专题40 全国初中数学竞赛模拟卷（二）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题40 全国初中数学竞赛模拟卷（二） 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．有一份选择题试卷共6道小题，其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得20分，则他（    ） A．至多答对一道小题 B．至少答对三道小题 C．至少有三道小题没答 D．答错两道小题 2．如图，已知正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点，点，在直线上，点，在直线上，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 3．在方程组中，x，y，z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（ ） A．6 B．3 C．多于6 D．少于3 4．若两个不同的自然数a，b组成的数对满足它们的算术平均数和几何平均数均为两位数，且A和G中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到，则称这样的自然数对为“好数对”．那么，满足条件的好数对有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 5．设是以为直径的圆上的一点，于点，点在线段上，点在延长线上，满足．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．将1，2，3，…，16这16个数按某种顺序排成一列，使得任意相邻的三个数之和不小于，那么能取的最大值是(    )． A．25 B．26 C．27 D．28 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 8．已知，且满足 （表示不超过x的最大整数），则的值等于 ． 9．将一个正方体的表面都染成红色，再切割成个相同的小正方体．若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 ． 10．将n个棋子放于10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同．若将（）个棋子放入11个盒子内，都找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不相同，则n的最大值等于 ，最小值等于 ． 11．已知由小到大的10个正整数的和是2000，那么的最大值是 ，这时的值应是 ． 12．某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖，现向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是 ． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）计算的值． 14．（本题12分）（1）设x是实数，证明： ， （2）求之值 15．（本题12分）如图，在方格内已填有16个数字，可以对问题格中数字进行如下的操作：将一行或一列或一条对角线上的4个数同时加上或减去同一个正整数．问能否经过有限次操作使16个数都相等？ 1 8 7 6 2 0 1 0 3 2 4 5 5 6 8 9 16．（本题12分）如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值． 17．（本题12分）（A）如图，点在以为直径的上，于点，点在上，，四边形是正方形，的延长线与交于点．证明：． （B）已知：，，． 求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题40 全国初中数学竞赛模拟卷（二） 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．有一份选择题试卷共6道小题，其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得20分，则他（    ） A．至多答对一道小题 B．至少答对三道小题 C．至少有三道小题没答 D．答错两道小题 【答案】D 【详解】设该同学答对x题，不答的有y题，答错z题，依题设有．① ．② 其中x，y，z均为非负整数，且由②知． 若，则与①矛盾．若，则也与①矛盾，而由解得．故选D． 2．如图，已知正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点，点，在直线上，点，在直线上，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】将阴影部分分成四个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为1和 3．在方程组中，x，y，z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（ ） A．6 B．3 C．多于6 D．少于3 【答案】A 【详解】利用，把原方程组转化为解不定方程． 因为 ， 所以，从而得， 即． 因此x，y，z中一定是两正一负，且． 又， 则上述两种组合中，只有符合条件． 所以或或或或或 共有6个解．故选A． 4．若两个不同的自然数a，b组成的数对满足它们的算术平均数和几何平均数均为两位数，且A和G中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到，则称这样的自然数对为“好数对”．那么，满足条件的好数对有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解  选A．理由：由题意得 则a，b是关于x的一元二次方程的两根． 解得． 从而，是自然数． 设，则． ． 要使为完全平方数，必须或． 但，故． 所以，． 又，故． 这就要求是完全平方数，而，则可能有或． 当时，p，q均不为整数，故． 当时，得，此时，A，G分别为65和56． 进而求得为． 故满足条件的好数对只有1对． 5．设是以为直径的圆上的一点，于点，点在线段上，点在延长线上，满足．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，因为，所以，即． 又因为，故． 而，， 所以，所以，． 从而． 6．将1，2，3，…，16这16个数按某种顺序排成一列，使得任意相邻的三个数之和不小于，那么能取的最大值是(    )． A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据题意16个数之和是，当不符题意，得出，进而当，进行验证，即可求解． 【详解】解：∵16个数之和是， 若，对某一符合要求的排列，前15个数之和不小于，则最后一个数是1，同理第一个数也是1，矛盾， 所以．当时，1，9，16，2，10，14，5，8，13，6，7，15，4，11，12，3是一个满足要求的排列． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 【答案】793 【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解． 【详解】因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2． 当时，，不相等且都不是质数，矛盾； 当时，，此时，符合题意， 所以； 当时，，不满足条件． 综上， ． 8．已知，且满足 （表示不超过x的最大整数），则的值等于 ． 【答案】6 【详解】因，所以每一个等于0 或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以 于是，解得所以．故应填6． 9．将一个正方体的表面都染成红色，再切割成个相同的小正方体．若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 ． 【答案】8 【详解】 10．将n个棋子放于10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同．若将（）个棋子放入11个盒子内，都找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不相同，则n的最大值等于 ，最小值等于 ． 【答案】 64 55 【详解】要使10个盒子内每个都有棋子且各盒子内棋子数互不相同，则需要最少棋子的放法是这10个盒子内分别放了1，2，3，…，10个棋子，所放棋子总数为．同理，要使11个盒子内每个都有棋子且各盒子内棋子数互不相同，则需要最少棋子的放法是这11个盒子内分别放了1，2，3，…，11个棋子，一共放了，所以只有当，即时，n才满足题目的条件，其中n的最大值为64，最小值为55．故填最大值等于64，最小值等于55． 11．已知由小到大的10个正整数的和是2000，那么的最大值是 ，这时的值应是 ． 【答案】 329 335或334 【详解】要使最大，必须，，，及，，，，尽量小．又因为，且，，，的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有 ，即． 又，，，，，故，．又为正整数，所以，于是 ．又，，，，故， ，且为正整数，所以，而，所以，要，，最小得，，，这时 ．但如果取，，，依次为1，2，3，5，那么同样可得取上述值，这时． 故应填的最大值是329，这时的值应是335或334． 12．某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖，现向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是 ． 【答案】 【详解】解  要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖的任何一边的距离不小于圆的半径，也就是圆碟的中心必落在与地砖同中心且边与地砖边彼此平行、距离为的小正六边形内（图6－1）． 作于，交于且，所以，． 而，所以，故． 设正六边形和的面积分别为和，则所求概率为．故应填． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）计算的值． 【答案】 【详解】解：注意到 ， 于是 原式 ． 14．（本题12分）（1）设x是实数，证明： ， （2）求之值 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解  （1）设，则． 若，则，于是 ， 所以 若，则，于是 ， 所 综上所述，对任何实数x， 成立． （2）由（1）知 令，再将各式相加得 ． 注：从以上各例看出，求解有关及的问题的关键是： 及的定义和基本不等式．只要将及的定义与不等式结合起来进行计算和讨论，就能找到解决问题的途径． 15．（本题12分）如图，在方格内已填有16个数字，可以对问题格中数字进行如下的操作：将一行或一列或一条对角线上的4个数同时加上或减去同一个正整数．问能否经过有限次操作使16个数都相等？ 1 8 7 6 2 0 1 0 3 2 4 5 5 6 8 9 【答案】不能 【详解】解  任何一次操作中，4个数加上或减去同一个正整数，所以这16个数之和除以4的余数不变（同余不变量）．如果16个数相等，那么这16个数之和除以4的余数等于0，而一开始16个数之和为67，它除以4的余数为．因此，无论经过多少次操作，不可能使16个数都相等． 16．（本题12分）如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值． 【答案】， 【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用． 根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式； 瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积底面积，也就是底面积；水的体积为底面积，即可得到答案． 【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积， 设瓶子的底面积为S，即；水的体积为， 瓶中水的体积与瓶子容积之比为， ∵瓶子的容积底面积底面积 底面积，水的体积底面积， ∴瓶中水的体积：瓶子容积（底面积）：（底面积）， 答：这个比值是． 17．（本题12分）（A）如图，点在以为直径的上，于点，点在上，，四边形是正方形，的延长线与交于点．证明：． （B）已知：，，． 求的值． 【答案】（A）证明见解析；（B）625 【详解】【证明】连接、．∵为的直径，于点， ∴， ∵，，∴， ∴，∴， 由四边形是正方形及于点可知： 点在上，， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， 以点为圆心、为半径作，与直线交于另一点，则与切于点， 即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得， ∴，即点与点重合，点在上，∴． （注：上述最后一段得证明用了“同一法”） （B）．由已知得， 由恒等式得， ，∴， 又， 同理可得，， ∴原式 ． 【注：恒等式】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$