专题39 全国初中数学竞赛模拟卷（一）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题39 全国初中数学竞赛模拟卷（一） 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的．那么，二进制中的表示的是十进制中的（    ） A．22 B．21 C．13 D．12 2．王老师昨天按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下面的排列中，王老师可能回复邮件的顺序是（　　） A． B． C． D． E． 3．已知，其中，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如果a，b，c是三个任意整数，那么（    ）． A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数 5．如图，连接边长为1的正方形各边的中点，连接正方形的对角线，则图中共有等腰三角形（    ）个． A．16 B．32 C．22 D．44 6．若表示不超过的最大整数，有序正整数组满足，且，则满足条件的数组共有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若按奇偶分类，则是 数．（填奇数或偶数） 8．已知是一个整数，则A被3除所得的余数为 ． 9．已知锐角的外心为，交于，、分别为、的外心，若，，则 . 10．如图的菱形中若自上而下将相邻的字母拼成“”的字样（圈中字母就是一种拼法)，共有 种不同的拼法． 11．若2008个数满足：， ，其中，，3，…，2008．那么可能达到的最大值是 ． 12．用这九个数字组成一个两位数、一个三位数、一个四位数，使得这三个数的和为2016，共有 种方法． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）设四位数满足，求出满足条件的所有的四位数． 14．（本题12分）如图，在六边形的顶点处，分别标上数3，4，5，6，7，8，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于15？（2）大于16？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． 15．（本题12分）设圆周上放有若干堆小球，每堆中的小球数目都是偶数，但各堆的球数不必相等，按下列规则调整各堆小球的数目，把各堆小球二等分，本堆留一份，其余一份沿顺时针方向放入相邻的另一堆中．如果某堆球数不是偶数，那么可从布袋中取出一球放入，使该堆球数为偶数，然后按上述方法继续调整．证明，能经过有限步调整使各堆的球数相等． 16．（本题12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液，现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）． （1）当时，通过计算说明此溶液是否会溢出； （2）现需要倒出不少于的溶液，当等于时，能实现要求吗？通过计算说明理由． 17．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足等式，连接AM交y轴于B，C是x负半轴上的一个动点．      (1)求a，b的值； (2)如图2，的平分线交于点N，当点C在x负半轴上运动时，的度数是否改变？若不改变，请求出它的值；若改变，请指出其变化的范围； (3)如图3，当点C的坐标为时，过点A，作，交y轴于D，点 在直线上． ①求m，n满足的数量关系； ②若三角形的面积不超过三角形面积的，求点E横纵坐标m及纵坐标n的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题39 全国初中数学竞赛模拟卷（一） 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的．那么，二进制中的表示的是十进制中的（    ） A．22 B．21 C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题考查乘方的运算以及二进制数转十进制数的方法：二进制转十进制，从最后一位开始算，依次列为第等位数，第位的数（或）乘以的次方，得到的结果相加即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．王老师昨天按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下面的排列中，王老师可能回复邮件的顺序是（　　） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】考查了排列与组合应用类问题，此题正向分析有很多情况，从正确的里面挑选五个选项那个正确工作量很大，如果反向去看，只需要分析5种情况，工作量大大减小，排除法时选择题的一个重要解题办法．这道题如果正向分析有很多种情况，然而选项只有5个，所以用逆向思维去分析答案，用排除法做更快． 【详解】解：A选项的顺序是，王老师最先回复A，证明王老师刚开始回复邮件时只收到了A邮件，回复A时收到了B邮件，回复完A后除了B没有其他未回复的邮件，接下来回复E，证明王老师在回复B邮件时收到了三封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师都收到了，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故不符合题意． B选项的顺序是，王老师最先回复B，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了两封邮件，回复完B后没有收到新邮件，只能回复A，接下来回复E，证明王老师在回复A邮件时收到了三封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师都收到了，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故不符合题意． C选项的顺序是，王老师最先回复C，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了三封邮件，回复完C后，王老师没有回复B，证明他又收到了新邮件，发现王老师接下来回复E，证明王老师在回复C邮件时收到了两封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师都收到了，那回复完E，应该先回复D，回复完D，回复，故符合题意． D选项的顺序是，王老师最先回复D，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了四封邮件，回复完D后，王老师回复，证明他没有收到新邮件，回复完后没有回复E证明王老师还没有收到邮件E，那他就应该先回复B而不是A，故不符合题意． E选项的顺序是，王老师最先回复E，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了五封邮寄邮件，按照先回复最新收到的一封电子邮件的要求，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故不符合题意． 故选：C． 3．已知，其中，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用完平方公式展开，代入，，根据，判断的符号，即可求解，本题考查了三角函数，完全平方公式，解题的关键是：熟练应用和完全平方公式． 【详解】解：， ， ，即：， ， 故选：． 4．如果a，b，c是三个任意整数，那么（    ）． A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数 【答案】C 【详解】选C．理由：因为a，b，c是任意整数，所以a，b，c中至少有两个同为奇数或同为偶数而两个奇数或两个偶数的和是偶数，故中至少有一个整数如当时，，此时，恰有一个整数故选C． 5．如图，连接边长为1的正方形各边的中点，连接正方形的对角线，则图中共有等腰三角形（    ）个． A．16 B．32 C．22 D．44 【答案】D 【详解】斜边长为的等腰直角三角形有4个，斜边长为的等腰直角三角形有16个，斜长为1的等腰直角三角形有8个，斜边长为的等腰直角三角形有16个，综上所述，共有个等腰直角三角形，故选D． 6．若表示不超过的最大整数，有序正整数组满足，且，则满足条件的数组共有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题考查了二次方程的整数解问题，不等式的应用，正确求出相关量的取值范围是解答本题的关键．设，，，，a，b，c均为正整数，得到，然后求出c的取值范围，再讨论c的值，即可求得a，b的值，从而得到，，，再列出不等式，即可逐步求得答案． 【详解】设，，，，a，b，c均为正整数， 则， ，且，，，均为正整数， ，，，， ，，， 又， ， 当时，， 解得， 这与不符，舍去； 当时，， 方程无正整数解，舍去； 当时，， 解得， 所以，，， ，，， ①，②，③， 解不等式①得，， 当时，解不等式②得，或， 当，时，解不等式③得，或， 当，时，解不等式③得，或（舍去）， 所以满足题意得有序正整数组有3组：，，． 故选B． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若按奇偶分类，则是 数．（填奇数或偶数） 【答案】偶数 【分析】本题考查了整数积和整数和的奇偶性，要注意奇数奇数=奇数，奇数奇数=偶数，根据整数积的奇偶性判断每一个乘方的奇偶性，再根据和的奇偶判断即可， 【详解】解：∵奇数与奇数的积是奇数，偶数与偶数的积是偶数， ∴，，……是奇数，共个奇数， ，，……是偶数，共个偶数， 是个奇数与个偶数的和，结果是偶数． 故答案为偶数． 8．已知是一个整数，则A被3除所得的余数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数的整除与余数，熟练掌握余数的性质是解题的关键； 首先提取公因式，然后分析5的幂次除以3的余数规律，在根据余数的性质，除以c的余数等于a除以c的余数乘以b除以c的余数的积，除以c的余数，即可得出答案． 【详解】解： ， 能被3整除． ∴，余数是2． 故答案为：2． 9．已知锐角的外心为，交于，、分别为、的外心，若，，则 . 【答案】 【详解】作于点，于点，于点. ∵、分别为、的外心，∴、分别为、的中点.又，∴，∴. 又，，∴. 又， ∴. 10．如图的菱形中若自上而下将相邻的字母拼成“”的字样（圈中字母就是一种拼法)，共有 种不同的拼法． 【答案】252 【详解】解法一：如图，下面每个数字标上从上面每处到达该处的路径条数，最后我们得到共有252种不同的拼法． 解法二：对于每一种拼法，从上方字母到下方字母可接箭头“”或“”方向选取，故每种拼法对应了由5个“”与5个“”组成的一个排列（例如题目所示图中字母拼法对应的排列为“”，这个对应是一个一一对应，故所求拼法种数等于5个“”与5个“”排成一列的排法种数，而从一列10个位置中依次取5个位置放“”（余下5个位置放“”）的方法数等于从10个元素中取5个元素的组合数，即（因为5个“”没有区别，故这里用组合数公式，而不用排列数公式），故共有种不同的拼法． 11．若2008个数满足：， ，其中，，3，…，2008．那么可能达到的最大值是 ． 【答案】 【详解】依题意， ①或② 于是连续两次第②类变换互相抵消，保持原数不变，并且当连续三次变换依次是“第①类变换，第②类变换，第①类变换”时，其效果相当为进行一次第②类变换，故从出发变到，一共要经过2007次变换，相当于进行若干次第①类变换和至多2次第②类变换，并且第②类变换只有第一次、最后一次进行才可能使最大．其中以前2006次进行第①类变换，最后一次进行第②类变换时，达到最大值． 12．用这九个数字组成一个两位数、一个三位数、一个四位数，使得这三个数的和为2016，共有 种方法． 【答案】288 【分析】本题考查整数问题的综合应用，排列组合问题，根据题意可知所有数位之和为45，设四位数为，三位数为，两位数为，再由这三个数的和为2016，推导出千位只能是1，百位的和是8，十位的和是20，个位是16，再分当百位是时，当百位是时，两种情况讨论求解是解决问题的关键． 【详解】解：， 设四位数为，三位数为，两位数为， 则，，且个位为6， 若，则、、对应1，2，3中的某个数，与矛盾， ∴，即个位是16， 则或20， 若，则，，此时，，与题意矛盾， ∴，则， 即：千位只能是1，百位的和是8，十位的和是20，个位是16， 当百位是时，十位可以是、、， ∵3个数字放在不同的数中有6种放法， ∴这个三个数有（种）； 当百位是时，十位只能是，有（种）． ∴共（种）． 故答案为：288． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）设四位数满足，求出满足条件的所有的四位数． 【答案】2010或2011或1112或1130或1131 【分析】此题考查了数字的表示方法与有关性质．解此题的关键是依据已知，求得a，b，c，d的取值范围，利用分类讨论思想求解．首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可． 【详解】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵， ∴是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数， 如果，则，此时这个四位数为2010， 如果，则，此时这个四位数为2011， 如果，则，此时这个四位数为1112， 如果，找不到符合要求的数， 如果，则，此时这个四位数为1130， 如果，则，此时这个四位数为1131， 如果，则，不符合题意， ∴此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 14．（本题12分）如图，在六边形的顶点处，分别标上数3，4，5，6，7，8，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于15？（2）大于16？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． 【答案】（1）能，见解析；（2）不能，见解析 【分析】题主要考查了整数问题的综合应用，分别得出相邻数据之和规律是解题关键． （1）根据题中给出的条件可知，这把各数的和判断即可得出结论． （2）可以分别设这六个数为a，b，c，d，e，f然后将其三个数相加，根据上题的出的结论直接判断即可解答． 【详解】解：（1）能，如图所示； 6个点的顺序分别为8-3-6-7-4-5． 任意三个相邻顶点处的和分别为．满足均大于15， ； （2）不能， 如图， 设按要求所填的六个数顺次为a，b，c，d，e，f．它们任意相邻三数和大于16，即大于或等于17． 所以，， 故．而，所以不能使每三个相邻的数之和都大于16． 15．（本题12分）设圆周上放有若干堆小球，每堆中的小球数目都是偶数，但各堆的球数不必相等，按下列规则调整各堆小球的数目，把各堆小球二等分，本堆留一份，其余一份沿顺时针方向放入相邻的另一堆中．如果某堆球数不是偶数，那么可从布袋中取出一球放入，使该堆球数为偶数，然后按上述方法继续调整．证明，能经过有限步调整使各堆的球数相等． 【答案】见解析 【详解】证明  设某次调整前，球数最多的一堆有个球，球数最少的一堆有个球（，为正整数且），那么 （1）经过调整后，各堆的球数仍在与之间． 事实上，设某堆有个球，沿顺时针方向与它相邻的前面一堆上有个球，于是调整后，该堆的球数为满足．若该堆球数不是偶数，即，可补充一球成为偶数，其球数仍在与之间． （2）原来球数大于的堆，调整后球数仍大于． 事实上，同（1）知若，又，则． （3）原来球数为的堆中至少有一堆经调整后其球数大于． 事实上，沿顺时针方向，球数为的堆中至少有一堆，与它相邻的前面一堆中的球数，于是调整后，该堆球数为． 于是，每一次调整，球数为的堆至少减少一堆，故经过有限次调整，可使每堆的球数都大于，而含球数最多的堆中的球数不会增大，于是含球数最多的堆与含球数最少的堆所含球数之差将严格减小．故经过有限步调整，这个差数必等于0，即各堆球数相等． 16．（本题12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液，现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）． （1）当时，通过计算说明此溶液是否会溢出； （2）现需要倒出不少于的溶液，当等于时，能实现要求吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）不会溢出，理由见解析；（2）不能实现要求，见解析． 【详解】（1）当时，如图a，过C作交所在直线于F． 在中，，所以点F在线段上，，此时容器内能容纳的溶液量为．而容器中原有溶液量为．因为，所以当时溶液不会溢出． （2）如图b，当时，过C作交所在直线于F．在中，，，所以点F在线段上，故溶液纵截面为．因，容器内溶液量为，倒出的溶液量为，所以不能实现要求． 17．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足等式，连接AM交y轴于B，C是x负半轴上的一个动点．      (1)求a，b的值； (2)如图2，的平分线交于点N，当点C在x负半轴上运动时，的度数是否改变？若不改变，请求出它的值；若改变，请指出其变化的范围； (3)如图3，当点C的坐标为时，过点A，作，交y轴于D，点 在直线上． ①求m，n满足的数量关系； ②若三角形的面积不超过三角形面积的，求点E横纵坐标m及纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)， (2)的度数为，理由见解析 (3)① ②当三角形的面积不超过三角形面积的时， 点E的横坐标m的取值范围是，且， 点的横坐标n的取值范围是，且． 【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性，列二元一次方程即可解答； （2）过点M做轴的垂线段交于点H，根据面积法求得点的坐标，证明为等腰直角三角形，即可得到，利用三角形内角和定理和角平分线的概念，即可得到 的度数； （3）①过点 E 作 轴于点 G，连接，由 ，即可解答； ②分两种情况讨论：即点在第一象限或点在第四象限，根据题意列不等式，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故可列方程：， 解得； （2）解：的度数为，理由如下： 如图，过点M做轴的垂线段交于点H，    设点，则， ， ， ， 根据， 可列方程， 解得， ， 为等腰直角三角形， ， ， 的平分线交于点N， , ； （3）解：①如图，过点 E 作 轴于点 G，连接， ， ， ， 设， ， ， 可得方程， 解得， ， 由得： ， 即， 化简得； ②<1>当点 E 在第四象限时， ∵三角形的面积不超过三角形面积的， ∴三角形的面积不超过三角形面积的， ， ， 即， 解得， ， ， ； <2>当点 E 在第一象限时， 同理可得，， 综上所述，当三角形的面积不超过三角形面积的时， 点E的横坐标m的取值范围是，且， 点的横坐标n的取值范围是，且． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式，平面直角坐标系中三角形的面积法，角平分线的概念和三角形内角定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$