专题01 集合、常用逻辑用语（题型专练）（北京专用）2027年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合、常用逻辑用语 目 录 模块一 题型解码 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题解码】 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合间的基本关系 题型03 根据集合的关系求参数 题型04 集合的交并补混合运算 题型05 集合中的创新问题 题型06 充分、必要条件的判断 题型07 根据充分必要条件求参数 题型08 全称量词命题、存在量词命题 【解答题解码】 题型01集合的新定义问题 模块二 综合演练 题型01 元素与集合的关系 【例1-1】（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 【例1-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】集合，若，则. 故选：A 判断元素与集合关系的2种方法： 1、直接观察法：若集合用列举法表示，可直接比对元素是否为集合中的已知元素；若集合中含参数，先求出参数，再回代检验，确认所得集合满足元素的互异性。 2、属性验证法：若集合用描述法表示，先明确集合代表元素的类型与所满足的约束条件，再把待判断元素代入规则逐条验证；数集与点集的代表元素形式不同，不可混判。 【变式1-1】（2026·北京朝阳·一模）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，故. 【变式1-2】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式1-3】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 题型02 集合间的基本关系 【例2-1】（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 【例2-2】（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】D 【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对的个数. 【详解】因为，， 当时，又，故， 当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有， 所以集合对共有. 故选：D. 判断集合间基本关系的2种思路： 1、元素比对法：元素有限的列举型集合，逐一比对元素构成，按子集、真子集、集合相等的定义直接判定；空集是任意集合的子集，这一情形最容易漏掉。 2、范围分析法：由不等式限定的描述型集合，用数轴标出各自区间，由区间的覆盖关系判断集合关系；端点是否取到要逐个验证，不能只看区间的大致位置。 【变式2-1】（2025·北京大兴·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据分式不等式的解法得出；再根据集合间的基本关系即可判断. 【详解】因为，， 所以，. 故选：B. 【变式2-2】（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合的元素，根据Venn图求，进而求得子集个数. 【详解】，， 则，， 所以，其子集个数为个. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 题型03 根据集合的关系求参数 【例3-1】（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 【例3-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出对数不等式的解集，由此可表示出集合，再根据分类讨论二次不等式的解即可求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为， 当时，无解，所以，此时； 当时，由可得，所以，若，则； 当时，由可得，所以，此时. 综上，. 故选：C. 求集合运算中参数的值或取值范围，解题思路如下： 1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系：若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则利用数轴得到不同集合之间的关系。 2、将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解、解集为何：据此求出参数的值或取值范围；求解时优先讨论空集这一特殊子集，求出参数后回代检验元素的互异性，并单独验证端点值的取舍。 【变式3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，再根据得到的取值范围. 【详解】由可得，，则， 故选：A. 【变式3-2】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知是公差为的等差数列，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理求解. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为，而， 即最多3个不同取值，又 ， 则在中，或 或. 于是有或， 即有，解得； 或者 ，解得； 所以 或. 【变式3-3】（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 题型04 集合的交并补混合运算 【例4-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 【例4-2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形可得阴影部分表示的集合，然后结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，所以， 阴影部分表示的集合为， 且或，， 则. 故选：C 求集合交、并、补混合运算的2种方法： 1、定义法：若用列举法表示的集合，可根据交、并、补的定义直接观察，或用Venn图表示出集合运算的结果。 2、数形结合法：若用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果；此时要注意端点是否取到：端点不在集合中时用“空心点”，端点在集合中时用“实心点”。 3、实战防错：在交并补混合运算（尤其是求补集）时，极易因数轴上的端点重叠或开闭区间反转而出错，求补集时，尤其要注意端点开闭状态的翻转。 【变式4-1】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可. 【详解】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 【变式4-2】（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解集合、实数集下的补集与集合，再计算二者的交集即可得到结果. 【详解】因为，即集合，所以； 由，整理得，等价为，解得， 所以集合， 所以. 【变式4-3】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合与，再根据维恩图确定阴影部分表示的集合为，最后进行集合运算即可. 【详解】由题意，，， 图中阴影部分表示的集合为，因为，全集，所以或， 则或或，故B正确. 题型05 集合中的创新问题 【例5-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则______；______. 【答案】 3 【分析】根据定义确定中元素的性质，应用列举法确定，进而分析时满足要求的元素个数，再应用组合数的性质求. 【详解】由题设，则中元素是中满足且的元素， 对于，则，则满足要求的元素有共3个，故有三种情况，即， 对于，则，则满足要求的元素有共个， 所以在不考虑顺序情况下共有对，故. 故答案为：3， 【例5-2】（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 解决集合创新问题的2个核心思路： 1、定义转化法：准确解读题目给出的新定义、新运算规则，将其转化为熟悉的集合运算或元素属性判断；严格按定义推导，不自行扩大或缩小规则的内涵。 2、特例验证法：抽象的新定义问题，先列举简单的符合条件的集合代入规则，归纳规律后再推广到一般情形；判断选项时，可用反例快速排除错误结论。 【变式5-1】（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【分析】根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 【变式5-2】（26-27高三上·北京·开学考试）定义集合且，集合中元素的个数为．下列说法正确的是（    ） ① ② ③存在，使得成立 ④记表示不超过的最大整数，且，则． A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】①枚举验证集合元素，②用容斥原理推导计数公式，③结合等比数列性质判断方程解的存在性，④通过放缩法确定求和范围后计算取整结果. 【详解】逐个分析结论： 对于①：∵ ，为其中不被2、3整除的正整数， 枚举得符合条件的元素为，故，①正确. 对于②：中共有个正整数，根据容斥原理，不被2或3整除的元素个数为： ，②正确. 对于③：由②得，代入等式得，约分化简得. ∵ ，故，，左边含因子，该数除以12余1，右边为12的正整数次幂，除以12余0，矛盾，故不存在满足条件的，③错误. 对于④：由②得，故. 首先，且为递增数列. 当时，，故， 因此. 故对任意，都有，因此，④正确. 综上，正确的结论为①②④，答案选D. 【点睛】方法归纳：新定义集合类多选题需先准确理解定义，再结合对应知识点逐个验证：计数类问题优先用容斥原理简化计算，数列存在性问题可通过因式分解或模运算推导矛盾，取整类求和问题常用放缩法将通项转化为等比数列求和确定范围. 【变式5-3】（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 【答案】①②③ 【分析】借助数量积公式可得，若，则集合是直线，即可得①；结合点到直线距离公式计算可得②；由题意可得集合所表示区域，即可得点所表示的区域及其面积，即可得③；结合③中所得可判断④. 【详解】，故点坐标满足； 对①：若，则， 即点坐标满足， 此时点的轨迹是直线，故①正确； 对②：由点坐标满足， 点到直线的距离， 则点到原点的距离的范围为，有最小值，无最大值，故②正确； 对③：由点到直线的距离，且， 故集合表示平面内以为圆心，为半径的圆外的所有区域（包括圆）， 若，则点所表示的区域为该圆内部，即其面积为，故③正确； 对④：由③可得，则，故④错误. 题型06 充分、必要条件的判断 【例6-1】（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 【例6-2】（2026·北京房山·二模）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 判断充分、必要条件的2种方法： 1、定义法：分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，再按充分、必要条件的定义下结论。 2、集合法：把条件p、q分别对应集合A、B，按“以小推大”的原则，由两个集合的包含关系判断： (1) 若A是B的子集，则p是q的充分条件； (2) 若B是A的子集，则p是q的必要条件。 (3) 若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件； (4) 若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件； (5) 若A=B，则p是q的充要条件； (6) 若A与B互不包含，则p是q的既不充分也不必要条件。 【变式6-1】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再结合余弦公式化简即可求解. 【详解】若，则， ， 所以“”是“”的充分条件； 若，则，即或， 当时，，不一定满足， 所以“”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 【变式6-2】（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 【变式6-3】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数的定义域为，则“，是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先看必要性：若对任意有，反复迭代递推可推出；再举反例证明充分性不成立，由此判断条件关系. 【详解】设命题：，；命题：，. 若，，将式子中替换为，得； 同理：、、、. 由不等号的传递性，全部连起来： ，得到，即. 设，；对任意实数，. 每个区间内是一条下降直线；向右每平移2026个单位的线段，整体向上抬高1. ：由递推式得，满足，； ：取，，存在使得，不满足，. 满足前者不能推出后者，充分性不成立；而后者可推出前者，故前者是后者的必要不充分条件. 综上：是的必要不充分条件. 题型07 根据充分必要条件求参数 【例7-1】（26-27高三上·北京西城·开学考试）已知函数，，若对，都有是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意得，，先取代入，得，再证明，恒成立. 【详解】若对，都有是的必要条件，等价于，，即恒成立，取代入，得，所以， 当时， 由三角不等式，结合，所以， 先证明，恒成立，设，， 所以在上单调递增，所以，所以，恒成立. 令，得，所以恒成立，即恒成立. 则的取值范围是. 【例7-2】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 利用充分、必要条件求参数，把握以下3个要点： 1、先定充要条件，再定取舍：与范围有关时，先求使结论成立的充要条件，再按“以小推大”的方法确定符合题意的条件。 2、巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含、相等关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解（注意：若集合含参数，切勿遗漏对空集的讨论）。 3、端点取值慎取舍：求出参数范围后，要注意边界或区间端点值的检验，将端点值单独代入确认条件关系是否符合题意，从而确定取舍，避免漏解或多解。 【变式7-1】（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解，得， 因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含， 所以，所以的取值范围是. 【变式7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简求出解集,再求出二次不等式对应方程的两根并分情况写出解集,由是的充分不必要条件,可知的解集要真包含于的解集,由此列出约束条件,进而求出. 【详解】由得，根据指数函数单调性可得，即. 方程的两根为和. 不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 因为是的充分不必要条件，所以是解集的真子集，仅当解集为时满足条件. 因此满足且，解得，即的取值范围为. 【变式7-3】（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为确定的取值范围，最后根据充分不必要条件的定义判断选项. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增，则在上单调递增， 所以，即在上的值域为； 当时，，且. ①当时，在上单调递减，所以， 即在上值域为，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值域为，不合题意； ②当时，在上单调递增，所以， 即在上值域为， 因为整个函数值域为，所以，解得或， 又因为，所以，即. 所以函数的值域为的一个充分不必要条件对应的的取值范围应为的真子集，所以B正确. 题型08 全称量词命题、存在量词命题 【例8-1】（25-26高三上·北京通州·期中）已知命题“”，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“”的否定是. 故选：C 【例8-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）命题：，的否定是______. 【答案】， 【分析】根据命题否定的方法，写出命题的否定即可. 【详解】由题意可知，命题的否定为：，. 故答案为：，. 处理全称量词命题与存在量词命题的2类方法： 1、真假判定法：全称量词命题为真，需验证所有元素都满足结论；为假只需举出一个反例。存在量词命题为真，只需找到一个符合条件的元素；为假需验证所有元素都不满足结论。 2、命题否定法：写否定时遵循“改量词、否结论”，全称量词与存在量词互换，同时否定结论： (1) ∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，¬p(x)； (2) ∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，¬p(x)。 【变式8-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得恒成立，结合各项命题的描述判断其真假，即可得. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立，A、B、D为假命题，C为真命题； 故选：C 【变式8-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式8-3】（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 题型01集合的新定义问题 【例1-1】（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【答案】(1)；； (2) (3)676 【分析】（1）依据变换的定义，枚举集合元素两两相加的结果，去重后统计元素个数即可. （2）先分析集合的元素特征，证明中元素的唯一性，再对所有元素分组求和推导通项. （3）先根据的元素个数限制推导集合、为公差相等的等差数列，再结合元素的取值范围约束求解的最大值. 【详解】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 【例1-2】（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合不是，集合是 (2)不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. (3) 【分析】（1）根据规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分、与讨论，结合去绝对值的方法即可证明； （3）利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【详解】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）略 （3）不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 求解集合新定义解答题，把握以下4条思路： 1、定义拆解转化：逐句解读题干给出的新运算、新性质规则，提炼核心约束条件与关键限定词，把陌生的集合规则转化为熟悉的元素关系、集合包含关系或等量不等关系；明确“任意”“存在”“唯一”“整数”等限定的适用范围，作为全题推导的依据。 2、分类枚举验证：含参数或元素属性可变时，按参数的分界点或元素类别有序分类，做到标准统一、不重不漏；元素规模有限时，可直接枚举逐一验证新定义；每一类推导结束后都要回代检验，排除与定义矛盾的情形。 3、证明问题处理：存在性问题，通过构造符合定义的集合或元素完成证明；不存在性、唯一性问题，优先用反证法，假设结论不成立，再结合定义推出逻辑矛盾；涉及元素个数或最值，先用特例猜想边界，再用不等式与整数性质严谨论证。 4、递进设问承接：此类题多为分层递进设问，前一问的结论往往是后一问的铺垫，解题时要主动复用前序得到的性质简化推导；某一问受阻时，先承接已有结论完成后续问题，争取分步得分。 【变式1-1】（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. (3)证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）略 （3）略 【变式1-2】（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 【变式1-3】（2026·北京房山·二模）由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合存在，使得，． (1)写出集合的所有元素； (2)判断与是否属于集合，并说明理由； (3)若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”． 【答案】(1)集合 (2) (3)证明： 充分性： 设，因为， 所以当方程组恒成立时，解得， 因为为偶数，且， 所以方程组解中的所有分式的分子都是偶数(两数之和为偶数，则两数之差也为偶数)， 因此所有必为整数，即方程组至少存在一组整数解，所以，充分性成立； 必要性： 因为，所以至少存在一组整数解使得方程组恒成立， 令，则，即，且为偶数，必要性成立. 【分析】(1)利用的和只能为0或2或4分类讨论求解 (2)列方程求解，分析解中是否满足全为整数 (3)令是让四组配对和相等的关键 【详解】（1）因为， 所以， 因此集合A的元素由唯一确定. 因为，且为偶数， 所以和只能为0或2或4； 当 ：； 当： 当： 综上所述， （2）结论为，理由如下： 由(1)可得，取，为便于计算，将后续数据纵向排列， 即 因为 ， 所以 又因为， ， 所以. 若，则至少存在一组整数使等式恒成立，即， 解得方程组通解为，取得，即; 若，则至少存在一组整数使等式恒成立， 即，解得方程组通解为， 因为，所以不存在一组整数解使得方程组恒成立，所以. （3）略 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则. 2．（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案． 【详解】若且，则，，所以，但不能保证， 例如当，时，满足且，但，即充分性不成立； 若，则，，所以，，即必要性成立， 所以“且”是“”的必要不充分条件． 故选：B 3．（2025·湖南·一模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 又，所以， 故实数的取值范围是. 4．（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集求解即可. 【详解】因为，所以，由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或，所以集合与集合的补集的交集为. 5．（2026·湖南·一模）已知集合，若集合有个子集，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知集合中三个元素互不相同，再依次将各选项的值代入检验即可. 【详解】因为集合的子集个数为 ， 所以，集合中三个元素互不相同，又 对于A，当时，，元素重复，故错误； 对于B，时，，前两个点相同，元素重复，故错误； 对于C，当时，，三点为，互不相同，满足题意； 对于D，当时， 不存在，故错误； 6．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【分析】根据题目条件结合集合的子集与并集运算判断选项. 【详解】集合共有个子集， 条件等价于并集缺少中至少一个元素， 设缺少元素，则所有子集均不含，即， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件， 假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中， 否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集， 而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集， 这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16. 故选：B 二、填空题 7．（2026·北京·三模）能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【分析】选取满足且的正实数即可. 【详解】若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题. 8．（2026·北京房山·二模）设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 【答案】②③ 【详解】1.当时，恒成立，与条件矛盾， 解得或，所以不在中； 2. 当，即时 有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 3. 当，即时，有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 综上所述 是开口向上的二次函数，在上不可能恒为负，所以， 对于①，且 ，①错误； 对于②，且 ，②正确； 对于③，若，则且，③正确； 对于④，若且，则或，④错误． 三、解答题 9．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】(1)故答案不唯一，如 (2) 由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． (3)，理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【详解】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）略 （3）略 10．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】(1) (2) (3)证明：对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 【分析】（1）根据距离的定义，找出满足的即可； （2）先根据，分析元素所满足的条件，再求的最大值； （3）首先讨论三个差的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证. 【详解】（1），说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； （2）已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 （3）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合、常用逻辑用语 目 录 模块一 题型解码 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题解码】 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合间的基本关系 题型03 根据集合的关系求参数 题型04 集合的交并补混合运算 题型05 集合中的创新问题 题型06 充分、必要条件的判断 题型07 根据充分必要条件求参数 题型08 全称量词命题、存在量词命题 【解答题解码】 题型01集合的新定义问题 模块二 综合演练 题型01 元素与集合的关系 【例1-1】（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D． 判断元素与集合关系的2种方法： 1、直接观察法：若集合用列举法表示，可直接比对元素是否为集合中的已知元素；若集合中含参数，先求出参数，再回代检验，确认所得集合满足元素的互异性。 2、属性验证法：若集合用描述法表示，先明确集合代表元素的类型与所满足的约束条件，再把待判断元素代入规则逐条验证；数集与点集的代表元素形式不同，不可混判。 【变式1-1】（2026·北京朝阳·一模）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 题型02 集合间的基本关系 【例2-1】（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 判断集合间基本关系的2种思路： 1、元素比对法：元素有限的列举型集合，逐一比对元素构成，按子集、真子集、集合相等的定义直接判定；空集是任意集合的子集，这一情形最容易漏掉。 2、范围分析法：由不等式限定的描述型集合，用数轴标出各自区间，由区间的覆盖关系判断集合关系；端点是否取到要逐个验证，不能只看区间的大致位置。 【变式2-1】（2025·北京大兴·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2-3】（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据集合的关系求参数 【例3-1】（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 求集合运算中参数的值或取值范围，解题思路如下： 1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系：若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则利用数轴得到不同集合之间的关系。 2、将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解、解集为何：据此求出参数的值或取值范围；求解时优先讨论空集这一特殊子集，求出参数后回代检验元素的互异性，并单独验证端点值的取舍。 【变式3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知是公差为的等差数列，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 题型04 集合的交并补混合运算 【例4-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 求集合交、并、补混合运算的2种方法： 1、定义法：若用列举法表示的集合，可根据交、并、补的定义直接观察，或用Venn图表示出集合运算的结果。 2、数形结合法：若用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果；此时要注意端点是否取到：端点不在集合中时用“空心点”，端点在集合中时用“实心点”。 3、实战防错：在交并补混合运算（尤其是求补集）时，极易因数轴上的端点重叠或开闭区间反转而出错，求补集时，尤其要注意端点开闭状态的翻转。 【变式4-1】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 题型05 集合中的创新问题 【例5-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则______；______. 【例5-2】（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 解决集合创新问题的2个核心思路： 1、定义转化法：准确解读题目给出的新定义、新运算规则，将其转化为熟悉的集合运算或元素属性判断；严格按定义推导，不自行扩大或缩小规则的内涵。 2、特例验证法：抽象的新定义问题，先列举简单的符合条件的集合代入规则，归纳规律后再推广到一般情形；判断选项时，可用反例快速排除错误结论。 【变式5-1】（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【变式5-2】（26-27高三上·北京·开学考试）定义集合且，集合中元素的个数为．下列说法正确的是（    ） ① ② ③存在，使得成立 ④记表示不超过的最大整数，且，则． A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【变式5-3】（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 题型06 充分、必要条件的判断 【例6-1】（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6-2】（2026·北京房山·二模）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 判断充分、必要条件的2种方法： 1、定义法：分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，再按充分、必要条件的定义下结论。 2、集合法：把条件p、q分别对应集合A、B，按“以小推大”的原则，由两个集合的包含关系判断： (1) 若A是B的子集，则p是q的充分条件； (2) 若B是A的子集，则p是q的必要条件。 (3) 若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件； (4) 若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件； (5) 若A=B，则p是q的充要条件； (6) 若A与B互不包含，则p是q的既不充分也不必要条件。 【变式6-1】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数的定义域为，则“，是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07 根据充分必要条件求参数 【例7-1】（26-27高三上·北京西城·开学考试）已知函数，，若对，都有是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 利用充分、必要条件求参数，把握以下3个要点： 1、先定充要条件，再定取舍：与范围有关时，先求使结论成立的充要条件，再按“以小推大”的方法确定符合题意的条件。 2、巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含、相等关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解（注意：若集合含参数，切勿遗漏对空集的讨论）。 3、端点取值慎取舍：求出参数范围后，要注意边界或区间端点值的检验，将端点值单独代入确认条件关系是否符合题意，从而确定取舍，避免漏解或多解。 【变式7-1】（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 题型08 全称量词命题、存在量词命题 【例8-1】（25-26高三上·北京通州·期中）已知命题“”，则为（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）命题：，的否定是______. 处理全称量词命题与存在量词命题的2类方法： 1、真假判定法：全称量词命题为真，需验证所有元素都满足结论；为假只需举出一个反例。存在量词命题为真，只需找到一个符合条件的元素；为假需验证所有元素都不满足结论。 2、命题否定法：写否定时遵循“改量词、否结论”，全称量词与存在量词互换，同时否定结论： (1) ∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，¬p(x)； (2) ∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，¬p(x)。 【变式8-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型01集合的新定义问题 【例1-1】（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【例1-2】（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 求解集合新定义解答题，把握以下4条思路： 1、定义拆解转化：逐句解读题干给出的新运算、新性质规则，提炼核心约束条件与关键限定词，把陌生的集合规则转化为熟悉的元素关系、集合包含关系或等量不等关系；明确“任意”“存在”“唯一”“整数”等限定的适用范围，作为全题推导的依据。 2、分类枚举验证：含参数或元素属性可变时，按参数的分界点或元素类别有序分类，做到标准统一、不重不漏；元素规模有限时，可直接枚举逐一验证新定义；每一类推导结束后都要回代检验，排除与定义矛盾的情形。 3、证明问题处理：存在性问题，通过构造符合定义的集合或元素完成证明；不存在性、唯一性问题，优先用反证法，假设结论不成立，再结合定义推出逻辑矛盾；涉及元素个数或最值，先用特例猜想边界，再用不等式与整数性质严谨论证。 4、递进设问承接：此类题多为分层递进设问，前一问的结论往往是后一问的铺垫，解题时要主动复用前序得到的性质简化推导；某一问受阻时，先承接已有结论完成后续问题，争取分步得分。 【变式1-1】（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【变式1-2】（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【变式1-3】（2026·北京房山·二模）由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合存在，使得，． (1)写出集合的所有元素； (2)判断与是否属于集合，并说明理由； (3)若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·湖南·一模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南·一模）已知集合，若集合有个子集，则可以是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 二、填空题 7．（2026·北京·三模）能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 8．（2026·北京房山·二模）设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 三、解答题 9．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 10．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $