首项 1 1S = ，公差1的等差数列．····························· 4 分 （2）由（1） 2 n S n= ，且 2n  时， 2 2 1 ( 1) 2 1 n n n a S S n n n − = − = − − = − ， ····················· 5 分 1n = ， 1 1a = 也符合，所以 2 1na n= − 所以 1 2 11 3 (2 3) (2 1)n n n n n n n b C C C n C n−= + +    + − + − 所以 1 2 1(2 3) 3 1 (2 1)n n n n n n n b C n C C C n−= − +    + + + − ， 因为 i n i n n C C −= ，所以 1 2 12 (2 2) (2 2) (2 2) 2(2 1)n n n n n b C n C n C n n−= − + − +    + − + − (2 2)(2 2) 4 2 (2 2) 2 2n nn n n= − − + − = −  + ，所以 ( 1)2 1 n n b n= − + 记数列{ }nb 的前项和为 nT ， 则 1 20 2 1 2 ( 1)2n n T n n=  +  +    + − + 2 3 12 0 2 1 2 ( 1)2 2n n T n n+=  +  +    + − + 所以 2 3 12 2 2 ( 1)2n n n T n n+− = + +    + − − − 1 1 14(1 2 ) ( 1)2 (2 )2 4 1 2 n n nn n n n − + +−= − − − = − − − − ． 所以 1( 2)2 4n n T n n+= − + + . ··············································································· 11 分 （3）当 2j n + 时， ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 2 2 1 2 2 2 2i i n j j nb i j n nb + += − + − +  + +   ++ 与 22 2n i j b nb +  ++ 矛盾，所以 1j n + ； 当 j n 时， ( ) ( )1 11 2 2 1 2 2 3 2 2 n n n n ni j bb b n nb n− − −  + = − + − +   ++ ， 与 13 2 2 i j nnb b −  ++ 矛盾，所以 1j n + ； 综上， 1j n= + ， ·························································································· 14 分 此时 ( )1 1 23 2 1 2 2 2 2 22 i ni j n nn i nb b n− + + + = − + + +  + 即 ( )1 12 1 2 2n i nn i n− +−  − ，解得1 i n  ， 所以 1,2, ,i n= ，即  1 1 2 1 1, , ,n n n n nM b b b b b b+ + += + + + 所以 1 1 2 1 1n n n n nb b b b bK b+ + += + + + + + + ( ) ( )1 2 1 2 11 2 2 4 2 2 2 2 4 n n n n n T nb n n n n n n n+ + + + = + = − + + + + = + − + + ····························· 17 分 19．（17 分）若二元代数式 ( ),f a b 满足 ( ) ( ), ,f a b f b a= ，则称代数式 ( ),f a b 为二元轮换式，记 2 1i a a b = = + ；若三元代数式 ( ), ,f a b c 满足 ( ) ( ), , , ,f a b c f b c a= ，则称代数式 ( ), ,f a b c 为三元轮换 式，记 3 1i a a b c = = + + ， 3 2 2 2 2 1i ab ab bc ca = = + + ． （1）若正实数 x， y 满足 x y ，且 2 2 2 1 1i i x x = = =  ，求 2 1 x y x y − − + 的最大值； （2）若代数式 ( ) ( ) ln , x f x y x y y =  为二元轮换式，比较 xy 与 2e− 的大小； （3）若对任意的正实数 x，y ，z 均有 ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1i i i i x xy m xy x y = = = = − −   ≥ ，求整数m 的最大值． 解：（1）正实数 x， y 满足 2 2 2 1 1i i x x = = =  ，即 2 2 1 x y x y + = + ， 所以 ( )( ) 2 2 22 1 1 9 1 2 2 2 8 x y x yx y y x y x x − +−   = = − − +  − +   ， 高三数学 参考答案共8页 第 8 页 又 0x y  ，所以0 1 y x   ， 所以当 1 2 y x = 即 6 3 , 5 5 x y= = 时， 2 1 x y x y − − + 取得最大值为 9 8 . ······································· 4 分 （2）依题意可得 ln lnx y y x = ，即 ln ln x y y x = ， 由对称性不妨假设 0x y  ，令 1 x t y =  ，则有 ln ln 1 t x t = − ， ln ln 1 t t y t = − 则有 ( )1 ln ln ln 1 t t x y t + + = − 设 ( ) ( )2 1 ln , 1 1 t h t t t t − = −  + ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 4 ' 0 1 1 t h t t t t t − = − =  + + 所以 ( )h t 在 ( )1,+ 单调递增，则有 ( ) ( )1 0h t h = ， 所以 ( )2 1 ln 1 t t t −  + ，即 ( )1 ln 2 1 t t t +  − − ，即 ln ln 2x y+  − ，即 2exy − ， 综上， 2exy − . ····························································································· 10 分 （3）不妨假设 z 是 x ， y ， z 中的最小值，则令 , , 0, 0x a z y b z a b= + = + ≥ ≥ ， ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1i i i i x xy m xy x y = = = = − −   ≥ 等价于 ( ) ( ) ( )( )3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z xy yz zx m xy yz zx x y y z z x+ + − + + + + − + +≥ 等价于 ( ) ( )2 2 3 3 22z a ab b a b ab mab b a− + + + −  − （1） ···································· 12 分 若 0a = 或 0b = ，不等式（1）显然成立； 又 ( ) 2 20, , 0z a ab b + − +  ， 所以不等式（1）成立，等价于 ( )3 3 2a b ab mab b a+ −  − 成立； 不妨假设 b t a = ， 0t  ， 所以 ( )3 3 2a b ab mab b a+ −  − 等价于 ( )3 2 1 1t t mt t− +  − ， 当 2t = 时，有5 2m ，所以 5 2 m  ，即 2m  ， ··················································· 14 分 下证 2m = 满足条件，即证 ( )3 2 1 2 1t t t t− +  − ，即证 3 23 2 1 0t t t− + +  设 ( ) 3 23 2 1g t t t t= − + + ， ( ) 2' 3 6 2g t t t= − + ， 令 ( )' 0g t = 得 1 3 3 3 t − = ， 2 3 3 3 t + = ， 当 1t t 或 2t t 时， ( )' 0g t  ，当 1 2t t t  时， ( )' 0g t  所以 ( )g t 在 ( ) ( )1 20, , ,t t + 单调递增，在 ( )1 2,t t 单调递减； ( ) 3 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 2 3 2 1 2 3 2 1 1 0 3 3 3 3 g t t t t t t t t t t t   = − + + = − − + + = − + + = −     ， ( )0 1 0g =  ， 所以 ( ) 0g t  在 ( )0,+ 上恒成立，即 2m = 时满足条件， 综上所述m 的最大值为 2. ················································································ 17 分 数学试卷 第 1 页 （共4页） 准考证号： _______________ 姓名： _______________ (在此卷上答题无效) 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效． 3. 考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1． 已知集合  2log 1A x x= ≥ ，集合  | 2 1,xB y y x A= = −  ，则 A B = A．  )0,+ B．[ 3, )+ C．[2, )+ D．[3, )+ 2． 已知复数 z 满足 ( )2 i 1z+ = ，则 z z = A． 1 5 B． 5 5 C． 1 9 D． 1 5 − 3． 已知向量 a 与 b 的夹角为60， 3=a ， 13+ =a b ，则向量b 在 a 方向上的投影向量的模长 为 A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 4． 一个圆台母线长为 2 ，侧面展开图是一个圆心角为 2π 3 的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的 绝对值为 A． 4π 3 B． 2π C．3π D． 4π 5． 第 19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名大 学生将前往 3 个场馆 , ,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去 场馆 A 时，场馆 B 仅有 2 名志愿者的概率为 A． 3 5 B． 21 50 C． 6 11 D． 3 4 6． 若 ( )sin tan80 3 sin80  − = ， 为锐角，则 ( )sin 30 +  = A． 5 3 8 + B． 15 3 8 + C． 15 1 8 + D． 3 5 1 8 + 绝密★启用前 试卷类型：A 数学试卷 第 2 页 （共4页） 7． 将函数 ( ) ( )sin 0f x x =  的图象向左平移 π 2 个单位长度后得到函数 ( )g x 的图象，且 ( )0 1g = ，则下说法错误的是 A． ( )g x 为偶函数 B．当 5 = 时， ( )g x 在  0,π 上有 5 个零点 C． π 1 2 f      =  D．若 ( )g x 在 π 0, 5       上单调递减，则的最大值为 6 8．已知定义在Z 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2 1f x y f x f y xy+ = + + − ，且 ( )2 7f = ，则 A． ( )1 4f = B．方程 ( ) 0f x = 有解 C． ( ) ( )1f x f x− = − D． ( ) ( )1f x f x+ = 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9． 设 1 2, , , nx x x 的极差为 X ，平均值为 x ，中位数为m ，标准差为 s ( )1,2, ,i iy ax b i n= + = ， 其中 ,a bR， 1 2, , , ny y y 的极差为Y ，平均值为 y ，中位数为 p ，标准差为 t ，则 A．Y aX b= + B． y ax b= + C． p am b= + D． t as b= + 10．已知函数 ( ) 3 2 2f x mx x a= − + 有两个极值点 a ， ( )b a b ，则 A． 0ab  B． 0a b+  C． ( ) ( ) 0f a f b+  D．若 c R， ( ) ( )1 1f c f c+ −  ，则m 的取值范围为 ( )0,12 11．已知椭圆 2 2 2 : 1(0 2 2) 8 x y C b b + =   的离心率为 6 3 ，将C 绕其中心分别逆时针、顺时针各旋 转 45，得到椭圆 1 2,C C ，设 1 2,C C 围成的公共区域的边界为曲线Γ，则 A．Γ有四条对称轴 B．Γ上任意两点间距离的最大值为 4 2 C．Γ的周长 8 2L  D．Γ围成图形的面积 8π 3 S  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知抛物线 2: 2 0C x my+ = 恰好经过圆 2 2: 2 4 4 0M x y x y+ − + + = 的圆心，则C 的准线方程 为 ▲ ． 13．已知曲线 lny x x= + 在点 ( )1,1 处的切线与曲线 2 2y x x a= − − 也相切，则 a = ▲ ． 14．锐角 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对应的边分别为 a ， b ， c ，满足 ( ) 2a b b c= + ， 3a b+ = ， 则 ABC△ 的周长的取值范围为 ▲ ． 数学试卷 第 3 页 （共4页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 在三棱锥 P ABC− 中，AC BC⊥ ，AP CP⊥ ， 2AP CP= = ，D 是 AB 的中点，且平面PAC ⊥ 平面 ABC ． （1）证明： AP ⊥平面 BCP； （2）已知平面 经过直线 PC ，且 AB ∥ ，直线 PD 与平面 所成角的正弦值为 6 3 ，求三 棱锥 P ABC− 的体积． 16．（15 分） 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是 1 9 ，甲投中而丙未投中的概率是 1 6 ， 乙投中而丙未投中的概率是 1 6 ． （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为 A ），与投篮水平较高的人（记为 B 组）进行 投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮 2 次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获 胜，求 B 组获胜的概率． 17．（15 分） 焦点在 x 轴上的等轴双曲线 E ，其顶点到渐近线的距离为 2 2 ，直线过点 ( )5,0P − 与双曲线 的左、右支分别交于点 A ， B ． （1）求双曲线 E 的方程； （2）若线段 AB 的中垂线与 x 轴交于点 ( )5,0Q ，求直线 AB 的斜率； （3）若点 B 关于原点的对称点C 在第三象限，且 2AOB APCS S△ △ ，求直线 AB 斜率的取值范围． 数学试卷 第 4 页 （共4页） 18．（17 分） 已知数列{ }na 的前项和为 nS ， 1 1a = ，且 2 1n n na S n n + = + + ． （1）证明：数列 n S n       为等差数列； （2）设 1 C n i n n i i b a = = ， （i）求数列 nb 的前 n项和； （ii）当 1n≥ 时，设集合  1 2 *3 2 2 ,1 , ,2 2n nn i j i jM b b n b b n i j i j − += +   ++  +  N∣ ≤ ，集合 nM 中所有元素的和记为 nK ，求数列 nK 的通项公式． 19．（17 分） 若二元代数式 ( ),f a b 满足 ( ) ( ), ,f a b f b a= ，则称代数式 ( ),f a b 为二元轮换式，记 2 1i a a b = = + ； 若三元代数式 ( ), ,f a b c 满足 ( ) ( ), , , ,f a b c f b c a= ，则称代数式 ( ), ,f a b c 为三元轮换式，记 3 1i a a b c = = + + ， 3 2 2 2 2 1i ab ab bc ca = = + + ． （1）若正实数 x ， y 满足 x y ，且 2 2 2 1 1i i x x = = =  ，求 2 1 x y x y − − + 的最大值； （2）若代数式 ( ) ( ) ln , x f x y x y y =  为二元轮换式，比较 xy 与 2e− 的大小； （3）若对任意的正实数 x ，y ，z 均有 ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1i i i i x xy m xy x y = = = = − −   ≥ ，求整数m 的最大值．