专题05 双曲线（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二双曲线易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校双曲线易错题精选 专题二：名校双曲线培优题精选 专题三：双曲线全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校双曲线易错题精选 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法结合直线平行求解即可. 【详解】如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C， 设，，由图形的对称性知． 由A，B两点在双曲线上知，， 作差得到， 其中，故直线的斜率， 此时直线的方程为， 与双曲线的方程联立得， 化简得，即或， 那么或． 又直线AB的斜率为， 所以或， 解得， 故选:D． 2．已知为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，为它们在第一象限的一个公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，利用椭圆、双曲线定义，结合余弦定理求出的关系，再借助三角代换求出最大值. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆及双曲线的半焦距为， 则，解得，，而，， 在中由余弦定理得，， 化简得，于是，令， 则，其中锐角由确定， 当时，取最大值. 故选：C 3．已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 4．已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出的长，进而得到四边形的面积表达式，根据面积为定值求出双曲线的离心率. 【详解】根据题意画出大致图像为： 双曲线的渐近线方程为：，即. 设，根据点到直线的距离公式可得： . 因为直线垂直于渐近线， 所以直线的斜率分别为. 所以直线的方程为. 联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：， 进而， 联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：， 进而， 所以四边形的面积为： ， 因为点在双曲线上，所以，化简得， 所以四边形的面积为：. 又因为四边形的面积为定值，则， 所以，此时离心率为. 故选：A. 5．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 6．点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小． 所以的最小值为6， 故选：A 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则题意得P为的重心，则Q为的中点，可得，结合双曲线的定义和已知条件可求出，，，在中利用余弦定理列方程化简，可求出双曲线的离心率. 【详解】如图所示，设，，因为O为的中点，， 所以P为的重心，所以Q为的中点， 又，所以， 由双曲线的定义可知，，所以， 因为，所以，. 在中，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，所以，解得（舍去）， 故C的离心率为， 故选：A. 8．已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝（） A．－4 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及内切圆的性质可求出，假设直线的倾斜角为，则，进而在中可求出，进而可求，同理可求出，结合离心率进而求解 【详解】如图所示，设的内切圆和三边分别相切于点， 则， 又，所以，所以． 所以， 设直线的倾斜角为，则由内切圆的性质可得， 在中， 所以； 因为双曲线的离心率，所以 同理可得，所以； 所以， 故选：A． 9.（多选题）平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼卵形线，已知曲线E为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线E的几何性质有下四个结论，其中正确的是（    ） A．曲线E关于原点对称 B．的面积的最大值为2 C．其中x的取值范围为 D．其中y的取值范围为 【答案】ABC 【分析】对A，根据题意求出曲线的方程并化简，将代入上式，验证方程不变得解；对B，将的最大值代入到面积公式可判断；对C，由求解判断；对D，令，得，求解判断. 【详解】对于A，依题意得，化简得， 将代入上式，方程不变，所以曲线关于原点对称，故A正确； 对于C，由，得， 由，得，则，即， 解得，故C正确； 对于D，令，则， 所以，当时，的最大值为， 所以，故，故D错误； 对于B，由以上可知的最大值为，又的面积为， 所以的面积的最大值为，故B正确. 故选：ABC. 10．（多选题）已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（    ） A．的焦距为4 B．过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C．若为上支上的一点.，则的最小值为 D．若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 【答案】ABD 【分析】对于A，根据渐近线求出焦距后可判断其正误，对于B，根据渐近线的斜率可求直线的倾斜角后可判断其正误，对于C，根据双曲线的定义转化线段和后可求其最小值，从而判断其正误，对于D，根据余弦定理结合计算的值后可判断其正误. 【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线的方程为，所以焦距，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为， 若过原点的直线与双曲线相交，则必与左支、右支各有一个交点， 则直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围为，B正确； 对于C，， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时取等号，C错误； 对于D，由对称性不妨设为上支上的任意一点， 当点为双曲线的上顶点时，； 当点不在双曲线的上顶点时，因为， 则，由余弦定理得， 又，所以， 因为，则， 即. 综上，恒为定值，D正确， 故选：ABD. 11．（多选题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（   ） A．点到Γ的渐近线的距离为2 B．直线，的斜率之积为2 C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条 D．若直线l过点A，且，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，得到，由渐近线方程为，利用点到直线的距离公式，可判定A错误；设，得到，利用双曲线的方程，可得判定B正确；由直线垂直轴时，得到，再由，结合双曲线的性质，可得判定C正确；设直线的方程为，联立方程组，利用，求得，结合弦长公式，可得判定D正确. 【详解】由，可得，焦点坐标为， 因为直线过点且与轴垂直，则直线的方程为， 将代入双曲线的方程，可得，即， 所以重心的坐标为，即， 又由以为直径的圆的方程为，代入可得， 解得，即，所以，此时 对于A中，由，可得其渐近线方程为， 则焦点到的距离为，所以A错误； 对于B中，设且，则，所以B正确； 对于C中，由，设直线与双曲线交于零点， 当直线垂直轴时，此时直线的方程为，则，此时， 此时，当交点在同一支上时，不存在直线，使得； 又由，可得，此时， 当交点在两支上时，存在2条直线，使得， 综上可得，使得的直线共有2条，所以C正确； 对于D中，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 其中，， 且， 因为，可得， 则 代入可得，整理得，即， 当时，此时，且， 由弦长公式，可得， 根据双曲线的对称性得：当时，可得，所以D正确. 故选：BCD.    12．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（    ） A．若点关于原点对称的点为点，且，则 B．的右顶点到渐近线的距离为 C．内切圆的圆心在直线上 D．不存在点，使得点关于点对称的点在上 【答案】ACD 【分析】判断四边形为平行四边形，结合对角线相等可得四边形为矩形，可判断A；根据点到直线距离公式可判断B；利用双曲线定义求出内切圆的圆心横坐标可判断C；假设点关于点对称的点在上，导出矛盾可判断D. 【详解】由双曲线可得，，， 对于A，因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，由题意知的渐近线方程为， 则右顶点到直线的距离为，故B错误； 对于C，如图所示， 设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，， ，由，可得， 即，所以，又， 所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上，故C正确； 对于D，假设点关于点对称的点在上， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，则， 由，两式相减得， 即，则， 所以直线的方程为，即， 此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾， 即不存在点，使得点关于点对称的点在上，故D正确． 故选：ACD． 13．（多选题）已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题给条件可得，再根据相似三角形的比例关系即可判断A选项；由A知，，，，离心率，即可判断B、C两项；由题知点横坐标为，纵坐标与相同，所以可得，又点在渐近线上，得，则可得，再代入即可判断D. 【详解】   由题知，且，所以. 又因为为直径，在圆上，所以. 结合图像易知与相似，则有，即， 则，故A正确； 由A知，，， ，故B错误； ，故C正确； 由A知，，则，且点在渐近线上， 不妨设渐近线方程为，则，则，即. 则，故D正确. 故选：ACD. 14．直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出过右焦点与两支相交及与右支相交的最短弦长，再结合已知建立不等式求解即得. 【详解】过右焦点的直线与双曲线两支相交所得的最短弦即为双曲线的实轴，长为； 过右焦点的直线与双曲线右支相交所得的最短弦即为双曲线的通径，长为， 依题意，，而，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 15．已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义，结合等腰三角形和相似比性质来求解各线段长度，最后根据勾股定理找到等式关系，从而可求离心率. 【详解】 如图，由于，可作轴，垂足为，可知为中点， 由，可知， 由，可知， 令，则，即， 根据双曲线定义：， 即，， 再由勾股定理可得：， 即， 即， 故答案为：. 16．已知直线交双曲线于A，B两点，O是坐标原点，且直线OA，OB的斜率，满足，则该直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先将直线方程代入双曲线方程，通过变形得到关于的二次方程，再根据韦达定理求出两根之积，结合已知条件建立关于斜率的方程，求解出的值，最后得出直线方程. 【详解】设，，联立方程组 得，整理得， 所以，解得，所以所求直线方程为． 故答案为：． 17．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．若，且的面积为的面积为，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由得，设，则，利用双曲线的定义及可用a表示出m从而求得，根据余弦定理化简求解双曲线的离心率. 【详解】因为与有相同的高（点到直线的距离），且， 所以，即. 设，则， 根据双曲线的定义，点B在双曲线右支上，则， 点A在双曲线左支上，则， 所以． 又因为，所以， 解得，所以，进而可得． 因为在中，所以， 在中，所以， 则. 故答案为： 18．已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式（对于双曲线）来计算离心率. （2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率. 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 19．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由. 【答案】不存在，理由见解析 【分析】设存在被点平分的弦，且，则根据点差法及中点坐标公式可求得，故直线的方程为，联立直线方程与双曲线方程，消去，得，根据，即可求解. 【详解】设存在被点平分的弦，且，则， 两式相减，得. 又点为弦的中点，∴，，. ∴直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 此时，所以直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线. 20．已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）. 【分析】（1）先根据点与渐近线的位置关系确定双曲线的焦点在x轴上，再利用待定系数法求解双曲线的方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，，写出直线PM的方程，令得点A的坐标，写出直线的方程，令即可求出定点；（ⅱ）先说明直线BP也过定点，即，根据题意判断出参数的取值范围，表达出面积，利用换元法求最小值即可. 【详解】（1）因为点在渐近线上方，所以双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为（，）. 由题知，解得，， 故双曲线的方程为； （2）（ⅰ）证明：因为两点P，Q在双曲线C的右支，所以直线与x轴不重合，设直线的方程为，，. 联立方程得， 则， ，， 直线PM的方程为， 令，得点A的坐标为， 所以直线的方程为， 令，得直线与x轴交点的横坐标 . 故直线恒过定点. （ⅱ）由（ⅰ）同理可得，直线BP也过定点， 因为直线与直线BP交于点D，所以. 因为过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点， 所以或或，即. . 令，则，， 因为函数在上单调递增，故， 故的面积的最小值为. 专题二：名校双曲线培优压轴试题精选 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，异于的点在渐近线上，直线与的右支交于点，定义.若是渐近线上异于的三个点，为中点，且直线均与的右支相交，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意设点，求出直线AP方程，联立解出点M坐标即可求出三角形面积及，利用中点关系即可得出. 【详解】双曲线的一条渐近线，所以，即， ，点在渐近线上，设，， 联立曲线方程得， 可得，因为M在右支，所以， 解得，，， 则，， 设，为中点，， ， 故选：B. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于点于点于点，利用角平分线的性质，得到，从而可得，再结合条件，可得，即可求解. 【详解】不妨设点在第一象限，由于点为角平分线的交点， 过作于点于点于点， 则，且， 所以， 则， 所以，因为，所以， 所以，代入（*）式得. 故选：C. 3．（多选题）设曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线关于直线对称 C．若点在曲线上，则| D．若直线与曲线没有交点，则直线的斜率为1 【答案】BCD 【分析】根据特例判断A，根据点的变换判断B，利用基本不等式可得，从而可判断CD的正误. 【详解】对于A，因为曲线，故满足方程，故A错误； 对于B，对曲线上任意一点，则也满足， 也满足，故均在曲线上， 故曲线关于直线对称，故B正确； 对于C，由曲线可得， 故， 若，则，故，故此时，满足； 若，则，故， 若，则即，此时，则，矛盾； 故不成立，故，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故曲线有两条渐近线， 分别为及，故若直线与曲线没有交点，则与渐近线平行或重合， 故的斜率为1，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为则下列结论正确的是（   ） A． 三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是   【答案】ABD 【分析】设点，在A项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断．由斜率公式及点差法可以判断B，设直线的倾斜角为，得到，进而可判断CD. 【详解】依题意，得得， 则 设点 对于A项，如图，设 的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得， ，而， 得 而 得 又因为 得切点T与点B 重合，得点，则内心的横坐标为1， 同理可得，内心的横坐标也为1，得三点共线，故A项正确. 对于B项，由相减得， 得 即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接， 则 若 ，则  ，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为为， 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以 令，则，则在单调递减，在单调递增， 故， 故 ，故D项正确. 故选：ABD 5．（多选题）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．记，则的面积； C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 【答案】AD 【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以， 所以 ， ，，， 双曲线的方程为：， 若，则，所以，故A正确； 对于B，因为的面积，故B错误； 对于C，若，则，，，双曲线的方程为， 直线的方程为，联立，消得， 则， 解得且，故C错误； 对于D，若，则，，，双曲线的方程为， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点， 轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有 ，， 设，所以， 显然，当，即，即取得最小值8， 记的内切圆面积为，的内切圆面积为， 故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确. 故选：BD. 6．（多选题）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于，由椭圆与双曲线的定义可将与用和表示，即可得出答案； 对于，由得，，再在中用一次余弦定理即可得到答案； 对于，由得，又，，代入可得答案； 对于，因为，所以，化简可得，再利用三角恒等变换中的平方关系进行转化即可. 【详解】由，，得，. 所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确. 故选：. 7．（多选题）已知曲线，下列结论正确的有（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合 C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2 D．曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ABC 【分析】将点代入曲线的方程验证可判断A，将点，，代入曲线的方程验证可判断B；根据得，计算即可判断C，根据曲线的对称及，讨论第一象限整点个数即可判断D. 【详解】对于A，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程，故A正确； 对于B，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程， 将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程， 将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程， 所以曲线关于轴，轴以及直线对称， 所以曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，故C正确； 对于D，将和联立，解得， 所以可得圆与曲线相切于点， 由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可， 而圆在第一象限内整数点只有，但，所以曲线在第一象限内不经过任何整点， 再结合曲线的对称性可知，曲线在二三四象限内也不经过任何整点， 又在曲线上，故曲线上只有1个整点，故D错误． 故选：ABC 8．（多选题）已知双曲线的右顶点为，其左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，记，内切圆的圆心分别为，半径分别为，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．，，三点共线 C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角形内心的性质可知，，故，即可判断选项A；设双曲线的焦距为，实轴长为，作轴，则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得，从而点就是双曲线的右顶点，则轴.同理可证轴，即可判断选项B；由，及数量积的运算即可判断选项C；在中，由射影定理可求的值，根据基本不等式即可判断选项D. 【详解】    因为点是的内心，所以，同理可得. 因为，所以，即，故是直角三角形，故选项A错误； 设双曲线的焦距为，实轴长为，作轴，作，作，则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得 ， 所以点就是双曲线的右顶点，则轴. 同理可证轴，因此，，三点共线，故选项B正确； 由题可得，由选项B可知， 所以，故选项C正确； 在中，由射影定理可得， 则由基本不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，故选项D错误. 故选：BC. 9．（多选题）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫做圆锥曲线，当时，轨迹为椭圆，当时，轨迹为抛物线，当时，轨迹为双曲线．已知方程表示的曲线为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，为双曲线，且其渐近线方程为与 B．若为双曲线，则的取值范围为 C．当时，上的点到直线的距离的最大值为 D．当时，将绕原点顺时针旋转得到曲线，记与轴的左、右交点分别为为上纵坐标不为0的点，若，则 【答案】ABD 【分析】对于A选项，先把等式左边变形，再两边平方化简，得到的形式，根据其特征判断是双曲线且渐近线为坐标轴. 对于B选项，对已知等式变形，得到离心率表达式，依据双曲线离心率大于求解λ范围. 对于C选项，当时，得出离心率小于判断为椭圆.利用椭圆对称性，联立椭圆与方程求解，再根据对称点求到最大距离. 对于D选项，设角，得出其他角与关系，由斜率乘积为推出角的和为，进而求出度数. 【详解】对于A选项，已知，等式左边. 两边平方得，化简得，即，它是双曲线，渐近线是两坐标轴，A正确. 对于B选项，若为双曲线，由，变形得. 双曲线离心率大于，所以，解得，B正确. 对于C选项，当时，，则，表示椭圆. 关于对称，联立，得，解得. 根据对称性，上横坐标为的点到距离最大，最大为，C错误. 对于D选项，曲线，设，，则. 因为，所以，，，D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可. 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项B错误；    当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， （其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项C正确；    当点在圆外时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或， ∴或（其中为圆的半径），即， ∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.    故选：ACD. 【点睛】本题的解题关键是对点的位置分类讨论，根据点是线段的中垂线与直线的交点，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质可得以及与的定量关系，再根据圆锥曲线的定义逐项判断即可求解. 11．已知双曲线：的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，则 . 【答案】8 【分析】设，，根据题意可得，又，运算得解. 【详解】由题，设，，则，， 所以，，可得， 由离心率，得， 所以， 又，，则， . 故答案为：8. 12．已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 . 【答案】 （且） （且） 【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以，由圆的定义可知点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知.分点Q在线段的延长线上和点Q在线段的延长线上两类讨论，数形结合分析可得，结合双曲线的定义即可求解动点Q的轨迹方程，即可求解答题空2. 【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 13．数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论： ①； ②； ③若点在第一象限，则； ④的周长可以等于． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】令，求得，可判定①正确；设，，结合，得到，可判定②正确；由，得到，可判定③正确；设，由余弦定理求得，得到，可判定④错误. 【详解】对于①中，由双纽线， 令，可得，解得或，所以，所以①正确； 对于②中，设，其中，且， 由， 因为，可得，可得， 所以，所以②正确； 对于③中，若点位于第一象限，要证， 即证，等价于， 由双纽线，可得，所以③正确； 对于④中，设，则三角形的周长为， 在中，由余弦定理得， 即， 即，所以， 即，所以， 因为，所以④错误. 故答案为：①②③. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由，求得，再由题意，得到，求得的值，即可求得的方程； （2）（ⅰ）设直线，联立方程组求得，，结合直线的斜率公式，进行化简，即可求解； （ⅱ）设直线，得到，联立方程组，求得和，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，可得，解得， 因为点到直线的距离为2，可得， 又因为，可得，所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为， 设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线， 联立方程组，整理得， 所以，且，， 所以 ，故直线的斜率之积为定值． （ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中， 则直线PE的方程为， 联立方程组，解得， 用替换上式中的得点Q的纵坐标， 则， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为．    15．已知中心在原点，焦点在轴上的圆锥曲线的离心率为2，过的右焦点作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求的方程； (2)若面积为12的的三个顶点均在上，边过，边过原点，求直线的方程； (3)已知，过点的直线与在轴右侧交于不同的两点，，上存在点满足，且，试求的范围. 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹后，列不等式计算可得结果. 【详解】（1）圆锥曲线的离心率为2，故为双曲线， 因为中心在原点、焦点在轴上，所以设的方程为（，）， 令，解得，所以有   ① 又由离心率为2，得   ②， 由①②解得，所以双曲线的标准方程是； （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知， 由题意可知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，得， 化简整理，得， 所以，且， 所以， 整理得，解得或， 所以直线的方程是或或. （3）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线斜率存在，设直线方程，，， 联立直线与双曲线的方程，得， 化简整理，得， 所以，，且， ∵直线与在轴的右侧交于不同的两点，， ∴，解得. 设点的坐标为，由，得， 则，变形得到，∴， 代入中，解得， 设过点与双曲线右支相切的直线为，与的交点为， 过点与双曲线的渐近线平行的直线为，与的交点为， ∴点的轨迹为线段（不含端点）， 由解得，由解得， ∵，∴， 整理得， 即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆与线段的交点， ∵，∴，解得， ∴的范围是. 16．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)设，是曲线上不同的两点，是的中点，直线，的斜率分别为，.证明：为定值； (3)直线与曲线的右支交于点，（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线，与交于点；过点且斜率4为的直线与曲线交于点，（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线，与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.证明：共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意分析可得，可知动点的轨迹为是以为焦点的双曲线，即可得结果； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）圆：的圆心为，半径， 因为，， 则， 可知动点的轨迹为是以，为焦点的双曲线， 且，，则， 所以曲线的方程为. （2）设，，， 因为，为双曲线上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证. （3）设斜率为4，与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，， 联立，消去并整理得， 因为该方程有两个正根，则， 解得，或（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为， 则， ， 所以，则都在直线上，故共线. 17．已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)是，理由见解析； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. （2）若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 18．已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. (1)求双曲线 的离心率； (2)若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合双曲线的定义即可求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，即可根据两点求解直线，联立与渐近线方程可得坐标，即可根据向量的坐标运算，代入韦达定理可证明得解. 【详解】（1）连接, 由于关于直线对称，又，所以， 到直线的距离为， 因此，故， 由双曲线定义可得，故， 因此离心率为， （2）当时，则，故双曲线的方程为， ，直线，故， 由题意可知直线有斜率，故设， 联立与可得， 设，则， 则直线，联立与方程可得， 解得，，所以, 同理可得, ,, ， 所以，即， 因此，因此, 故四边形 为平行四边形. 19．已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)①平行四边形；②证明见解析， 【分析】（1）求出双曲线渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离求解. （2）①求出曲线的方程，设出点坐标，再联立直线与曲线的方程求出的坐标即可判断；②法1，设出方程，与曲线的方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积推理计算即得；法2，利用①的信息求出的坐标，再利用三角形面积公式结合向量运算求解即得. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 圆的圆心为，半径为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由（1）知双曲线的方程为， 设，，， 则直线的方程为，与联立，得，， 则，同理得，分别为的中点， 则，， 又，因此，， 所以四边形为平行四边形． ②方法一  显然直线的斜率不为0，设直线， 由得， ，， 设，则，， 由，得， 则，， 两式分别平方后作差得， 即，得， 因此，即， ，解得， ， 到直线的距离， ． 所以的面积为定值，此定值为. 方法二  由①知，设点， 则， 得，，即， 由点在上，则，即， 整理得，因此，即， 设，则 ， 则， 所以的面积为定值，此定值为. 20．已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设，，，与联立求出和韦达定理，根据求出即可求解； （2）求出即可证明； （3）由（1）求出，考虑和两种情况，根据求出，求出，根据（2）求出，根据结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设，，， 与联立可得，， ，，， 因为，所以， 由可得，故 因为在第一象限，所以，解得， 由得； （2）由题意得，，故， ， ， 则，即； （3）由（1）得，，故， 因为，所以， 当时，，，，故，， ，故，所以⊥，， 则， 由对称性可知， 则， 当时，，， 由得， 将其代入中得， 显然，当时，，当时，， 解得，，， 因为， 其中， 由（2）知， 又，故， 故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 由于， 故. 专题三：双曲线全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2007高二·全国·竞赛）已知、是双曲线上的两点，是线段的中点，且直线，的斜率分别是、，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】由已知设点、的坐标分别是，，点M的坐标是，根据，点、在双曲线上，可得，即可求解. 【详解】设点、的坐标分别是，，则点M的坐标是， 从而，， 由，得， 又，，所以，， 于是，又，得， 即，解得， 从而. 故选：. 2．（2012高二·全国·竞赛）已知点是双曲线的右支上一点，点为双曲线的左、右焦点，若（点为坐标原点），且的面积为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设点，根据向量运算求得，根据的面积求得，进而求得，将点坐标代入双曲线方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】 设点， 依题意得， 又点为线段的中点，，， 又，所以，又点在双曲线上，于是有， ，，即， 解得或，又， 因此有． 故选：A 3．（2014高二·全国·竞赛）过双曲线M：的右顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C两点，且，则双曲线M的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的方程联立两条渐近线的方程，结合解得，求离心率即可. 【详解】由已知得l的方程为：， 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点，， 联立直线l与两条渐近线的方程，可得，则, 故，∴（∗）， 又，则点B为AC的中点， 所以，代入（∗）式得，, 解得，， 所以双曲线M的离心率， 故选：A. 4．（2008高二·全国·竞赛）中，为动点，B、C为定点，，，且满足条件，则点的轨迹方程是（    ）． A． B． C．的左支 D．的右支 【答案】D 【分析】由正弦定理把整理成：，即，且，所以动点的轨迹是双曲线的右支，设其方程为，由双曲线的焦距，实轴长，表示出，即可求得动点的轨迹方程. 【详解】由正弦定理， 得：，，， 代入整理得：， 即， 当时，三点不能构成，故； 所以动点的轨迹是双曲线的右支， 设双曲线方程为：， 由题得，双曲线的焦距，实轴长， 故=， 所以动点的轨迹方程是：的右支. 故选：D． 5．（2009高二·全国·竞赛）设点为椭圆和双曲线的公共顶点，点分别是双曲线和椭圆上不同于的两动点，且满足（且）．设的斜率分别为，则的值为（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】设出题中各点坐标，根据向量关系得到、三点共线，再代入斜率公式化简计算即可. 【详解】如下图所示， 不妨取．设． 因为动点满足， 可得，即，所以、三点共线， 故． 同理，． ． 故选：A. 6．（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设右焦点，则，结合椭圆与双曲线的定义计算即可求解. 【详解】椭圆的半焦距为，则， 所以，设右焦点，则， 所以. 故选：D 7．（2021高一·黑龙江鸡西·竞赛）双曲线上任一点P到两渐近线的距离分别为，则的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式表示出，整理化简即可. 【详解】双曲线的两渐近线方程为：或. 设点，则，即. 所以， 所以. 故选：A 8．（2017高二下·广西玉林·竞赛）设，是椭圆与双曲线的公共焦点（、分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点，离心率分别为和，且线段的垂直平分线过，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆、双曲线的定义列方程，结合椭圆、双曲线的离心率以及基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意可知：在第一象限，且， 根据椭圆、双曲线的定义有， 两式 得， ， 当且仅当，时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D 9．（2017高三下·广西玉林·竞赛）已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出三角形是直角三角形，结合求得的关系，再结合双曲线的定义列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由，得，即以为直径的圆， 于是，即三角形是直角三角形， 由于，则，于是，， 由，得，所以. 故选：D 10．（16-17高三·北京·强基计划）设实数满足，且，双曲线的渐近线分别是和，且都经过原点，则双曲线的离心率的比值 （    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据渐近线的斜率可求离心率，故可得两者的比值. 【详解】考虑到，且都经过原点， 于是双曲线有上下支，双曲线有左右支，进而，， 于是． 故选：C 11．（16-17高三·北京·强基计划）已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可求圆心轨迹. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设动圆圆心为，半径为r，则，且， 可得为定值，且， 所以动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支. 故选：B. 12．（20-21高三·北京·强基计划）已知双曲线，左右顶点为A，B，点P为双曲线右支上一点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用点在双曲线上可得，再结合两角和的正切可得正确的选项. 【详解】设，则， 从而， 所以， 因此． 故选： 13．（2024高三上·全国·竞赛（多选题））设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 【答案】AD 【分析】由题意得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】由题意，所有， 所以的实轴长为2，的焦距为，的离心率为，的渐近线方程为. 故选：AD. 14．（20-21高三·北京·强基计划（多选题））已知，则（    ） A．函数在R上单调递减 B．方程有实数解 C．函数的图象不过第三象限 D．函数的值域为R 【答案】ACD 【分析】去绝对值符号后可得分段函数，画出图象后可得正确的选项. 【详解】根据题意，有 如图，由图象可得为上的减函数，图象不过第三象限且值域为， 其中双曲线的渐近线为，故无实数解，故B错误. 故选：ACD. 15．（2010高二·全国·竞赛）双曲线，左右顶点为为右支上一点且不重合，过点作轴于点，且，则 度． 【答案】20 【分析】设，，则为锐角，由题意结合斜率与倾斜角的关系以及点的坐标满足双曲线方程可得，再结合，即可求解. 【详解】不妨设，，则为锐角， ，， ，， ．    故答案为：20. 16．（2012高二·全国·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为点、，点为双曲线的中心，点是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为点，且与轴相切于点，过点作直线的垂线，垂足为点，若为双曲线的离心率，则、满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】 延长交于点，根据内切圆的性质及双曲线的定义分别求出、，即可得解. 【详解】 因为是的内切圆，设与、分别切于点、， 又与轴相切于点，所以，，， 所以 ， 所以，即点是右顶点． 又延长交于点，可知为等腰三角形，且，为的中点， 由双曲线定义可知， 在中，为中位线，， ． 故答案为： 17．（2015高二·全国·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为点、，在双曲线的右支上有一点，使得，则此双曲线的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据,结合双曲线定义得,利用焦半径范围列不等式求解. 【详解】因为 故，又点在双曲线的右支上， 设半焦距为则， 故离心率.则此双曲线的离心率的最大值为. 故答案为：. 18．（2014高二·全国·竞赛）双曲线的焦距为，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线的离心率e的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式求出s，解不等式即可求出e的范围，从而得出答案． 【详解】直线l的方程为，即． 点到直线l的距离， 点到直线l的距离， ， 由，得，即，于是得， 即，解得， ∵，∴e的取值范围是． 故e的最大值为． 故答案为： 19．（2008高二·全国·竞赛）已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率 ． 【答案】或 【分析】根据双曲线的渐近线，可设双曲线方程为，讨论双曲线方程焦点情况，即可确定双曲线的离心率. 【详解】若双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为， 当时，双曲线标准方程为：，则； 当时，双曲线标准方程为：，则． 综上，双曲线的离心率或. 故答案为：或. 20．（2008高二·全国·竞赛）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 【答案】 【分析】先联立两个方程，再由韦达定理表达直线的方程，再求截距范围即可. 【详解】设， 把代入整理得 因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根． 所以，所以. 又因为中点为， 所以直线方程为，令，截距， 由得． 故答案为： 21．（2009高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【答案】8 【分析】首先求出、、，根据双曲线的对称性可知必有一条弦垂直于轴或轴，求出轴、轴时的弦长，即可得解. 【详解】双曲线，则，，， 则右焦点为， 因为过右焦点作直线交双曲线于、两点，使得的直线恰有条， 由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于轴或轴. 若轴，由，解得或， 所以，即，符合题意； 若轴，由，解得或， 此时，为最短弦长，只有一个解，而不是三个解，不符合题意，故舍去， 综上可得. 故答案为： 22．（2007高二·全国·竞赛）定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上运动，则AB中点M的横坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】设F是右焦点，点，，由双曲线第二定义结合条件可得，进而即得. 【详解】设F是右焦点，点，． 由离心率为，右准线为， 则, 则，∴． ∴． 故答案为： 23．（2024高三上·全国·竞赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 【答案】1 【分析】将双曲线的焦点坐标代入椭圆方程，解方程求得的值即可. 【详解】由题可得双曲线的焦点坐标为，代入椭圆方程得，解得. 故答案为：1 24．（2023高二·安徽·竞赛）已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支交于、两点，若以为直径的圆过原点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当轴直接求出离心率，当不与轴垂直时，设，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据与右支有两个交点得到，再由表示出，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】当轴时，令，则，解得，依题意， 即，即，解得或（舍去）． 当不与轴垂直时，设， 与联立得， ， 设，，则，， 则，， 所以，即， 则． 由题意得， 所以 ． 综上，双曲线离心率的取值范围是． 故答案为： 25．（2022高三·浙江丽水·竞赛）曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】先将曲线变形，再根据曲线的类型求解即可. 【详解】， 所以，所以，所以离心率. 故答案为：2 26．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知双曲线C：（，）的左､右焦点为，，离心率为，若过的直线l与圆相切于点T，且l与双曲线C的右支交于点P，则 . 【答案】4 【分析】根据离心率得出的关系，作交于点，是的中点求得，，利用和求出可得答案. 【详解】如图，由题可知，则,， 则， 因为，，所以， 作交于点，因为是的中点， 所以是的中点，所以，， 因为，所以，即， 又， 可得，则， 所以，， 所以. . 故答案为： 27．（2021高三·全国·竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于 . 【答案】 【分析】由对称性，知O为平行四边形的中心，设，得，将点A、B的坐标代入双曲线方程，求得A、B的坐标，利用等面积法知，代入即可求解. 【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O为平行四边形的中心， 由A、B、C、D四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A、D在左支上，B、C在右支上， 如图：考虑A、B关于双曲线中心的对称点， 因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知，所以的对称中心为O. 设，由，得. 将点A、B的坐标代入双曲线方程得 ，解得：或 所以或. 故. 故答案为： 28．（2021高三·全国·竞赛）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足．若在的右支上存在一点A，使得且，则离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中考虑问题． 不妨设A在第一象限．A是以O为圆心，为半径的圆与的交点． 设的左焦点为X，则 ， ， 即． 在上取一点C，使，则． 由双曲线的定义知（a是实半轴长），即 （c是半焦距）． 代入，得．解得． 故答案为：    29．（2021高三·全国·竞赛）已知双曲线的左右焦点为、，过的直线与双曲线右支交于A、B两点，则、的内切圆面积之和的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解析：令、的内切圆心为、，与x轴切于M，N， 则，所以M、N重合于双曲线右顶点． 过的直线与双曲线右支交于A、B两点，令， 内切圆面积和为 ． 故答案为：. 30．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得到双曲线的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即， 同理可得，， 又，所以，又， 可得， 所以，进而． 故答案为：. 31．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ． 【答案】 【分析】先确定外心的坐标，然后利用重心坐标公式求出的坐标，再利用已有的集合关系得到，最后即可相应确定. 【详解】 设，，. 由于，故的外心就是线段的中点，即. 而三角形重心的坐标就是三个顶点的平均值，故，. 所以. 而都在上，，故，. 这就得到. 而的斜率为，故，所以. 由又可以得到，，. 从而，，. 故，所以. 这就得到，所以离心率. 故答案为：. 32．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意表示出，再由化简可求出离心率. 【详解】， 当时，，， 则，所以， 所以， 因为为正方形，所以， 所以，化简得 所以， 所以，解得， 因为，所以 故答案为： 33．（16-17高三·北京·强基计划）曲线，以下判断中正确的有 ． ①曲线C过点； ②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C关于x轴对称； ④P为曲线C上的动点，点A，B的坐标分别为和，则的面积的最大值为． 【答案】②③ 【分析】根据方程的形式可得，故可判断②的正误，检验是否在曲线上后可判断①的正误，将方程中的换成后观察方程的变化情况后可判断③的正误，根据方程可得，故可求的面积的最大值，故可判断④的正误. 【详解】记． ①由于，于是点不在曲线C上，故命题①错误． ②根据题意，， 于是， 等号当时取得， 结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，故命题②正确． ③由于，于是曲线C关于x轴对称，故命题③正确． ④根据题意，． 于是． 从而点P到的距离的最大值为，从而面积取得最大值为，故命题④错误． 故答案为：②③ 34．（16-17高三·北京·强基计划）已知双曲线，为其右焦点，O为坐标原点若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据焦半径的范围可得离心率的取值范围. 【详解】设为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，， 于是，解得， 因此双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为：. 35．（19-20高三·北京·强基计划）已知点P在双曲线上，分别过P点作渐近线的平行线交x轴于点A，B且A点在靠近原点一侧，过A点作x轴的垂线交以为直径的圆于点C，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据射影定理可得，再求出两条相交直线的方程后利用韦达定理可求的长度为定值. 【详解】根据题意，过点与双曲线的两条渐近线分别平行的相交直线方程为， 设，则是关于x的方程的两根， 而， 因此． 故答案为：. 36．（20-21高三·北京·强基计划）已知双曲线左右焦点分别为，过点作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求，结合余弦定理可求的值. 【详解】如图，设直线，且垂足为， 因为，故，所以， 而，故，故， 在中，由余弦定理可得， 整理得到：，故， 因此该双曲线的渐近线方程为． 故答案为：. 37．（2007高二·全国·竞赛）已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴上，且､和成等比数列，过点F作双曲线C在第一､三象限的渐近线的垂线l，垂足为点P. (1)求证：. (2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点D､E，求双曲线的离心率e的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由条件可求得P点、A点的坐标，分别计算和进行比较即可得证． (2)直线方程与双曲线方程联立，得到关于x的一元二次方程，由可得a、b、c之间的关系，从中解出e的范围 【详解】（1）设双曲线半焦距为c，显然，. ∴A在x正半轴且，，成等比数列，∴A为， ∵l过F且垂直渐近线，    ∴l为：， 由，得，则， ∴，， 则，， ∴. （2）若l与双曲线C的左右两支分别相交于点D､E， 且设 由，得， 所以，即， 所以， 38．（2007高二·全国·竞赛）如图所示，某农场在点处有一堆化肥，今要把这堆化肥沿道路或送到庄稼地中去.已知，，，能否在庄稼地中确定一条界限，使得到位于界限左侧的点，沿道路走较近；而到位于界限右侧的点沿道路走较近？如果能，请说出这条界限是一条什么曲线，并求出其方程；如果不能，请说明理由. 【答案】能，点的轨迹为双曲线的一部分，（，） 【分析】建立平面直角坐标系，设为，得到，结合余弦定理求出边长，由双曲线定义得到轨迹方程，注意取值范围. 【详解】依题意建立如图所示坐标系，以所在方向为轴，的中垂线为轴， 设四边形内的点为， 则有，则， ，， ， ， 由余弦定理得 ， ，即，故， 由于，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的一部分， 其中， 故轨迹方程为， 由于四边形位于轴及其上方，且， 故，， 故点的轨迹方程为：（，） 39．（2007高二·全国·竞赛）已知点P到圆的切线长与到y轴的距离之比为 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设曲线C的两焦点为､，试求t的取值范围.使得曲线C上不存在点Q，使. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点P的坐标为，根据题意列出方程，即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合双曲线和椭圆的定义和性质计算即可. 【详解】（1）设点P的坐标为，则， 整理得， 即动点P的轨迹C的方程为； （2）曲线C的方程可化为， 当时，曲线C是双曲线，此时曲线C上必存在点Q，使得， 当时，曲线C是椭圆，其长半轴､短半轴分别是，， 设椭圆半焦距为，，，则， ， 即， ∴. ∴， 又， ∴， 即， ∴， 又，∴， ∴当且时，曲线C上存在点Q，使得， ∴要使得曲线C上不存在点Q，使得， 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 40．（2009高二·全国·竞赛）已知双曲线的半焦距为，且.点P、Q是双曲线上任意两点，点为PQ的中点.当PQ与OM的斜率都存在时，求的值. 【答案】 【分析】设，，利用点差法可推出，继而化简，结合，即可求得答案. 【详解】因是的中点，故可设，， 于是，， 又点P、Q在双曲线上，所以有:，① ，② ①-②得:， 结合，故， 由，. （负的舍去），故. 41．（2017高三下·广西玉林·竞赛）已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足，．　 （1）求点的轨迹方程； （2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1）点的轨迹是椭圆除去四个点，，，，其方程为（，）； （2），点的坐标为或. 【分析】（1）由已知双曲线的顶点可得椭圆焦点，再由椭圆过定点可解得参数的值，得到椭圆方程；由已知条件设出点的坐标，再由已知向量积为零可得两坐标的关系，再由点在椭圆上，分析可得点的轨迹方程； （3）由点到直线距离可得三角形面积表达式，由均值不等式可得面积最大值及此时点坐标． 【详解】（1）由的焦点为的顶点，得的焦点 ，． 令的方程为， 因为在上，所以． 于是由,解得，，所以的方程为． 由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称， 所以． 设点，，则，， ，． 于是由，，得， 即 两式相乘得， 又因为点在上，所以，即， 代入中， 得 ， 当时，得； 当时，则点或，此时或，也满足方程． 若点与点重合，即时，由， 解得或． 若点与点重合时，同理可得或． 综上，点的轨迹是椭圆除去四个点，，，，其方程为（，）． （2）因为点到直线 的距离，， 所以的面积 ， 当且仅当，即或， ， 此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面轨迹方程的求法以及直线和椭圆相交时三角形面积的求解，其中涉及到向量数量积的应用，综合性较强，计算量大，能较好的考查学生的综合素养，解答的关键是求解轨迹方程时要注意特殊点的讨论以及三角形面积的表达式的确定. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二双曲线易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校双曲线易错题精选 专题二：名校双曲线培优题精选 专题三：双曲线全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校双曲线易错题精选 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，为它们在第一象限的一个公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 4．已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 6．点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝（） A．－4 B． C．4 D． 9.（多选题）平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼卵形线，已知曲线E为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线E的几何性质有下四个结论，其中正确的是（    ） A．曲线E关于原点对称 B．的面积的最大值为2 C．其中x的取值范围为 D．其中y的取值范围为 10．（多选题）已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（    ） A．的焦距为4 B．过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C．若为上支上的一点.，则的最小值为 D．若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 11．（多选题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（   ） A．点到Γ的渐近线的距离为2 B．直线，的斜率之积为2 C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条 D．若直线l过点A，且，则 12．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（    ） A．若点关于原点对称的点为点，且，则 B．的右顶点到渐近线的距离为 C．内切圆的圆心在直线上 D．不存在点，使得点关于点对称的点在上 13．（多选题）已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是 . 15．已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ． 16．已知直线交双曲线于A，B两点，O是坐标原点，且直线OA，OB的斜率，满足，则该直线的方程为 ． 17．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．若，且的面积为的面积为，且，则双曲线的离心率为 ． 18．已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 19．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由. 20．已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 专题二：名校双曲线培优压轴试题精选 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，异于的点在渐近线上，直线与的右支交于点，定义.若是渐近线上异于的三个点，为中点，且直线均与的右支相交，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）设曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线关于直线对称 C．若点在曲线上，则| D．若直线与曲线没有交点，则直线的斜率为1 4．（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为则下列结论正确的是（   ） A． 三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是   5．（多选题）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．记，则的面积； C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 6．（多选题）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 7．（多选题）已知曲线，下列结论正确的有（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合 C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2 D．曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点） 8．（多选题）已知双曲线的右顶点为，其左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，记，内切圆的圆心分别为，半径分别为，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．，，三点共线 C． D． 9．（多选题）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫做圆锥曲线，当时，轨迹为椭圆，当时，轨迹为抛物线，当时，轨迹为双曲线．已知方程表示的曲线为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，为双曲线，且其渐近线方程为与 B．若为双曲线，则的取值范围为 C．当时，上的点到直线的距离的最大值为 D．当时，将绕原点顺时针旋转得到曲线，记与轴的左、右交点分别为为上纵坐标不为0的点，若，则 10．（多选题）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 11．已知双曲线：的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，则 . 12．已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 . 13．数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论： ①； ②； ③若点在第一象限，则； ④的周长可以等于． 其中，所有正确结论的序号是 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 15．已知中心在原点，焦点在轴上的圆锥曲线的离心率为2，过的右焦点作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求的方程； (2)若面积为12的的三个顶点均在上，边过，边过原点，求直线的方程； (3)已知，过点的直线与在轴右侧交于不同的两点，，上存在点满足，且，试求的范围. 16．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)设，是曲线上不同的两点，是的中点，直线，的斜率分别为，.证明：为定值； (3)直线与曲线的右支交于点，（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线，与交于点；过点且斜率4为的直线与曲线交于点，（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线，与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.证明：共线. 17．已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 18．已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. (1)求双曲线 的离心率； (2)若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 19．已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 20．已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 专题三：双曲线全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2007高二·全国·竞赛）已知、是双曲线上的两点，是线段的中点，且直线，的斜率分别是、，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．不确定 2．（2012高二·全国·竞赛）已知点是双曲线的右支上一点，点为双曲线的左、右焦点，若（点为坐标原点），且的面积为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．（2014高二·全国·竞赛）过双曲线M：的右顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C两点，且，则双曲线M的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（2008高二·全国·竞赛）中，为动点，B、C为定点，，，且满足条件，则点的轨迹方程是（    ）． A． B． C．的左支 D．的右支 5．（2009高二·全国·竞赛）设点为椭圆和双曲线的公共顶点，点分别是双曲线和椭圆上不同于的两动点，且满足（且）．设的斜率分别为，则的值为（    ）． A．0 B． C． D． 6．（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2021高一·黑龙江鸡西·竞赛）双曲线上任一点P到两渐近线的距离分别为，则的积为（    ） A． B． C． D． 8．（2017高二下·广西玉林·竞赛）设，是椭圆与双曲线的公共焦点（、分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点，离心率分别为和，且线段的垂直平分线过，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（2017高三下·广西玉林·竞赛）已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（16-17高三·北京·强基计划）设实数满足，且，双曲线的渐近线分别是和，且都经过原点，则双曲线的离心率的比值 （    ） A． B． C．1 D．2 11．（16-17高三·北京·强基计划）已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 12．（20-21高三·北京·强基计划）已知双曲线，左右顶点为A，B，点P为双曲线右支上一点，设，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高三上·全国·竞赛（多选题））设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 14．（20-21高三·北京·强基计划（多选题））已知，则（    ） A．函数在R上单调递减 B．方程有实数解 C．函数的图象不过第三象限 D．函数的值域为R 15．（2010高二·全国·竞赛）双曲线，左右顶点为为右支上一点且不重合，过点作轴于点，且，则 度． 16．（2012高二·全国·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为点、，点为双曲线的中心，点是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为点，且与轴相切于点，过点作直线的垂线，垂足为点，若为双曲线的离心率，则、满足的关系式为 ． 17．（2015高二·全国·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为点、，在双曲线的右支上有一点，使得，则此双曲线的离心率的最大值为 . 18．（2014高二·全国·竞赛）双曲线的焦距为，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线的离心率e的最大值为 ． 19．（2008高二·全国·竞赛）已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率 ． 20．（2008高二·全国·竞赛）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 21．（2009高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 22．（2007高二·全国·竞赛）定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上运动，则AB中点M的横坐标的最小值为 ． 23．（2024高三上·全国·竞赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 24．（2023高二·安徽·竞赛）已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支交于、两点，若以为直径的圆过原点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 25．（2022高三·浙江丽水·竞赛）曲线的离心率为 . 26．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知双曲线C：（，）的左､右焦点为，，离心率为，若过的直线l与圆相切于点T，且l与双曲线C的右支交于点P，则 . 27．（2021高三·全国·竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于 . 28．（2021高三·全国·竞赛）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足．若在的右支上存在一点A，使得且，则离心率的取值范围为 ． 29．（2021高三·全国·竞赛）已知双曲线的左右焦点为、，过的直线与双曲线右支交于A、B两点，则、的内切圆面积之和的取值范围是 ． 30．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 31．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ． 32．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 33．（16-17高三·北京·强基计划）曲线，以下判断中正确的有 ． ①曲线C过点； ②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C关于x轴对称； ④P为曲线C上的动点，点A，B的坐标分别为和，则的面积的最大值为． 34．（16-17高三·北京·强基计划）已知双曲线，为其右焦点，O为坐标原点若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ． 35．（19-20高三·北京·强基计划）已知点P在双曲线上，分别过P点作渐近线的平行线交x轴于点A，B且A点在靠近原点一侧，过A点作x轴的垂线交以为直径的圆于点C，则的取值范围是 ． 36．（20-21高三·北京·强基计划）已知双曲线左右焦点分别为，过点作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 ． 37．（2007高二·全国·竞赛）已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴上，且､和成等比数列，过点F作双曲线C在第一､三象限的渐近线的垂线l，垂足为点P. (1)求证：. (2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点D､E，求双曲线的离心率e的取值范围. 38．（2007高二·全国·竞赛）如图所示，某农场在点处有一堆化肥，今要把这堆化肥沿道路或送到庄稼地中去.已知，，，能否在庄稼地中确定一条界限，使得到位于界限左侧的点，沿道路走较近；而到位于界限右侧的点沿道路走较近？如果能，请说出这条界限是一条什么曲线，并求出其方程；如果不能，请说明理由. 39．（2007高二·全国·竞赛）已知点P到圆的切线长与到y轴的距离之比为 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设曲线C的两焦点为､，试求t的取值范围.使得曲线C上不存在点Q，使. 40．（2009高二·全国·竞赛）已知双曲线的半焦距为，且.点P、Q是双曲线上任意两点，点为PQ的中点.当PQ与OM的斜率都存在时，求的值. 41．（2017高三下·广西玉林·竞赛）已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足，．　 （1）求点的轨迹方程； （2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$