全国初中数学竞赛模拟卷（二）全国通用

全国初中数学竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 2．设实数满足，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 4．将矩形如图放置，为原点．若点，点的纵坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示． A． B． C． D． E． 6．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，O为原点， 交反比例函数的图象于点B，若为定值，则关于，的说法正确的是（   ） A．，都是定值 B．是定值，不是定值 C．不是定值，是定值 D．，都不是定值，而 是定值 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知与互为相反数，且，那么= ． 8．如图所示，数轴上有不同的两个点M，N，它们表示的数分别为m、n且，点P是线段的一个三等分点，且点P靠近点N，则点P表示的数是 ．（用含m，n的代数式表示） 9．如图，已知四边形，，，，，，，则 ． 10．如图，直线与x轴交于点A，与过点的直线交于点C，点D为线段上一动点，点E在直线上，满足，交直线于点F，点G、H、P分别是的中点，连接，则的最小值为 ． 11．现有一列整数,第一个数为 1,第二个数为 x.以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到.如第三个数是由 x 与 1 差的绝对值得到,即为|x 1| ,第四个数是由|x 1| 与 x 差的绝对值得到,即为|x1|   x| | ,...依次类推. ①若 x=2,则这列数的前 10 个数的和为 ; ②要使这列数的前 100 个数中恰好有 30 个 0,则 x= . 12．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论有 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）已知实数a，b满足 (1)若，求的最小值； (2)设实数x，y满足，且，求a，b，x，y的值． 14．（本题10分）如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线． (1)因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长． (2)将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为m米，抛物线的顶点离地面距离为k米，当时，求m的取值范围． 15．（本题10分）（1）已知正整数满足，正整数． ①直接写出的最大值； ②请你列举出除最大值外的1个值及取得这个值对应的1组的值； ③直接写出所有符合条件的的值之和． （2）若，，分别被自然数除时，所得余数都是，记，求的值． 16．（本题10分）如图所示，设，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），不等边三角形的两边长为方程的解，第三边长为4，点为坐标原点，以为直径分别作圆、圆，直线与圆相切于，与圆相切于，交轴于点，且直线与轴的夹角为． (1)直接写出方程的解； (2)求的取值范围； (3)当为满足（2）的正偶数时，求直线的方程． 17．（本题10分）阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 18．（本题10分）如图1，在中，，，，为上一点，连结，作，交于点，且，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发沿射线运动，过程中满足，设． (1)求关于的函数表达式． (2)连结，， ①当与中的一个内角相等时，的值为___________（直接写出答案）； ②如图2，当点在线段上时，以为邻边作平行四边形，若所在直线平分平行四边形的面积，的面积为___________（直接写出答案）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得，根据方程两边恒等可得，解得，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 解得：， ∴． 故选：C． 2．设实数满足，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，幂的乘方逆运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ，，， ． 故选：C． 3．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 4．将矩形如图放置，为原点．若点，点的纵坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，通过证明，即可解答． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点， ， ， 又， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 点，点的纵坐标是， ， ， ∵， ， ， 点的坐标是：． 故选：D． 5．将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示． A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求概率即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，每个小方格有种等可能情况， ∴一共有种等可能情况， 在如图中有种等可能情况， 另外小单元有四个， ∴共有种等可能情况， ∴有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是， 故选：C． 6．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，O为原点， 交反比例函数的图象于点B，若为定值，则关于，的说法正确的是（   ） A．，都是定值 B．是定值，不是定值 C．不是定值，是定值 D．，都不是定值，而 是定值 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，本题解题的关键是作出合理的辅助线；先作出辅助线证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得到答案即可； 【详解】解：如图，过点A作x轴的平行线交y轴于点，交过点B与y轴的平行线于点N， ∴， 设（a为定值）， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得：（舍负） ∴， ∴点的坐标为：， 设点 ∴， ∴ 解得：（定值），而不一定； 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知与互为相反数，且，那么= ． 【答案】/0.16 【分析】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，绝对值方程的解法，分式的化简求值，熟练的求解是解本题的关键． 利用a与b互为相反数，，求解，，再整体代入求值即可． 【详解】解： a与b互为相反数， ， ， ， ， ， 当 时，则， 当 则 ， ， ， 故答案为：． 8．如图所示，数轴上有不同的两个点M，N，它们表示的数分别为m、n且，点P是线段的一个三等分点，且点P靠近点N，则点P表示的数是 ．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，根据点的位置列出关于x的方程是解题的关键． 设P表示的数为x，根据点P是线段的一个三等分点，且点P靠近点N得：，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：设P表示的数为x，则， ， ∵P是线段的一个三等分点，且点P靠近点N， ∴， ∴，解得：， ∴P表示的数为． 故答案为：． 9．如图，已知四边形，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确作辅助线是解题的关键． 利用勾股定理和面积法求得，，在上方，找一点使得，证明三点在以点为圆心，为半径的圆上，利用垂径定理和勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ，， , 如图，在上方，找一点使得， ， 三点在以点为圆心，为半径的圆上， 过点作，分别交于点， ， , ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ,， 根据勾股定理可得， ， 故答案为：． 10．如图，直线与x轴交于点A，与过点的直线交于点C，点D为线段上一动点，点E在直线上，满足，交直线于点F，点G、H、P分别是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/1.2 【分析】本题考查直线方程、两直线交点坐标、两点的中点坐标及线段长度公式，解题的关键是熟练掌握直线方程的求解，线段长度的表示． 根据题意求出点，设，利用，求出点，再根据直线交点坐标的求法得到点，接着根据中点坐标求法得到点，表示出即可得到最小值． 【详解】解：由题知， ，所以， 设，则， 又E在直线上，所以可设， 则， 两边平方得， 即，解得或， 又，所以， 设直线的方程为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 则，解得，所以， 所以中点，的中点， 故的中点， 则， 所以当时，取得的最小值． 故答案为：． 11．现有一列整数,第一个数为 1,第二个数为 x.以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到.如第三个数是由 x 与 1 差的绝对值得到,即为|x 1| ,第四个数是由|x 1| 与 x 差的绝对值得到,即为|x1|   x| | ,...依次类推. ①若 x=2,则这列数的前 10 个数的和为 ; ②要使这列数的前 100 个数中恰好有 30 个 0,则 x= . 【答案】①9；②6或7或－2或－3. 【分析】①根据题意进行计算，列出前10个数，再相加计算即可； ②先将x分为0、正整数、负整数三大类情况，判断出x=0时不合题意，然后另外两种情况中再分x为偶数、奇数时进行讨论，找出规律即可求出x. 【详解】解：①当x=2时，这列数为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…， ∴前10个数的和为：1+2+1+1+0+1+1+0+1+1=9； ②当x=0 时，这列数为：1，0，1，1，0，1，…，每3个数一循环，且每3个数有1个0，前100个数中33个0，不满足题意； 当x为正整数时： i、x为偶数，这列数为：1，x，x－1，1，x－2，x－3，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…， 观察可得出，每3个数为一组，每组第1个数均为1，第2个、3个数从x开始依次减1，直至减到1，然后开始“1，0，1”循环， ∵前100个数中恰好有30个0， ∴100÷3=33…1，则前3组不含0，即前3组的第2个、3个数从x开始减到1，从第4组开始后30组均为“1，0，1”， ∴2×3=6，则x=6； ii、x为奇数，这列数为：1，x，x－1，1，x－2，x－3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…， 观察可得出，每3个数为一组，每组第1个数均为1，第2个、3个数从x开始依次减1，直至减到2，然后开始“1，1，0”循环， ∵前100个数中恰好有30个0， ∴100÷3=33…1，则前3组不含0，即前3组的第2个、3个数从x开始减到2，从第4组开始后30组均为“1，1，0”， ∴2×3=6，则x=6+1=7； 当x为负整数时： i、x为偶数，这列数为：1，x，|x|+1，2|x|+1，|x|，|x|+1，1，|x|，|x|－1，1，|x|－2，|x|－3，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…， 观察可得出，每3个数为一组，从第3组开始每组第1个数均为1，第2个、3个数从|x|开始依次减1，直至减到1，然后开始“1，0，1”循环， ∵前100个数中恰好有30个0， ∴100÷3=33…1，则前3组不含0，从第4组开始后30组均为“1，0，1”， ∴第3组数应为：1，2，1， ∴x=－2； ii、x为奇数，这列数为：1，x，|x|+1，2|x|+1，|x|，|x|+1，1，|x|，|x|－1，1，|x|－2，|x|－3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…， 观察可得出，每3个数为一组，从第3组开始每组第1个数均为1，第2个、3个数从|x|开始依次减1，直至减到2，然后开始“1，1，0”循环， ∵前100个数中恰好有30个0， ∴100÷3=33…1，则前3组不含0，从第4组开始后30组均为“1，1，0”， ∴第3组数应为：1，3，2， ∴x=－3； 综上所述，x的值为6或7或－2或－3. 12．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：如图所示： ∵为正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故结论①正确； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故结论②正确； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故结论③正确； 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为， 故结论④不正确； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确； 综上所述：结论①②③⑤正确， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）已知实数a，b满足 (1)若，求的最小值； (2)设实数x，y满足，且，求a，b，x，y的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， 当时，由得不成立， ∴， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 14．（本题10分）如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线． (1)因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长． (2)将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为m米，抛物线的顶点离地面距离为k米，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)2.25米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题的关键； (1) 观察图2可知点M在抛物线上，横坐标为3，根据题意可求得抛物线的最低点，继而可求得抛物线的解析式，那么的值便不难得到了； (2) 易得点的顶点坐标为，联系抛物线的二次项系数，由点C在抛物线上可得到m与k的函数关系式，接下来根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由抛物线关系式可知：当时，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ∵在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子，抛物线的最低点距为1米， ∴抛物线的顶点坐标为：， 设的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴的长度为2.25米； （2）解：由题意得：， ， 令，则， 或， ． ∵离的距离为m米， ， ∴根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上， ∴的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得， 解得：， ． ∴k是关于m的二次函数， ∵由已知，符合条件的点在对称轴的左侧，又， ∴k随m的增大而增大， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）． 当时，， 解得，（不符合题意）， ∴m的取值范围是． 15．（本题10分）（1）已知正整数满足，正整数． ①直接写出的最大值； ②请你列举出除最大值外的1个值及取得这个值对应的1组的值； ③直接写出所有符合条件的的值之和． （2）若，，分别被自然数除时，所得余数都是，记，求的值． 【答案】（1）①．②当时，此时（答案不唯一）．③．（2）． 【分析】本题考查了数的整除性问题，找到规律是解题关键． （1）①当正整数时，取得最大值，此时； ②当时，此时，； ③当时，；当时，；当时，当时，，⋯，观察规律得的值可以从到，再计算即可． （2）由题意，设①，②，③，②①得：，③②得：，③①得：，故．再运算即可． 【详解】解：（1）① ， 当正整数最小时，取得最大值， 即当时，取得最大值， 此时； ②当时， 此时， ③当时，； 当时，； 当时，当时， ， ⋯， 观察规律得的值可以从到， 符合条件的的值之和 （2）由题意，设①，②，③， ②①得：， ③②得：， ③①得：， ． 由于，，除以，余数都得， ， ． 16．（本题10分）如图所示，设，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），不等边三角形的两边长为方程的解，第三边长为4，点为坐标原点，以为直径分别作圆、圆，直线与圆相切于，与圆相切于，交轴于点，且直线与轴的夹角为． (1)直接写出方程的解； (2)求的取值范围； (3)当为满足（2）的正偶数时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）根据题意，可知该方程有2个不相等的实数根，根据判别式大于0可求得答案； （3）先求得，代入抛物线后求得，坐标，从而知道的直径与半径，连接，过点作于点，接着利用勾股定理和30度的特殊三角形，求得点和点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， 或； （2）解：， ，， 不等边三角形的两边长为方程的解，且第三边长为4， ，， ， ，且 ； （3）解：当为满足（2）的正偶数时， ， ， 当时，或， ， ，， 连接，过点作于点，如图所示： 直线与圆相切于，与圆相切于，交轴于点，且直线与轴的夹角为， ，，， ，， ，， ，， ，， ， 设直线为，代入，， ， ． 17．（本题10分）阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解，根据公式合理变形是求解的关键．先将变形为，再将代入可得，根据非负数的性质即可得证． 【详解】解：已知，则， ∵， 即， ， ， ， 则， ∴， ． 18．（本题10分）如图1，在中，，，，为上一点，连结，作，交于点，且，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发沿射线运动，过程中满足，设． (1)求关于的函数表达式． (2)连结，， ①当与中的一个内角相等时，的值为___________（直接写出答案）； ②如图2，当点在线段上时，以为邻边作平行四边形，若所在直线平分平行四边形的面积，的面积为___________（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①或或或；②或 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质得出，再根据得到，设，则，从而得到，进而推出和的值，从而得到答案； （2）①分三种情况分析：当时，当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质求解即可；②由（1）及①，，分别表示出，，，再由平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴ ∴， ∵，设 ∴， ∵ ∴． （2）解：①当时， 最小时，点与点重合，此时， 点与点重合时，最大为， 时，，不符合题意， 当时， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 当时，， ∵， ∴， ∵，则， ∴，即， 解得：，即， 当时， ， 或， 综上所述：或或或； ②由（1）及①得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∵的高为， ∴或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $