精品解析：2025年云南省保山市腾冲市团田中学中考模拟预测数学试题

腾冲市团田中学2025届中考模拟预测 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一 、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分． 1. 下表是合肥市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是（ ） 景区 包公园 天鹅湖 巢湖湿地公园 非遗园 气温 －1℃ 0℃ －2℃ 2℃ A. 包公园 B. 天鹅湖 C. 巢湖湿地公园 D. 非遗园 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，从上面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会上习大大宣布：裁减军队员额30万，这个数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳.则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列交通标志是轴对称图形是（ ） A B. C. D. 6. 在中，，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20个小区的入住率，得到的数据如下表： 入住率 小区数 2 4 4 8 2 则这些数据中众数和中位数分别是（ ）． A. B. C. D. 8. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 9. 如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（　　） A. 32米 B. 米 C. 36米 D. 米 10. 为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用800元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、口罩，两种口罩共100个，该大型药店的普通医用口罩销售价为每个2元、口罩销售价为每个8元，设购进普通医用口罩为x个，购进口罩为y个，可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 11. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点B．若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（　　） A. 2个不相等的实数根 B. 2个相等的实数根 C. 1个实数根 D. 无实数根 13. 如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是3，则的面积为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 54 14. 观察下列关于m的单项式，探究其规律：按照上述规律，第2021个单项式是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边的边OA，AB分别交于点M，N，且，若，那么点N的横坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 计算：______；______；______． 17. 因式分解：（1）___________（2）_________________； 18. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉500条鱼做记号，然后放回湖中，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群之后，再捕捞，第二次捕鱼共有200条，有10条做了记号，则可以估计湖中有__________条鱼． 19. 如图，将扇形沿射线平移得到扇形，线段交于点F．当时，平移停止．若， ，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 21. 在中，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为24，计算与的面积之和． 22. 某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）． 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 A 0≤t＜0.5 20 0.05 B 0.5≤t＜1 a 0.3 C 1≤t＜1.5 140 0.35 D 1.5≤t＜2 80 0.2 E 2≤t＜2.5 40 0.1 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）表中a=　 　，将频数分布直方图补全； （2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？ （3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．疫情散去，春暖花开，某中学组织七年级的10名教师和410名学生赴安阳市参观殷墟博物馆和中国文字博物馆．下面是李老师和刘老师有关租车问题的对话： 李老师：“某客运公司有，两种型号的客车对外出租，每辆型客车比每辆型客车多坐15名师生，若全部租用型客车恰好坐满，若租用相同数量的型客车将有105名师生无座可坐”． 刘老师：“型客车每辆每天的租金比型客车高150元．八年级师生上周在这个客运公司租了4辆型客车和2辆型客车到这两个地方，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）每辆型客车和型客车可坐师生的人数分别是多少？ （2）该客运公司型客车和型客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，请写出最省钱的租车方案及租车费用． 24. 如图，在平行四边形中，是的角平分线，分别是边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求菱形的面积． 25. 开学前夕，某文具店用620元购进A种笔记本50本和B种笔记本30本，已知A种笔记本的进货单价比B种笔记本的进货单价多6元． （1）求A，B两种笔记本的进货单价分别是多少元？ （2）由于笔记本畅销，文具店决定再购进这两种笔记本共300本，其中A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的2倍，且每种笔记本的进货单价保持不变；若A种笔记本的销售单价为14元，B种笔记本的销售单价为6元，问文具店应如何购买，才能使笔记本全部售完后，第二次销售获得的利润最大？是多少？ 26. 已知二次函数的图象过点，点和点． （1）若点，求二次函数表达式． （2）当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． （3）若且，求证：． 27. 如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ． 求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 腾冲市团田中学2025届中考模拟预测 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一 、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分． 1. 下表是合肥市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是（ ） 景区 包公园 天鹅湖 巢湖湿地公园 非遗园 气温 －1℃ 0℃ －2℃ 2℃ A. 包公园 B. 天鹅湖 C. 巢湖湿地公园 D. 非遗园 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 将这几个有理数比较后即可确定正确的选项． 【详解】解：由表格中的数据可得：， 所以气温最低的是巢湖湿地公园． 故选：C 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，从上面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看简单几何体，根据从上往下看得到的图形直接判断即可得到答案 【详解】解：从上看由两行第一行3个正方体，第二行2个正方体， 故选：C． 3. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会上习大大宣布：裁减军队员额30万，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法-表示绝对值较大的数． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】将30万用科学记数法表示为：． 故选C 4. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳.则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 5. 下列交通标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：B． 6. 在中，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值． 【详解】如图， ∵中，，， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键． 7. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20个小区的入住率，得到的数据如下表： 入住率 小区数 2 4 4 8 2 则这些数据中的众数和中位数分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，掌握求众数和中位数的方法是解题的关键． 众数是出现次数最多数，中位数是排序后处于最中间的一个数或两个数的平均数，据此求解即可． 【详解】∵出现次数8次，最多， ∴这些数据中的众数为， ∵按大小排序后，第10个数是，第11个数是，它们的平均数是， ∴这些数据中的中位数是． 故选：C． 8. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 9. 如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（　　） A. 32米 B. 米 C. 36米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明∽，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵BC⊥CA，MN⊥AN， ∴∠C＝∠MNA＝90°， 由题可知，∠BAC＝∠MAN， ∴∽， ∴，即， ∴MN＝32米． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，熟练掌握判定定理及性质是解题的关键． 10. 为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用800元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、口罩，两种口罩共100个，该大型药店的普通医用口罩销售价为每个2元、口罩销售价为每个8元，设购进普通医用口罩为x个，购进口罩为y个，可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设购进普通医用口罩为x个，购进口罩为y个，再根据“用800元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、口罩两种口罩共100个”列方程组即可； 【详解】解：设购进普通医用口罩为x个，购进口罩为y个， 依题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找到两个等量关系，难度不大． 11. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别按照积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项知识点进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 12. 关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点B．若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（　　） A. 2个不相等的实数根 B. 2个相等的实数根 C. 1个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，可得，再由反比例函数比例系数的几何意义，可得，再根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， ∵A、P关于原点成中心对称，轴，轴，的面积大于12， ∴， 即， ∴． ∴， ∴关于x的方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义， 一元二次方程根的判别式，根据反比例函数比例系数的几何意义得到是解题的关键． 13. 如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是3，则的面积为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT=TB=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT． ∵PB是⊙O的直径， ∴∠PQB=∠CQB=90°， ∴QT=BC=定值，AT是定值， ∵AQ≥AT-TQ， ∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x， 在Rt△ABT中，则有（3+x）2=x2+62， 解得x=， ∴BC=2x=9， ∴S△ABC=•AB•BC=×6×9=27， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题． 14. 观察下列关于m的单项式，探究其规律：按照上述规律，第2021个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察给出的单项式，从系数看是3的n倍数，从字母指数看是n次，即可写出． 【详解】解：其规律： 系数分别是3的n倍，指数为n次， 第n个单项式是3nmn， 第2021个单项式是3×2021m2021=6063m2021． 故选择：D． 【点睛】本题考查单项式的规律性探究问题，掌握单项式的特征由两部分组成，系数与字母，发现系数与指数规律是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边的边OA，AB分别交于点M，N，且，若，那么点N的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点N、M分别作，，垂足为C、D，根据等边三角形的性质和已知条件，可求出，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式，设，，则，在中，，，解即可得到答案． 【详解】过点N、M分别作，，垂足为C、D， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， 在中，， ，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 设，，， 在中，， ∴， ∴， 解得：或 (舍去)， ∴点N的横坐标为， 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 计算：______；______；______． 【答案】 ①. 3 ②. ③. 8 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义解决此题． 【详解】解：；；． 故答案为：3；；8． 【点睛】本题主要考查立方根、算术平方根，熟练掌握算术平方根和立方根的是解决本题的关键． 17. 因式分解：（1）___________（2）_________________； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）提公因式x即可分解； （2）提公因式ab，再用平方差公式分解． 【详解】解：（1）=； （2）==； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和乘法公式． 18. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉500条鱼做记号，然后放回湖中，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群之后，再捕捞，第二次捕鱼共有200条，有10条做了记号，则可以估计湖中有__________条鱼． 【答案】10000 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，先求出第二次有记号的鱼所占的比例，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：（条） 故答案为：10000． 19. 如图，将扇形沿射线平移得到扇形，线段交于点F．当时，平移停止．若， ，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于H， 由平移性质知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在等腰中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，根据题意作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 【答案】 【解析】 【分析】将式子中特殊角的三角函数值换掉，然后去绝对值，计算负指数幂，最后进行加减运算即可． 详解】解： ． 【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的运算及绝对值、负指数幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 21. 在中，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为24，计算与的面积之和． 【答案】8 【解析】 【详解】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的面积求法等知识点，掌握等高三角形面积的关系成为解题的关键． 先证明得到与的面积之和等于与的面积和，根据与等高且底边比为得出与面积比为，进而求得的面积即可． 【分析】解：∵，，， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∴与的面积之和与的面积之和， ∵的面积为24，， ∴的面积， ∴与的面积之和的面积． 22. 某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）． 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 A 0≤t＜0.5 20 0.05 B 0.5≤t＜1 a 0.3 C 1≤t＜1.5 140 0.35 D 1.5≤t＜2 80 0.2 E 2≤t＜2.5 40 0.1 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）表中的a=　 　，将频数分布直方图补全； （2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？ （3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)120,见解析；（2）2800名；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出被调查的学生总人数，故可求出a的值，再补全统计图； （2）用总人数乘以每天户外体育活动的时间不足1小时的学生占比即可求解； （3）根据题意作出树状图，再利用概率公式进行求解. 【详解】（1）∵被调查的学生总人数为20÷0.05=400， ∴a=400×0.3=120， 补全图形如下： （2）每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有： 8000×（0.05+0.3）=2800（名）； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种． ∴P=． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是求出调查的总人数及树状图的画法. 23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．疫情散去，春暖花开，某中学组织七年级的10名教师和410名学生赴安阳市参观殷墟博物馆和中国文字博物馆．下面是李老师和刘老师有关租车问题的对话： 李老师：“某客运公司有，两种型号的客车对外出租，每辆型客车比每辆型客车多坐15名师生，若全部租用型客车恰好坐满，若租用相同数量的型客车将有105名师生无座可坐”． 刘老师：“型客车每辆每天的租金比型客车高150元．八年级师生上周在这个客运公司租了4辆型客车和2辆型客车到这两个地方，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）每辆型客车和型客车可坐师生的人数分别是多少？ （2）该客运公司型客车和型客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，请写出最省钱的租车方案及租车费用． 【答案】（1）每辆型客车可坐师生60人，每辆型客车可坐师生45人； （2）该客运公司型客车每辆每天的租金为900元，型客车每辆每天的租金为750元； （3）最省钱的租车方案为：租用4辆型客车，4辆型客车，此时租车费用为6600元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每辆型客车可坐师生人，则每辆型客车可坐师生人，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设该客运公司型客车每辆每天租金为元，型客车每辆每天的租金为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设租用辆型客车，辆型客车，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【小问1详解】 设每辆型客车可坐师生人，则每辆型客车可坐师生人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每辆型客车可坐师生60人，每辆型客车可坐师生45人； 【小问2详解】 设该客运公司型客车每辆每天的租金为元，型客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：． 答：该客运公司型客车每辆每天的租金为900元，型客车每辆每天的租金为750元； 【小问3详解】 设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该校有2种租车方案， 方案1：租用4辆型客车，4辆型客车， 所需租车费用为（元）； 方案2：租用1辆型客车，8辆型客车， 所需租车费用为（元）． ， 最省钱的租车方案为：租用4辆型客车，4辆型客车，此时租车费用为6600元． 24. 如图，在平行四边形中，是的角平分线，分别是边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再根据AD=AE，即可证明； （2）过D作DG⊥AE垂足为G，通过解三角形求得DG，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DF//AE ∴∠2=∠DEA ∵ ∴四边形AEFD是平行四边形 ∵是的角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠DEA ∴AD=AE ∴四边形DAEF菱形； （2）解：过D作DG⊥AE垂足为G ∵∠A=60°，AD=6 ∴DG=AD·sin∠A=6×sin60°= ∴菱形 ∴AE=AD=6 ∴菱形的面积：AE·DG=6×=． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、解三角形以及菱形的面积，掌握菱形的判定和性质是解答本题的关键． 25. 开学前夕，某文具店用620元购进A种笔记本50本和B种笔记本30本，已知A种笔记本的进货单价比B种笔记本的进货单价多6元． （1）求A，B两种笔记本的进货单价分别是多少元？ （2）由于笔记本畅销，文具店决定再购进这两种笔记本共300本，其中A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的2倍，且每种笔记本的进货单价保持不变；若A种笔记本的销售单价为14元，B种笔记本的销售单价为6元，问文具店应如何购买，才能使笔记本全部售完后，第二次销售获得的利润最大？是多少？ 【答案】（1）A种笔记本的进货单价为10元，B种笔记本的进货单价为4元 （2）第二次购进A种笔记本200本，购进B种笔记本100本时，利润最大，最大利润是1000元 【解析】 【分析】（1）根据某文具店用620元购进A种笔记本50本和B种笔记本30本，A种笔记本的进货单价比B种笔记本的进货单价多6元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出利润与购进A种笔记本数量的函数关系式，然后根据A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的2倍，可以得到购进A种笔记本数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【小问1详解】 解：A种笔记本的进货单价为a元，B种笔记本的进货单价为b元， 由题意可得：，解得， 答：A种笔记本的进货单价为10元，B种笔记本的进货单价为4元； 【小问2详解】 解：设第二次购进A种笔记本x本，则购进B种笔记本（300﹣x）本，利润为w元，由题意可得：w＝（14﹣10）x+（6﹣4）（300﹣x）＝2x+600， ∴w随x的增大而增大， ∵A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的2倍， ∴x≤2（300﹣x），解得x≤200， ∴当x＝200时，w取得最大值，此时w＝1000，300﹣x＝100， 答：第二次购进A种笔记本200本，购进B种笔记本100本时，利润最大，最大利润是1000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． 26. 已知二次函数的图象过点，点和点． （1）若点，求二次函数表达式． （2）当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． （3）若且，求证：． 【答案】（1） （2）2或 （3）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、对称轴、最值和顶点式， 根据题意设二次函数解析式为，将代入解得a即可； 根据题意可知二次函数的对称轴为，分情况：若，则，，即可解得a；若，则，，即可解得a； 根据题意设二次函数解析式为，将化简为，结合即可判断． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点，点， 设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象过点，点， ∴二次函数的对称轴为， ①若， 当时，，， ∵， ∴，解得； ②若， 当时，，， ∵， ∴，解得； 综上所述，为2或； 【小问3详解】 解：根据题意设二次函数解析式为，则 ∵， ∴． 27. 如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ． 求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值． 【答案】3 【解析】 【分析】将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，易证△ABO是等边三角形，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，易证△APQ是等边三角形，易证△APO≌△AQB，得到QB=PO=1，点Q满足了到定点的距离等于定长，从而确定点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质可以确定OQ的最小值． 【详解】∵点A（－4，0）， ∴OA=4， 如图，将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB， ∵AB=AO，∠OAB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=4， 将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ， ∵AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠OAP+∠PAB=∠QAB+∠PAB=60°， ∴∠OAP=∠QAB， ∴△APO≌△AQB， ∴QB=PO=1， ∴点Q满足了到定点的距离等于定长， ∴点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆， 根据圆的基本性质，得当B，Q，O三点一线时，OQ取得最小值， 此时OQ=OB-BC=4-1=3． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆的定义和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用圆的定义和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$