专题8 几何初步、平行线、三角形-备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题8 几何初步、平行线、三角形 【热点1几何初步】 1．（2025•金华模拟）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为 　105　 °． 【思路点拨】根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案． 【解析】解：如图： ∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处， ∴∠DAB＝40°，∠CBE＝65°， ∵AD∥BE， ∴∠ABE＝∠DAB＝40°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+65°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 2．（2025•湖州一模）把角度转化成度的形式：70°30′＝　70.5　 °． 【思路点拨】根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解析】解：∵30′＝0.5°，∴70°30′＝70.5°． 故答案为：70.5． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 3．（2025•浙江一模）一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【思路点拨】利用题中“一个角的余角是这个角的2倍”作为相等关系列方程求解即可． 【解析】解：设这个角是x， 则90°﹣x＝2x， 解得x＝30°． 故选：A． 【点睛】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 【热点2平行线的性质与判定】 1．（2025•浙江模拟）如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（　　） A．10° B．12° C．14° D．16° 【思路点拨】由同位角相等，两直线平行，即可解决问题． 【解析】解：当∠BOD＝∠A＝68°时，DE∥AC， ∴木条DE绕点O至少逆时针旋转80°﹣68°＝12°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 2．（2025•仙居县二模）如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝67°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为（　　） A．20° B．22° C．32° D．45° 【思路点拨】由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【解析】解：∵MN∥EF， ∴∠1+∠CBN＝180°， ∵∠1＝67°， ∴∠CBN＝113°， ∵∠DBC+∠CBN+∠2＝180°，∠2＝45°， ∴∠DBC＝22°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出∠CBN的度数． 3．（2025•椒江区二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝37°，则∠2的度数为（　　） A．111° B．127° C．137° D．143° 【思路点拨】利用平行线的性质即可解答． 【解析】解：∵a∥b，∠1＝37°， ∴∠2＝90°+∠1＝127°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2025•金华模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若∠AGE＝40°，则∠ABC的度数为（　　） A．50° B．65° C．70° D．75° 【思路点拨】根据题意，得到∠FBG的度数，结合折叠的性质，得到∠FBC的度数，从而得到结果． 【解析】解：如图，延长AB至M， ∵EC∥FB，∠AGE＝40°， ∴∠FBG＝∠AGE＝40°， ∵将一条两边沿互相平行的纸带折叠， ∴∠FBC＝∠MBC， ∴∠FBC+∠MBC＝180°+40°＝220°， ∴∠FBC＝110°， ∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBG＝70°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2025•浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【思路点拨】根据直尺两边平行，求出∠3的度数，再根据平角的性质，求解即可． 【解析】解：∵直尺对边平行， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝25°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是关键． 6．（2025•嘉兴模拟）在同一平面内，将直尺、直角三角尺（∠CAB＝30°）和木工角尺（DE⊥DF）按如图方式摆放，若AC∥DE，则∠1的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【思路点拨】先根据AC∥DE求出∠BDE的度数，再结合DE⊥DF即可解决问题． 【解析】解：∵AC∥DE，∠CAB＝30°， ∴∠BDE＝∠CAB＝30°． 又∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠1＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 7．（2025•西湖区一模）如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【思路点拨】根据对顶角相等，角的和差关系计算∠DOQ的度数，再应用平行线的性质得到∠OQB的度数即可． 【解析】解：∵∠POA＝∠DOP′， ∠POA＝50°， ∴∠DOP′＝50°， ∵∠DOQ＝∠DOP'+∠P'OQ， ∠P′OQ＝25°， ∴∠DOQ＝50°+25°＝75°， ∵AD∥BC， ∴∠OQB＝∠DOQ＝75°， ∴∠OQB的度数为75°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握相关性质是解题的关键． 8．（2025•衢江区一模）如图，已知两平行线a、b被直线c所截，∠1＝37°，则∠2的度数为（　　） A．153° B．143° C．63° D．53° 【思路点拨】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝37°，由邻补角的性质即可求出∠2的度数， 【解析】解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝37°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝143°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1． 9．（2025•定海区一模）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（　　） A．28° B．38° C．48° D．88° 【思路点拨】根据平行线的性质得到∠1＝∠B＝68°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解析】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠1＝∠B＝68°， ∵∠E＝20°， ∴∠D＝∠1﹣∠E＝48°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【热点3三角形】 1．（2025•拱墅区一模）若△ABC是锐角三角形，且∠A＝60°，则∠B可能的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【思路点拨】设∠B＝x°（x＞0），利用三角形内角和定理，可得出∠C＝180°﹣60°﹣x°，结合△ABC是锐角三角形，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，进而可得出∠B度数的范围，再对照四个选项，即可得出结论． 【解析】解：设∠B＝x°（x＞0），则∠C＝180°﹣60°﹣x°， 根据题意得：， 解得：30＜x＜90， ∴30°＜∠B＜90°． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、一元一次不等式组的应用以及三角形，根据各角度数之间的关系，正确列出关于x的一元一次不等式组是解题的关键． 2．（2025•仙居县二模）如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个不同的外角，则∠1+∠2+∠3＝　360°　 ． 【思路点拨】利用三角形的外角性质，可得出∠1＝∠ABC+∠ACB，∠2＝∠ABC+∠BAC，∠3＝∠BAC+∠ACB，将其相加，可得出∠1+∠2+∠3＝2（∠ABC+∠ACB+∠BAC），再结合三角形内角和是180°，即可求出结论． 【解析】解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角， ∴∠1＝∠ABC+∠ACB，∠2＝∠ABC+∠BAC，∠3＝∠BAC+∠ACB， ∴∠1+∠2+∠3＝∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC+∠BAC+∠ACB＝2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝2×180°＝360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 3．（2025•绍兴一模）如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠ABC＝∠CDE＝90°，C在线段BD上，F是AE的中点，连结BF，DF，若AB＝1，DE＝2，则BF的长是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】过点F作FH⊥BD于点H，根据全等三角形的性质得BC＝DE＝2，AB＝CD＝1，则BD＝3，证明FH是直角梯形ABDE的中位线得FH＝（AB+DE）＝，BH＝DH＝BD＝，然后在Rt△BHF中，由勾股定理即可求出BF的长． 【解析】解：过点F作FH⊥BD于点H，如图所示： ∵Rt△ABC≌Rt△CDE，AB＝1，DE＝2， ∴BC＝DE＝2，AB＝CD＝1， ∴BD＝BC+CD＝3， ∵∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴AB⊥BD，DE⊥BD， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是直角梯形， ∵FH⊥BD， ∴FH∥AB∥DE， 又∵F是AE的中点， ∴FH是直角梯形ABDE的中位线， ∴FH＝（AB+DE）＝，BH＝DH＝BD＝， 在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF＝＝＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质，梯形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 4．（2025•路桥区二模）如图，等边三角形ABC的边长为2，点D在边BC上，延长CA至点E，使AE＝BD，连接DE交AB于点F，记BD＝x，DF＝y，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　） A．xy B． C．3x2﹣4y2 D． 【思路点拨】过点D作DH∥AC交AB于点H，过点F作FP⊥AC于点P，证明△BDH是等边三角形得BD＝BH＝DH＝x，则AH＝2﹣x，DH＝BD＝AE＝x，由此可判定△DHF和△EAF全等，则DF＝EF＝y，HF＝AF＝，在Rt△AFP中，根据∠AFP＝30°得AP＝，PE＝，PF＝，然后在Rt△EFP中，由勾股定理得，整理得3x2﹣4y2＝﹣4，据此即可得出答案． 【解析】解：过点D作DH∥AC交AB于点H，过点F作FP⊥AC于点P，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，且边长为2， ∴AB＝BC＝CA＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝60°， ∵DH∥AC， ∴∠BDH＝∠C＝60°，∠FDH＝∠E， ∴∠B＝∠BDH＝60°， ∴△BDH是等边三角形， ∴BD＝BH＝DH＝x， ∴AH＝AB﹣BH＝2﹣x， ∵AE＝BD＝x， ∴DH＝AE＝x， 在△DHF和△EAF中， ， ∴△DHF≌△EAF（AAS）， ∴DF＝EF＝y，HF＝AF＝AH＝， ∵∠BAD＝60°，FP⊥AC， ∴在Rt△AFP中，∠AFP＝90°﹣∠BAD＝30°， ∴AP＝AF＝＝， ∴PE＝AE+AP＝＝ 由勾股定理得：PF＝＝＝， 在Rt△EFP中，由勾股定理得：EF2＝PF2+PE2， ∴， 整理得：， ∴4y2＝4+3x2， ∴3x2﹣4y2＝﹣4， ∴代数式 3x2﹣4y2的值保持不变，始终为﹣4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算时解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和含30度角的直角三角形的性质是解决问题的难点． 5．（2025•拱墅区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F．若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝ 　　 ． 【思路点拨】作DH⊥AB于点H，则∠BHD＝∠C＝90°，而∠HBD＝∠CBD，BD＝BD，可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，由∠BEF＝90°，BE＝4，BF＝5，求得DE＝EF＝3，则BD＝7，由cos∠ABD＝＝＝，求得BH＝BD＝，则BC＝BH＝，于是得到问题的答案． 【解析】解：作DH⊥AB于点H，则∠BHD＝∠C＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠HBD＝∠CBD， ∵BD＝BD， ∴△HBD≌△CBD（AAS）， ∵EF⊥BD于点E， ∴∠BEF＝90°， ∵BE＝4，BF＝5， ∴DE＝EF＝＝＝3， ∴BD＝BE+DE＝4+3＝7， ∵cos∠ABD＝＝＝， ∴BH＝BD＝×7＝， ∴BC＝BH＝， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 6．（2025•东阳市二模）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点G． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若∠B＝40°，∠F＝80°，求∠EGC的度数． 【思路点拨】（1）由BE＝CF，可得BC＝EF，根据平行线的性质求出∠B＝∠DEF，证明△ABC≌△DEF（SAS）即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠ACB＝∠F＝80°，由三角形内角和定理可得∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，根据平行线的性质可求∠EGC的度数． 【解析】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：由（1）知，△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝80°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∵AB∥DE， ∴∠EGC＝∠A＝60°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（2025•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线． （1）若∠A＝40°，求∠CBD的度数． （2）求证：AD﹣CD＝2DE． 【思路点拨】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，而∠A＝40°，所以2∠C+40°＝180°，求得∠C＝70°，因为BD是边AC上的高，所以∠BDC＝90°，则∠CBD＝20°； （2）在AD上取一点F，使FD＝CD，连接FB，分别取AB、FB的中点H、L，连接EH、DL、HL，因为BE是边AC上的中线，所以点E是AC的中点，则EH∥DL∥BC，且EH＝DL＝BC，所以四边形DEHL是平行四边形，则HL＝DE，所以AF＝2HL＝2DE，即可证明AD﹣CD＝2DE． 【解析】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，且∠A＝40°， ∴2∠C+40°＝180°， ∴∠C＝70°， ∵BD是边AC上的高， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠C＝20°， ∴∠CBD的度数是20°． （2）证明：在AD上取一点F，使FD＝CD，连接FB，分别取AB、FB的中点H、L，连接EH、DL、HL， ∵BE是边AC上的中线， ∴点E是AC的中点， ∴EH∥BC，且EH＝BC，DL∥BC，且DL＝BC， ∴EH∥DL，且EH＝DL， ∴四边形DEHL是平行四边形， ∴HL＝DE， ∴AF＝2HL＝2DE， ∵AF＝AD﹣FD＝AD﹣CD， ∴AD﹣CD＝2DE． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的中线和高、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 8．（2025•宁波一模）在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，线段AE，BD相交于点F． （1）若△ABC是正三角形，AD＝CE，求sin∠BFE的值． （2）设四边形CEFD的面积为S1，△AFD，△ABF，△BEF的面积分别为S2，S3，S4，求证：S1•S3＞S2•S4． 【思路点拨】（1）证明△ADB≌△CEA（SAS）得到∠1＝∠2，那么∠BFE＝60°，即可求解sin∠BFE； （2）连接DE，设S△DEF＝x，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则x•S3＝S2•S4，而S1＞x，即可证明． 【解析】解：（1）如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，线段AE，BD相交于点F， ∵AB＝AC，∠BAC＝∠1+∠3＝∠ACB＝60°， ∵AD＝CE， ∴△ADB≌△CEA（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∴∠2+∠3＝∠BFE＝60°， ∴； （2）证明：连接DE，设S△DEF＝x， 根据题意可得： ， ∴， ∴x•S3＝S2•S4， ∵S1＞x， ∴S1•S3＞S2•S4． 【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（2025•义乌市二模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，，对角线AC平分∠BAD，∠DCA：∠BCA＝2：3，则CD的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据角平分线的意义和平行线的性质可证明△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AC＝2，由∠DCA：∠BCA＝2：3得∠ACD＝30°，过点D作DE⊥AC，可证明△ADE是等腰直角三角形，设DE＝AE＝x，则CE＝2﹣x，由可求出x的值，再根据可求出CD的长． 【解析】解：∵AD∥BC，∠B＝90°，AB＝， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝90°， ∵AC平分∠BAD， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴， ∴， ∵∠DCA：∠BCA＝2：3， ∴； 如图，过点D作DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°， ∴AE＝DE， 设DE＝AE＝x，则CE＝2﹣x， ∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 10．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到CD＝AC，根据等腰三角形的性质得到∠CDA＝∠DAC，根据三角形的外角性质求出∠B＝∠DAB，得到DB＝DA＝4，计算即可． 【解析】解：∵AE＝DE＝2，CE⊥AD， ∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线， ∴CD＝AC＝6， ∴∠CDA＝∠DAC， ∵2∠B＝∠DAC， ∴2∠B＝∠CDA， ∵∠CDA＝∠B+∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DB＝DA＝4， ∴BC＝DB+DC＝4+6＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 11．（2025•衢州一模）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中AB＝AC＝8，AE＝BE，且∠B＝30°，∠EFB＝∠ADB＝90°，则DF的长为（　　） A． B． C． D．1 【思路点拨】先在Rt△ABD中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝AE＝BE＝4，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得AD＝4，BD＝4，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【解析】解：∵∠ADB＝90°，AE＝BE， ∴DE＝AE＝BE＝AB＝4， ∵∠B＝30°， ∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4， ∵∠EFB＝90°， ∴BF＝DF＝BD＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．（2025•庆元县一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠ADC＝2∠B，AC＝3，AD＝2，则BC的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【思路点拨】根据∠DAC＝∠ADC得DC＝AC＝3，再根据三角形外角性质及已知条件证明∠B＝∠DAB，则BD＝AD＝2，由此可得出BC的长． 【解析】解：∵∠DAC＝∠ADC，AC＝3， ∴DC＝AC＝3， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB， 又∵∠ADC＝2∠B， ∴2∠B＝∠B+∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴BD＝AD＝2， ∴BC＝BD+CD＝2+3＝5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 13．（2025•杭州二模）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 【思路点拨】根据直角三角形的性质逐项判定可求解． 【解析】解：A．∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°， ∵∠BAP＝∠B， ∴∠CAP＝∠C， ∴AP＝PC， 只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误； B．∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝90°， ∵∠BAP＝∠C， ∴∠C+∠CAP＝90°， ∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°， 即AP⊥BC，故正确； C．∵AP⊥BC，PB＝PC， ∴AP垂直平分BC， 而∠BAC不一定等于90°，故错误； D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 14．（2025•金华模拟）如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　） A． B．4cm C． D．5cm 【思路点拨】如图，连接BC，过C作CT⊥AB于T，求解，BC＝，AT＝AC•cos60°＝4，，AD＝4+DT，，由BD最大，可得AD最小，可得DT最小，可得CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小，再进一步求解即可． 【解析】解：如图，连接CD，过C作CT⊥AB于T， ∵三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°， ∴AB＝＝16，， ∴AT＝AC•cos60°＝4，， ∴AD＝4+DT，DT＝， ∵BD最大， ∴AD最小， ∴DT最小， ∴CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小， 此时四边形MPDC为矩形， ∴CD＝MP＝10， ∴DT＝， ∴AD＝， ∴BD＝， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．（2025•浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　16　 ． 【思路点拨】根据勾股定理求出AB的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积与以BC为直径的半圆的面积以及以AB为直径的半圆的面积与△ABC的面积，即可求解． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB＝＝4， 以AC为直径的半圆的面积＝＝＝8π， 以BC为直径的半圆的面积＝＝＝2π， 以AB为直径的半圆的面积＝， S＝16， ∴S阴影＝8π+2π+16﹣10π＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了勾股定理，半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 16．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在BC上，连结AD交CE于点F，BC＝13，CE＝12． （1）求BE的长； （2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的长． 【思路点拨】（1）根据勾股定理可得答案； （2）根据题意可得 AE＝EF，再设AE＝x，可表示CF＝12﹣x，AB＝5+x，然后根据AB＝CF得出方程，求出解即可． 【解析】解：（1）由题意可知：CE⊥AB，BC＝13，CE＝12， 在Rt△EBC中，由勾股定理得：； （2）在Rt△AFE中，∠AFE＝45°， ∴AE＝EF． 设AE＝x，则CF＝12﹣x，AB＝5+x， ∵AB＝CF， ∴5+x＝12﹣x， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解一元一次方程，等腰直角三角形，熟练运用勾股定理解决问题是解答本题的关键． 17．（2025•萧山区一模）如图，点C是线段AB上一点（AC＞BC），分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE，BD．记S△ACD＝S1，S△BCE＝S2，S△ADE＝S3，S△BDE＝S4，若S1﹣S2＝20，则S3+S4＝（　　） A．10 B．15 C．20 D．40 【思路点拨】依题意设AC＝CD＝a，BC＝CE＝b，则DE＝CD﹣CE＝a﹣b，进而得S1＝a2，S2＝b2，S3＝（a2﹣ab），S4＝（ab﹣b2），根据S1﹣S2＝20得（a2﹣b2）＝20，则S3+S4＝（a2﹣b2）＝20，据此即可得出答案． 【解析】解：依题意得：△ACD和△BCE都是直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴设AC＝CD＝a，BC＝CE＝b， ∴DE＝CD﹣CE＝a﹣b， ∴S1＝a2，S2＝b2，S3＝a（a﹣b）＝（a2﹣ab），S4＝b（a﹣b）＝（ab﹣b2）， ∵S1﹣S2＝20， ∴a2﹣b2＝20， ∴（a2﹣b2）＝20， ∴S3+S4＝（a2﹣ab+ab﹣b2）＝（a2﹣b2）＝20． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，准确试题，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 18．（2025•洞头区模拟）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为　3　 ． 【思路点拨】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长 【解析】解：∵∠AFB＝90°，D为AB的中点， ∴DF＝AB＝5， ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝8， ∴EF＝DE﹣DF＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理；熟记直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理是解决问题的关键． 19．（2025•台州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD． （1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE＝OD； （2）如图2，已知∠BAC＝90°，AB＝4，AD＝1．若点F在边AC上，OF＝OD，求AF的长． 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得∠C＝∠B，再证明△OCE≌△OBD（AAS），即可得出结论； （2）连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，由等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，OA平分∠BAC，OA＝BC＝OB＝OC，则OG＝OH，AH＝CH＝AC＝2，AG＝BG＝AB＝2，得AH＝AG，DG＝AG﹣AD＝1，再分两种情况，①点F在线段AH上时，证明Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），得FH＝DG＝1，则AF＝AH﹣FH＝1；②点F在线段CH上时，同理可证Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），得FH＝DG＝1，则AF＝AH+FH＝3；即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， ∵点O为BC中点， ∴OB＝OC， 在△OCE和△OBD中， ， ∴△OCE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝OD； （2）解：如图2，连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H， 则∠OGB＝∠OGA＝∠OHC＝∠OHA＝90°， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点O为BC中点， ∴∠B＝∠C＝45°，OA平分∠BAC，OA＝BC＝OB＝OC， ∴OG＝OH，AH＝CH＝AC＝2，AG＝BG＝AB＝2， ∴AH＝AG， ∵AD＝1， ∴DG＝AG﹣AD＝1， 分两种情况： ①点F在线段AH上时， 在Rt△OHF和Rt△OGD中， ， ∴Rt△OHF≌Rt△OGD（HL）， ∴FH＝DG＝1， ∴AF＝AH﹣FH＝1； ②点F在线段CH上时， 同理可证：Rt△OHF≌Rt△OGD（HL）， ∴FH＝DG＝1， ∴AF＝AH+FH＝2+1＝3； 综上所述，AF的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 几何初步、平行线、三角形 【热点1几何初步】 1．（2025•金华模拟）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为 　 　 °． 2．（2025•湖州一模）把角度转化成度的形式：70°30′＝　 　 °． 3．（2025•浙江一模）一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【热点2平行线的性质与判定】 1．（2025•浙江模拟）如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（　　） A．10° B．12° C．14° D．16° 2．（2025•仙居县二模）如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝67°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为（　　） A．20° B．22° C．32° D．45° 3．（2025•椒江区二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝37°，则∠2的度数为（　　） A．111° B．127° C．137° D．143° 4．（2025•金华模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若∠AGE＝40°，则∠ABC的度数为（　　） A．50° B．65° C．70° D．75° 5．（2025•浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．（2025•嘉兴模拟）在同一平面内，将直尺、直角三角尺（∠CAB＝30°）和木工角尺（DE⊥DF）按如图方式摆放，若AC∥DE，则∠1的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．（2025•西湖区一模）如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 8．（2025•衢江区一模）如图，已知两平行线a、b被直线c所截，∠1＝37°，则∠2的度数为（　　） A．153° B．143° C．63° D．53° 9．（2025•定海区一模）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（　　） A．28° B．38° C．48° D．88° 【热点3三角形】 1．（2025•拱墅区一模）若△ABC是锐角三角形，且∠A＝60°，则∠B可能的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．（2025•仙居县二模）如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个不同的外角，则∠1+∠2+∠3＝　 　 ． 3．（2025•绍兴一模）如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠ABC＝∠CDE＝90°，C在线段BD上，F是AE的中点，连结BF，DF，若AB＝1，DE＝2，则BF的长是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•路桥区二模）如图，等边三角形ABC的边长为2，点D在边BC上，延长CA至点E，使AE＝BD，连接DE交AB于点F，记BD＝x，DF＝y，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　） A．xy B． C．3x2﹣4y2 D． 5．（2025•拱墅区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F．若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝ 　 　 ． 6．（2025•东阳市二模）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点G． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若∠B＝40°，∠F＝80°，求∠EGC的度数． 7．（2025•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线． （1）若∠A＝40°，求∠CBD的度数． （2）求证：AD﹣CD＝2DE． 8．（2025•宁波一模）在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，线段AE，BD相交于点F． （1）若△ABC是正三角形，AD＝CE，求sin∠BFE的值． （2）设四边形CEFD的面积为S1，△AFD，△ABF，△BEF的面积分别为S2，S3，S4，求证：S1•S3＞S2•S4． 9．（2025•义乌市二模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，，对角线AC平分∠BAD，∠DCA：∠BCA＝2：3，则CD的值为（　　） A． B． C． D． 10．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 11．（2025•衢州一模）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中AB＝AC＝8，AE＝BE，且∠B＝30°，∠EFB＝∠ADB＝90°，则DF的长为（　　） A． B． C． D．1 12．（2025•庆元县一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠ADC＝2∠B，AC＝3，AD＝2，则BC的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 13．（2025•杭州二模）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 14．（2025•金华模拟）如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　） A． B．4cm C． D．5cm 15．（2025•浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　 　 ． 16．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在BC上，连结AD交CE于点F，BC＝13，CE＝12． （1）求BE的长； （2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的长． 17．（2025•萧山区一模）如图，点C是线段AB上一点（AC＞BC），分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE，BD．记S△ACD＝S1，S△BCE＝S2，S△ADE＝S3，S△BDE＝S4，若S1﹣S2＝20，则S3+S4＝（　　） A．10 B．15 C．20 D．40 18．（2025•洞头区模拟）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为　 　 ． 19．（2025•台州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD． （1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE＝OD； （2）如图2，已知∠BAC＝90°，AB＝4，AD＝1．若点F在边AC上，OF＝OD，求AF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$