专题37 函数专题测试卷（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题37 函数专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知，则直线的图象可能是下面的（    ）    A．①② B．③④ C．① D．④ 2．如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（    ）．    A． B．15 C．10 D．5 3．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，为等腰直角三角形，点的坐标为，斜边轴，轴，如果反比例函数与有交点，那么的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如图，已知点，B在轴上，，点的坐标为，二次函数的图象经过点，B，顶点为点，若四边形为平行四边形，且二次函数的图象向下平移后恰好经过点，则平移后的图象所对应的函数解析式为 ． 8．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A作轴于点C，连接，则的面积为 ． 9．如图，二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，点为线段上一点，将线段按逆时针方向旋转后得到线段，若点恰好落在二次函数在第一象限的图象上，则点的坐标为 ． 10．已知一元二次方程的两根分别为，其中是同一个直角三角形中的两个锐角，若点在直线上，则点的坐标为 ． 11．如图，已知反比例函数上的两点A、B到y轴的距离之比为，连接并延长交x轴于点C，如果，那么k的值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形沿轴正方向连续翻转2016次，点依次落在点的位置，则点的横坐标是 ． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ）． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值． 14．如图，在平面直角坐标系中有两点，以点A为圆心，1为半径作，直线与在第二象限内相切于点C，求直线的函数解析式． 15．如图，将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象与轴交于点，已知点的坐标为，点在轴的正半轴，平移后的图象的顶点为点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)求与的面积之比． 16．如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点，交y轴负半轴于点为的直径． (1)求图象经过点A、B、C的二次函数的解析式； (2)设点D为（1）中二次函数图象的顶点，求直线的函数解析式； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 17．如图，抛物线的顶点M在矩形的边上，且过矩形的顶点A、B，已知． (1)求矩形的面积； (2)若将抛物线“”改为抛物线“”，其他条件不变，求矩形的面积（用a、b、c表示，并直接写出答案）． (3)若将抛物线“”改为“”，条件“”不要，其他条件不变，当矩形的面积为常数时，矩形的长和宽分别是多少？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题37 函数专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知，则直线的图象可能是下面的（    ）    A．①② B．③④ C．① D．④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，先根据等式的性质得出，，，三个式子相加得出，求得，此时直线为，图象经过第一、二、三象限，图象为④；当时，，此时直线为，图象经过第二、三、四象限，图象为③，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵a，b，c都不为0， ∴， ∴， ∴此时直线为，图象经过第一、二、三象限，图象为④， 当时，， ∴此时直线为，图象经过第二、三、四象限，图象为③， 故选：B． 2．如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（    ）．    A． B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意求出点，根据一次函数解析式求出点C的坐标为，然后求出三角形的面积即可． 【详解】解：∵点的横坐标分别为， ∴点的坐标分别为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴点，直线的解析式为， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， ． 故选：A．      3．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数和一次函数的性质判断即可；熟悉两函数的性质是解题的关键． 【详解】解：时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数过第一、二、三象限．反之，时，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限． 故选：A. 4．如图，为等腰直角三角形，点的坐标为，斜边轴，轴，如果反比例函数与有交点，那么的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、一元二次方程根的判别式、等腰直角三角形的性质等知识，反比例函数经过点A时k取最小值，当反比例函数图象和直线有一个公共点时k取最大值，分别进行求解即可． 【详解】解：当反比例函数经过点时，把点的坐标代入得到， ，解得， 此时取最小值为1， ∵为等腰直角三角形，斜边， ∴， ∵点的坐标为，斜边轴，轴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立和得到 ， 整理得到，， 当，即时，反比例函数与一个交点，此时k取最大值为9， 综上可知，． 故选：B 5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，包括对称轴，顶点坐标，函数值的计算以及根据条件判断结论的正确性，需要熟练掌握二次函数的相关知识并能灵活运用． 依据题意，由抛物线过，可得抛物线的对称轴是直线，进而逐个判断即可得解． 【详解】由表格可知和时，值都为，根据二次函数的对称性，对称轴为, 又因为当时，，所以顶点坐标为，顶点在第一象限，故①错误； 由表格可知当时，，根据二次函数的对称性，对称轴为，那么与关于对称轴对称的点的横坐标满足，解得，所以和3是关于的方程的两个根，故结论②正确． 设二次函数的表达式为 ， 把代入可得： ， 即，则， 所以 , 把代入可得：, 把代入可得：, 所以, 当时，，即 ．解得． 当时，，所以，该结论正确． 故结论③正确． 综上，正确结论有2个，答案选C． 综上，正确的有②③． 故选：C． 6．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】C 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如图，已知点，B在轴上，，点的坐标为，二次函数的图象经过点，B，顶点为点，若四边形为平行四边形，且二次函数的图象向下平移后恰好经过点，则平移后的图象所对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数待定系数法求解析式，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求出，利用二次函数的性质及，求出，，即可求出平移前的解析式，设平移后的抛物线为，再根据平移后函数图象过，代入即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形，则， ， ，， 设， 把代入得， ， 设平移后的抛物线为， 把代入得， ， 平移后的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 8．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A作轴于点C，连接，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积等知识点．设点A坐标，根据点A，B关于原点对称，可得出点，再根据三角形的面积计算即可． 【详解】解：设点A坐标，根据点A，B关于原点对称，可得出点， ， 故答案为：2． 9．如图，二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，点为线段上一点，将线段按逆时针方向旋转后得到线段，若点恰好落在二次函数在第一象限的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合性质，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键． 根据二次函数解析式求出点A、B、C、的坐标，然后求出线段的解析式，由全等三角形的性质得到，，设点D为，则用含m的式子可表示出点E的坐标，将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到点D的坐标． 【详解】二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点， 令，则， ， 点A坐标为，点B坐标为， 令，则， 点C坐标为， 设线段的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 作轴于点M，作轴于点F ， ，, , 线段按逆时针方向旋转后得到线段， ，即， ， ， ， 设 点在第一象限上， ，， 点恰好落在二次函数在第一象限的图象上， 解得：，（舍去）， ； 故答案为： 10．已知一元二次方程的两根分别为，其中是同一个直角三角形中的两个锐角，若点在直线上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，一元二次方程根与系数的关系，直线上点的特征．根据根据与系数的关系，以及三角函数直接的关系，推出，将点的坐标代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵是同一个直角三角形中的两个锐角， ∴， ∴， ； ∵点在直线上， ， 即， 解得 ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11．如图，已知反比例函数上的两点A、B到y轴的距离之比为，连接并延长交x轴于点C，如果，那么k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形．A、B坐标得出点C坐标是解题的关键． 设点，则点，用待定系数法求直线的函数解析式，从而求出点C坐标，然后由三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设点，则点， 设直线的函数解析式为， 把点、 代入，得 ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点C的横坐标为， ，解得． 故答案为：8． 12．如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形沿轴正方向连续翻转2016次，点依次落在点的位置，则点的横坐标是 ． 【答案】4031 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，图形与坐标的性质，勾股定理；作于D，由题意结合图形可知，，的横坐标为2，的横坐标为，的横坐标为，那么的横坐标为，的横坐标为，即可求出的横坐标． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵是边长为2的正三角形， ∴，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标是． 故答案为：4031． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ）． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)1，0， (2)先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，三角形面积，解二元一次方程组， （1）观察图形，即可得出点A，的坐标； （2）观察图形，即可得出平移的方式； （3）根据平移的方式，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，． 故答案为：，． （2）解：三角形是由三角形先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到． （3）解：∵三角形是由三角形先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∴， 解得，． 14．如图，在平面直角坐标系中有两点，以点A为圆心，1为半径作，直线与在第二象限内相切于点C，求直线的函数解析式． 【答案】 【分析】过点C作轴，垂足为点D，连接，则，先求出，得出，求出，得出点，利用待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为点D，连接，则， 为公共边， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ∴点， 设直线的函数解析式为， 则， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，求一次函数解析，解题的关键是熟练掌握圆的性质求出点C的坐标． 15．如图，将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象与轴交于点，已知点的坐标为，点在轴的正半轴，平移后的图象的顶点为点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)求与的面积之比． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，求二次函数的解析式、平移规律，相似三角形的判定与性质、综合性较强，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移规律得出平移后的函数解析式为再把的坐标为代入，即可作答． （2）先根据对称性质，得点，从而证明，再列式作答即可． 【详解】（1）解：∵将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象 ∴平移后的函数解析式为 点的坐标为， ， 解得， ， 顶点． （2）解：点， 平移后的对称轴为直线 ∴点， ， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点，交y轴负半轴于点为的直径． (1)求图象经过点A、B、C的二次函数的解析式； (2)设点D为（1）中二次函数图象的顶点，求直线的函数解析式； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线与相切 【分析】（1）先证明，利用相似三角形的性质求出的长，得出点C的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出顶点D的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）连接，，根据勾股定理逆定理求出即可． 【详解】（1）连接，则， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， （舍），或， ∵点C在y轴负半轴， ∴点． 设图象经过点A、B、C的二次函数的解析式为， 则，解得， ，即． （2）， ∴顶点， 设直线的解析式为， 则，解得， ． （3）连接，， ∵， ∴， 为直角三角形，． 故直线与相切． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，切线的证明方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 17．如图，抛物线的顶点M在矩形的边上，且过矩形的顶点A、B，已知． (1)求矩形的面积； (2)若将抛物线“”改为抛物线“”，其他条件不变，求矩形的面积（用a、b、c表示，并直接写出答案）． (3)若将抛物线“”改为“”，条件“”不要，其他条件不变，当矩形的面积为常数时，矩形的长和宽分别是多少？说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)时，长，宽；时，长，宽． 【分析】本题综合考查了二次函数的相关知识以及矩形面积的计算公式，难度较大． （1）设抛物线．设，，求出点的坐标为，然后可求出矩形的面积； （2）设抛物线．设，，求出点的坐标为，然后可求出矩形的面积； （3）只需考虑的情形，分设和两种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ，又抛物线是轴对称图形， ． 点的坐标为， ， 又， ， 矩形的面积为； （2）解：设抛物线， ，则， ∴点A为， ，得， ， ， ∴矩形的面积为； （3）解：只需考虑的情形，设矩形的面积为S，若，则，， 不妨设，则， 则矩形的长为， 宽为． 若，则矩形的长为， 宽为． 综上，时，长，宽；时，长，宽． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$