第一章 直角三角形的边角关系 本章小结-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

本章小结 考点1 锐角三角函数的有关计算 1.(2024昭通月考)如图:在Rt△ABCA 中,C-90{,tanB-3,则sinB的值 为 7.在Rt△ABC中,C=90*},sinA= B### A.310 cB 10 第1题图 cosB的值为 C.# D.3 8.求下列各式的值; (1)tan60*+2sin45{-2cos30”. 2.(教材第6页做一做变式)如图,在Rt△ABC 中,C-90”,AB-13,cosA- 3,则BC的 5. 长为 ,。_ ) A.5 B.8 C.12 D. 13 (2) tan?60”+2cos45。 2sin{60{}-cos60①}。 第2题图 第3题图 12 3.如图,在Rt/ABC中,C=90*},cosB 13 点D在BC边上,CD=AC,AB=26,则BD 的值为 . ) A.10 B.12 C.14 D.16 考点② 解直角三角形 4.在平面直角坐标系中,点P的坐标为 (cos30{},tan45}),则点P关于x轴的对称点 9.在△ABC中, /B-45*,sinC= 4 P.的坐标为 C ##.1)# ) 则BC- _~ B.(1) C.15 A.12 B.14 D.16 C.(3,-1) D.(-#,1) 5.如图所示的是某直三校柱零件的三视图 第9题图 已知EF=8 cm, EFG-45*,则AB的长$ 第10题图 为 10.(2024广元二模)如图,在四边形ABCD cm. # 中,CA平分 BCD,AB AC.B=60{$$ AE BC于点E.若BC=10,则点A到CD 主视图 左视图 的距离为 11.(2024合肥二模)如下图,在Rt△ABC中. 第5题图 已知 $C=90{},B=32^{*,AB=4,点D在$$ 下册第一章 BC边上,且CAD=37*,求CD的长(结 改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D 果精确到0.1,参考数据:sin37*~0.60. 处,使/D一30{},则CD的长度约为(参考 cos37*~0. 80,tan37{}~0. 75,sin32*~ ( 数据:②~1.414.3~1.732) ) 0.53,cos32*~0.85,tan32~0.62). A.1.59m B.2.07m C.3.55m D.3.66m 14.(2024济南长清区模拟)下图是安装在倾斜 屋顶上的热水器的侧面示意图,已知屋面 AE的倾斜角 EAD为22*,长为3m的真 空管AB与水平线AD的夹角为37*},安装 热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5m 求: (1)真空管上端B到水平线AD的距离 12.新考法·开放题(2024盐城期中)如下 (2)安装热水器的铁架水平横管BC的长 图,已知△ABC为钝角三角形,其中A 度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin37*~ 90{*},有下列条件:①AB=10;②AC=6/5 0. 60,cos37*~0. 80.tan37*~0. 75.sin22 ~0.37,cos22*~0.93,tan22*~0.40) (1)你认为从中至少选择 个条 件,才可以求出BC边的长; (2)你选择的条件是 (填序 号),根据你选择的条件,求出BC边的长 考点③ 锐角三角函数的实际应用 13.如图所示,有一天桥高 AB为5m,BC是通向 天桥的斜坡,ACB= 45^{*},市政部门启动“陆 第13题图 数学 九年级BS版 15.如图①所示的是一种太阳能路灯,其示意 16.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图 图如图②所示,AB是灯杆,CD是灯管支 ①,纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图 架,灯管支架CD与灯杆间的夹角 BDC 形,其示意图如图②.已知AD三BE -60{}.综合实践小组的同学想知道灯管支 10 cm.CD=CE=5cm,AD ICD,BE 架CD的长度,他们在地面的点E处测得 CE. DCE-40*。 灯管支架底部D的仰角为60^{*},在点F处 (1)连接DE,求线段DE的长; 测得灯管支架顶部C的仰角为30{},测得 (2)求点A,B之间的距离 AE-3m,EF=8m(点A,E,F在同一条 (结果精确到0.1cm.参考数据:sin20*~ 直线上).求 0. 34,cos20~0. 94,tan20”~0. 36,sin40” (1)灯管支架底部距地面的高度AD(结果 ~0.64,cos40*~0.77,tan40~0.84) 保留根号): (2)灯管支架的长度CD(结果精确到 0.1m,参考数据:/3~1.73). 图① 图② B 60C 。 图① 图② 下册第一章5.D【解析】如图，过点A作AH⊥ED交ED的延长线 于点H 本章小结 设DE-xm. 1.A2.C3.C CD的坡度i=12, 4.C【解析】点P关于x轴的对称点P1的坐标为 CE=2r m. 由勾股定理，得DE+CE=CD, (os30-h5.pP(号.-D. 即x2+(2x)=(305), 解得x=30(负值已舍去)， 5.4E6.78”7号 .DE=30m.CE=60m. 设HE=AB=ym,则DH=(y-30)m. 8,解：1原式=5+2x号-2×写 ∠ACB=45°..BC=AB=ym =3+2-√5=√2. .AH=BE=(y+60)m. 在Rt△AHD中，∠DAH=22°，DH=AH· 5y+2×号 (2)原式 3+2 tan∠DAH, 即y-30≈(y+60)×0.4, 2x()-司 解得y=90. =3+2. 故楼高AB约为90m. 9.B 6.2√5 7.(6+33)【解析】如图，过点 【解析】如图所示，过点A作 O作OE⊥AB于点E,则BE AF⊥CD,交CD的延长线于点F -OD-3m.设AE-xm,则 则AF的长为点A到CD的距离. AB=(x+3)m,.A'E=(x+ 45 :CA平分∠BCD,AE⊥BC于B 6)m. 点E, ∠AOE=45, ..AF=AE. ∴.OE=AE=xm AB⊥AC,∠B=60°，BC=10,AE⊥BC, ∠A'OE=60°， .tan60 AB=BC·cosB=10X=5AE=AB·nB OE 即±6=3，x=3+35. -5×复-5，即点A到CD的距离为 2 2 11.解：在R1△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，AB=4, 经检验，x=3十33是原分式方程的解，且符合题意， ,.AB=3+33+3=(6+33)m inB=sn32-4C≈0.53 故小山的高度AB约为(6+3√3)m. .AC=2.12. 在R△ACD中，∠C=90°，∠CAD=37”, 8.解：如图，延长NF交AB于点G,交CD于点H n∠CAD-im87r-0.75 .CD≈1.6. 12.解：(1)3 (2)①0③ E M 过点A作AD⊥BC于点D,如图所 根据题意，得四边形BGHD、四边形DHFE、四边形 示. EFNM都是矩形， AD 3 ..BG=DH,GH=BD=4.5.HF=DE,FN=EM= tanB-BD' 1.5. .设AD=3.x,BD=4x, 在R△ANG中，∠AGN=90°，∠ANG=30°， AB=10, ∴.AG=GN·tan∠ANG=(GH+HF+FN)·1an30° .根据勾股定理，得(3.x)*+(4x)产=10， -.5+HF+1.)=25+HR 解得x=2(负值已舍去)， .AD=6,BD=8, 在Rt△CFH中，∠CHF=90°，∠CFH=30°， .根据勾股定理，得CD=√(65)-6=12， CH=HF.1an∠CFH=HF·iam30-gHp. ∴.BC=CD+BD=12+8=20. 13.D【解析】在R:△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB ..AB-CD=(AG+BG)-(CH+DH)=AG-CH= =45°， 25+号HF-5HF=25. ∴.AC=AB=5m. 3 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠D=30°， 故大树AB比小树CD高23m. .AD=√3AB=55m, 下册参老各案 ∴.CD=AD-AC≈1.732×5-5=3.66(m), ∴.CD的长度约为3.66m 14.解：(1)如图，过点B作BF⊥AD于点F 在R1△ABF中， n∠BAF-器， (2)如图，延长CF交AD,BE的延长线于点G,连 接AB. .BF=AB·sin∠BAF= ”横截面是一个轴对称图形， 3sin37≈l.8. .DE∥AB,.∠A=∠GDE. 故真空管上端B到AD的距 AD⊥CD,BE⊥CE,.∠GDF+∠FDC=90. 离约为1.8m. .22 :∠DCF+∠FDC=90°， (2)在R1△ABF中， .∠GDF=∠DCF=20°， a∠BAP-福 ∠A=0,G=5*品1.81m. ∴.AF=AB·cos∠BAF=3cos37°≈2.4. ∴.AG=AD+DG=10+1.81=11.81(cm), BF⊥AD,CD⊥AD,BC∥FD. ,∴.AB=2AG·c0s20°≈2×11.81×0.94≈22,2 .四边形BFDC是矩形， (cm). ..CD=BF=1.8.BC=FD. 故点A,B之间的距离约为22.2cm. CE=0.5, ∴.DE=CD-CE=1.3, 第二章二次函数 在R1△EAD中， 1二次函数 ian∠EAD-器. 1.C2.B3.-14.D5.y=-x2-2x+46.D 小品-04AD-325 7.y=一10.x2+560.x一7350【解析】根据题意，得y= (.x-21)(350-10x)=-10x2+560x-7350. .BC=DF=AD-AF=3.25-2.4=0.85≈0.9. 故安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 8.12(24我中或1与或-1或0或1 0.9m. 15.解：(1)在R1△DAE中，∠AED=60°，AE=3m, 【解桥】1)由题意，得mm=2 m一4十2=0， 解得m=2. ∴.AD=AE·1an60°=33(m), 故当m的值为2时，它是y关于x的一次函数 ∴.灯管支架底部距地面的高度AD为33m (2)可分以下四种情况讨论： (2)如图，延长FC交AB于点G. ①当m一4=0时，解得m=4: ∠A=90°，∠AFC=30°， ②当m一m=1时，解得m,=1士5，m 2 ∴.∠LDGC=90°-∠AFC=60. :∠GDC=60°， ,△DGC是等边三角形，.DC=DG @当中2头时，部得=-山 .'EF-8m.AE=3m. ④当m-m=0时，解得m=0,m:=1, ∴.AF=AE+EF=11m. 综上所述，当m的值为4或或与或-1或0 2 在R△AFG中，AG=AF1an30°=11×昼=1E 3 或1时，它是y关于x的二次函数. 9.D (m).由(1)知，AD=3√5m, 10.C【解析】，当m=2时，y=(m-2)x2+3x十m= DC=DG=AG-AD=1山，3-35=23≈1.2m. 3 3 3x十2，∴.A选项不符合题意：：当m=一2时，y= 故灯管支架CD的长度约为1.2m. (m+2)x十mx十4=一2x十4，.B选项不符合题 意，当m=士1时，y=(m-1)x2十4x=4r,.D选 项不符合题意：：m+1≥1，.对于任意实数，y= 60 (m十1)x一定是二次函数，.C选项符合题意. 11.D【解析】如图，过点F作FH⊥EC于点H,则 ∠FHE=90°，∠FEH+∠EFH=90 b60》 30 :∠DEF=90, 16.解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F, .∠DEB+∠FEH=90°， CD=CE=5cm,∠DCE=40°，.∠DCF=20°，DF .∠EFH=∠DEB. =EF. 在△DEB和△EFH中， .DF=CD·sin20°≈5×0.34=1.7(cm), I∠B=∠FHE, ,.DE=2DF=3.4cm. ∠DEB=∠EFH, 故线段DE的长约为3.4cm DE=EF, 数学九年级BS版