专题04 抛物线（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二抛物线易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校抛物线易错题精选 专题二：名校抛物线培优题精选 专题三：抛物线全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校抛物线易错题精选 1．已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．（多选题）已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 4．（多选题）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，经过的直线与交于，两点，分别记在点、处的切线为、，，则下列说法正确的是（   ） A．准线方程为 B． C． D．若，则 5．（多选题）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过作圆的两条切线，切点分别为，，且，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当取得最小值时， C．两点横坐标之和的最小值为2 D．当直线与圆相切时， 6．（多选题）已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（   ） A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4 C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值 7．（多选题）“探索对称之美，感受数学魅力”，如图①的星形图案，它可看作是由图②中的抛物线绕坐标原点按逆时针方向分别旋转，，，后所得的四条曲线围成的图形.若，，，分别为相邻曲线的切点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．星形图案的面积大于8 D．直线与星形图案相交的弦长为2 8．（多选题）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线的焦点发出的两条光线，分别经抛物线上的，两点反射，已知两条入射光线与轴所成锐角均为，两条反射光线和之间的距离为，则（   ） A．随的增大而减小 B．若，则 C．若三角形的面积为，则 D．无论取何值，直线恒过定点 9．（多选题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ）    A． B．点在上 C．在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．当点在上时， 10．（多选题）已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ） A． B．当时， C．可以为 D．周长的最小值是11 11．（多选题）在平面直角坐标系中，点分别在直线上（均异于点），.过点分别作的角平分线的垂线，垂足分别为，的面积分别为.若为定值，则（    ） A．时，点的轨迹是椭圆 B．时，点的轨迹是双曲线 C．存在，使得点的轨迹是圆 D．存在，使得点的轨迹是抛物线 12．（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．曲线经过的整数点个数为3个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 13．已知抛物线C：的焦点为F，直线l经过点F交C于M，N两点，且M，N两点在C的准线上的投影分别为A，B，准线与x轴的交点为D，分别记△ABF与△BDF的面积为，，若，则直线l的斜率为 ． 14．拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 ． 15．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为 . 16．已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则 ；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为 . 17．已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ． 18．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 19．如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. (1)证明：直线是抛物线的切线； (2)已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； (3)若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心. 20．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 专题二：名校抛物线培优压轴试题精选 1．数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为，其图象如图所示.若将满足，的点称为整点，则满足的整点有（    ） A．9个 B．17个 C．25个 D．33个 2．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 3．（多选题）已知是曲线：上一点，设，连接，得到线段，记其长为，则（   ） A．关于轴对称 B．到直线的距离不小于 C．当时， D．当时， 4．（多选题）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，直线与在第一象限交于点，过作的垂线，垂足为，且，则（   ） A．为线段的中点 B． C．是正三角形 D．直线与相切 5．（多选题）已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，…，满足，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则四边形面积的最小值为128 6．（多选题）在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．曲线的方程为 C．曲线关于直线对称 D．曲线上的点到轴的距离的最大值为 7．已知直线：与圆：相切于点T，A是圆上一动点，点P满足，且以P为圆心，为半径的圆恰与相切，则的最大值为 ． 8．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，抛物线在处的切线为，过作与平行的直线，记与的另一交点为，则的面积的最小值为 ． 9．已知点是平面内的定点，点是平面内的动点，点P到点F的距离是，点P到y轴的距离为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设当时，动点P的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两点，过点A作曲线的切线交直线于点N，求证：直线BN与曲线相切． 10．已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 11．已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为 (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q 均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q 在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值. 12．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为. （i）求证：； （ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值. 13．在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 15．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 16．已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 17．已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点F，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 18．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 19．设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 20．如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为． (1)若的焦点为，且的最小值为，求的值； (2)若存在点，使得，求的取值范围． 专题三：抛物线全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三下·全国·竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2010高二·广东广州·竞赛）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2007高二·全国·竞赛）和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2014高二·全国·竞赛）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 5．（2015高二·全国·竞赛）已知抛物线上一定点和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，，则Q点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2011高二·全国·竞赛）过抛物线的焦点作两条弦和，且轴，，则弦所在直线的方程是（    ）． A． B．或 C． D．或 7．（2014高二·全国·竞赛）已知椭圆和抛物线相交于、两点，直线过抛物线的焦点，且，椭圆的离心率为．则抛物线和椭圆的标准方程分别为（    ）． A．； B．； C．； D．； 8．（2008高二·全国·竞赛）椭圆的左准线为，左、右焦点分别为，抛物线的准线也为，焦点为．设与的一个交点为，则（    ）． A． B．1 C．3 D．与的取值有关 9．（18-19高三·北京·强基计划）已知圆上一点处的切线与抛物线相交于A，B两点，且满足，其中O为坐标原点，则（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（23-24高三下·全国·强基计划（多选题））抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 11．（15-16高三·北京·强基计划（多选题））已知过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法中正确的是（    ） A．以为直径的圆与直线没有公共点 B．以为直径的圆与轴只有一个公共点 C．的最小值为4 D．的最小值为2 12．（2024高三下·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和它的两个零点（点在点的左侧），点是第一象限中的图象上一动点，设直线和直线分别交轴于点，若，则的值为 . 13．（2024高二下·全国·竞赛）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线交于两个不同点A，B（不同于点O），则△AOB外接圆半径的取值范围为 ． 14．（2007高二·全国·竞赛）设点P是曲线上一点，点P到y轴的距离是，到直线l：的距离是则的最小值是 . 15．（2017高二·全国·竞赛）已知的三个顶点都在抛物线上，且O为抛物线的顶点，抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为（m，n为常数且），记、、的面积分别记为、、，则的值为 ． 16．（2016高二·全国·竞赛）的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 . 17．（2018高二·全国·竞赛）已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 18．（2007高二·全国·竞赛）已知，，则的最小值是 . 19．（2022高三·浙江宁波·竞赛）设O为坐标原点，F是抛物线的焦点，若P是该抛物线上一点，且，则点P到y轴的距离为 ． 20．（2021高三·全国·竞赛）抛物线，设它的某三条切线交于A、B、C三点，设的外接圆与x轴相切，切点为，则 ． 21．（2017高一·江苏盐城·竞赛）已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是 ． 22．（20-21高三·北京·强基计划）如图，过抛物线上一点P作切线l，过O点作l的垂线交于点Q，，则的面积是 ． 23．（20-21高三·江苏·强基计划）已知抛物线的焦点为F，准线，点M在抛物线C上，点M在直线上的射影为A，且直线的斜率为，则的面积为 ． 24．（2007高二·全国·竞赛）已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ. (1)求点R的轨迹方程. (2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论. 25．（2012高二·全国·竞赛）已知抛物线经过椭圆的两个焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)设，又点为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程． 26．（2012高二·全国·竞赛）已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，那么为定值吗？证明你的结论． 27．（2010高二·全国·竞赛）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在轴上截得的弦． (1)试判断的长是否随圆心的运动而变化．并证明你的结论； (2)当是与的等差中项时，抛物线的准线与圆有怎样的位置关系？并说明理由． 28．（2016高二·全国·竞赛）设抛物线的准线与轴交于，焦点为，以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为，自引直线交抛物线于、两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设． (1)求抛物线的方程和椭圆的方程； (2)求证：． 29．（2008高二·全国·竞赛）设和是抛物线上的两个动点，使得在和处的两条切线相互垂直，由点及抛物线的顶点所构成的三角形重心的轨迹为一抛物线，对再重复上述过程，又得一抛物线，依此类推．设如此得到抛物线序列为，如果的方程是，试求的方程． 30．（2007高二·全国·竞赛）抛物线上恒有两点关于直线对称．求的取值范围． 31．（2024高三上·全国·竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 32．（2024高三上·全国·竞赛）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）． (1)当时，求点A的纵坐标； (2)斜率为的直线与抛物线交于B，C两点，且是正三角形，求的取值范围． 33．（2024高二·全国·竞赛）已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 34．（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 35．（2023高三下·全国·竞赛）设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为． (1)求直线的斜率； (2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围． 36．（2021高三·陕西渭南·竞赛）已知动点P到直线l：的距离比到定点的距离多1. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标. 37．（2020高三·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点.求圆的半径. 38．（2017高二上·安徽阜阳·竞赛）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点. （1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程； （2）若，求直线的方程； （3）已知为原点，求证：为定值. 39．（22-23高一上·安徽淮南·强基计划）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 40．（21-22高一·安徽芜湖·强基计划）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题： 如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，且过点， (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象． ①设为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值． 41．（18-19高三·北京·强基计划）如图，开口向右的抛物线对称轴与x轴重合，焦点位于坐标原点处，并且过点．设直线与抛物线交于两点，直线看与抛物线交于两点． (1)求抛物线方程． (2)求证：． (3)设直线分别与y轴交于P，Q两点，求证：． 42．（20-21高三·北京·强基计划）如图，已知抛物线，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K． (1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程． (2)连接，记的面积分别为，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二抛物线易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校抛物线易错题精选 专题二：名校抛物线培优题精选 专题三：抛物线全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校抛物线易错题精选 1．已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，即可根据共线求解求解. 【详解】由题意得，，圆的半径，圆的半径． 因为，当且仅当点在线段上，点在线段上时，等号成立， 所以，当且仅当点共线，且从左到右依次为点时两等号同时成立． 故选:C． 2．已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】如图，由抛物线的定义可得，解得，所以． 由题可得圆的圆心为，半径． 由抛物线方程可知焦点坐标为，准线为直线， 所以点到直线的距离． 所以， 所以当四点共线时取得最小值， 则． 故选：C.    3．（多选题）已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ）      A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【答案】AC 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，∴，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，∵，，∴，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      ∵，∴， ∵，则，解得或（舍）， ∴，∴，故D错误. 故选：AC 4．（多选题）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，经过的直线与交于，两点，分别记在点、处的切线为、，，则下列说法正确的是（   ） A．准线方程为 B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据抛物线标准方程对应准线公式，已知值就能得出准线方程.对于选项B，设直线方程与抛物线方程联立，得到关于的二次方程，用韦达定理得出，再结合抛物线方程求出.对于选项C，先写出切点弦方程，把焦点坐标代入方程，求出点横坐标，确定点轨迹，进而得到最小值.对于选项D，利用抛物线上点到焦点和准线距离相等的性质，结合已知与的值，算出. 【详解】对于选项A，已知抛物线方程，由条件知，则.对于抛物线，其准线方程是，所以准线方程为.故A错误. 对于选项B，设直线，与联立，把代入得，即. 由韦达定理得，又，，所以.故B正确. 对于选项C，设，抛物线的切点弦方程为，焦点，代入得，解得，所以轨迹是，，则.故C正确. 对于选项D，抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，已知，若，则.故D正确. 故选：BCD. 5．（多选题）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过作圆的两条切线，切点分别为，，且，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当取得最小值时， C．两点横坐标之和的最小值为2 D．当直线与圆相切时， 【答案】BCD 【分析】对于选项A：先明确圆圆心和半径，根据条件得相似三角形，利用三角函数关系求判断对错.对于选项B：设点坐标，根据两点间距离公式求最小值，再结合抛物线定义求.对于选项C：设直线AB方程，与抛物线联立，利用韦达定理和基本不等式判断.对于选项D：根据直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径求，再求弦长 . 【详解】对于选项A：圆的标准方程为，其圆心为，半径为.由题意知，轴，如图， 不妨令位于轴上方，设与轴的交点为，则， 连接，则，易得，则， 故，又为锐角，所以， 所以，所以，得，故A错误. 对于选项B：设，则， 当时，取得最小值，此时，故B正确. 对于选项C：由A得抛物线的方程为，，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，，联立得，消去， 整理得，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故C正确. 对于选项D：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得，由抛物线的对称性不妨令，则，，所以， （另解：求出的值后，也可直接利用弦长公式求解，即），故D正确. 故选：BCD. 6．（多选题）已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（   ） A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4 C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值 【答案】ABD 【分析】对AC，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而根据求解可得的方程为，的方程为即可判断；对B，根据韦达定理结合求解即可；对D，根据中点坐标求解的坐标即可判断. 【详解】对AC，设直线的方程为， 的方程为， ，，，， 联立，得， 所以，，， 所以， 解得或， 所以的方程为或， 同理可得的方程为或， 又，所以的方程为，的方程为， 所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误； 对B，，B项正确； 对D，由题得，同理得， 所以，D项正确. 故选：ABD 7．（多选题）“探索对称之美，感受数学魅力”，如图①的星形图案，它可看作是由图②中的抛物线绕坐标原点按逆时针方向分别旋转，，，后所得的四条曲线围成的图形.若，，，分别为相邻曲线的切点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．星形图案的面积大于8 D．直线与星形图案相交的弦长为2 【答案】ABD 【分析】对于A，由与直线相切，联立，判别式为0即可判断，对于B，由A求得，得到，即可判断，对于C，设如图，设直线与星形图案在第一象限的交点为，可判断，对于D，由C中即可判断. 【详解】    对于A，由题意，知与直线相切，由消去，整理得. 由，得，故A正确； 对于B，由选项A，知与直线的切点为，则， 由题意，旋转后，所以，故B正确； 对于C，如图，设直线与星形图案在第一象限的交点为，由的方程，知当时，，即，星形图案的面积，故C错误； 对于D，直线与星形图案相交的弦长为，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线的焦点发出的两条光线，分别经抛物线上的，两点反射，已知两条入射光线与轴所成锐角均为，两条反射光线和之间的距离为，则（   ） A．随的增大而减小 B．若，则 C．若三角形的面积为，则 D．无论取何值，直线恒过定点 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的焦点弦性质求得，然后根据正切函数的单调性判断A，利用特殊角的正切值计算判断B，结合焦点弦性质及二倍角正弦公式，利用三角形面积公式求得即可判断C，设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，利用列式求得，即可求出直线恒过定点判断D. 【详解】对于A，由，得， ，因为，又在内是增函数， 所以在内是减函数，故A正确； 对于B，由得，，故B错误； 对于C，，又，所以，故C正确； 对于D，设直线的方程为，且，， 由得，，所以，， 又， 所以，解得：，所以直线的方程为， 其恒过定点，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ）    A． B．点在上 C．在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．当点在上时， 【答案】AD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B，由选项A知曲线方程为，而， 故. 当时，， 所以点不在曲线上，故B错误. 对于C，由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D，当点在曲线上时，由选项C可得，所以，故D正确. 故选：AD. 10．（多选题）已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ） A． B．当时， C．可以为 D．周长的最小值是11 【答案】ABD 【分析】对于A项，设直线AB的解析式为，联立，由抛物线的定义及韦达定理求解；对于B项，设点到直线AB的距离为，则，，进行求解；对于C项，由进行判断；对于D项，由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，进行求解． 【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去得， ． 对于A，由抛物线定义知，，， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，设点到直线AB的距离为，则，，即， 解得或（负值舍去）， 则．故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6， 又周长的最小值是11，故D正确． 故选：ABD. 11．（多选题）在平面直角坐标系中，点分别在直线上（均异于点），.过点分别作的角平分线的垂线，垂足分别为，的面积分别为.若为定值，则（    ） A．时，点的轨迹是椭圆 B．时，点的轨迹是双曲线 C．存在，使得点的轨迹是圆 D．存在，使得点的轨迹是抛物线 【答案】AC 【分析】设，根据面积可得为定值，再根据向量坐标运算可得，即可得出，再分和两种情况讨论即可. 【详解】设， 因直线与直线既关于轴对称，也关于轴对称，则点在轴或轴上， 则， 因为定值，则为定值， 因，则，则， 则为定值， 设直线的倾斜角为，则或， 若，此时，，，则为圆，故C正确； 若，则，，， 则为椭圆，故A正确，B错误； 由于方程中不含和的一次项， 故该曲线不可能为抛物线，故D错误. 故选：AC 12．（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．曲线经过的整数点个数为3个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】CD 【分析】对于A，将已知点代入方程，可得；对于B，利用赋值法，分别令，，，以及，结合一元二次方程的判别式，可得正误；对于C，将看作是的一元二次方程，由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D，由基本不等式，结合圆的面积，可得正误. 【详解】对于A，将，代入方程，可得，故A错误； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或0或1；同理可得当时，或0或1； 当，，时，，即， 由，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确. 故选：CD. 13．已知抛物线C：的焦点为F，直线l经过点F交C于M，N两点，且M，N两点在C的准线上的投影分别为A，B，准线与x轴的交点为D，分别记△ABF与△BDF的面积为，，若，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线中焦点弦的概念性质，用的横纵坐标表示出两个三角形的面积，求出坐标之间的关系式，联立抛物线方程和直线方程，求出直线斜率. 【详解】 当位于第四象限时，如图所示，设 则， ，化简得. 设直线：，联立方程组得消去得；， 根据韦达定理：， 所以，解得(舍)或， 当时，，则，解得，斜率为. 由对称性可知，当位于第四象限时，斜率为 故答案为： . 14．拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 ． 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 15．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由直线与圆相切，可知当最小时，最大，利用几何关系，即可求解. 【详解】因为，当最小时，最大，此时最大，即当最小时，最大. 设，则，最小值为， 此时，即，故. 故答案为： 16．已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则 ；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为 . 【答案】 2 4 【分析】第一空：依据抛物线定义，点到准线距离与到焦点距离相等.已知抛物线方程能得准线方程，结合点到准线距离表达式求出. 第二空：设直线横截式与抛物线方程联立，用韦达定理得和，算出弦长，进而得圆半径、圆心，写出圆方程.发现直线与圆相切，求出切点到直线距离，得出三角形面积表达式，求最小值. 二级结论法：利用直线倾斜角与弦长关系得，因圆与准线相切得半径，算出三角形面积表达式求最小值. 【详解】第一空：根据抛物线定义：到一个点和一条直线的距离相等的动点组成的图形， 给出抛物线方程，可知准线方程为， 故到的距离为，所以，求出； 第二空：已知方程：，设横截式，与交于，， 将两个方程联立，得到：，， 由韦达定理，， 故，所以为直径的圆半径， 设中点为，，故， 写出圆的标准方程：， 令，可以得到有唯一解，，说明直线与圆相切于点， 所以到的距离， 故三角形，， 当时，有最小值1，此时最小，. 【二级结论速解】设直线的倾斜角为，则， 又因为直线过焦点，所以以为直径的圆与准线相切，则， 所以， 当时，有最小值，最小值为4. 故答案为：2；4. 17．已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据题意可得抛物线方程及点T坐标，设出直线l的方程并联立曲线，再由韦达定理和抛物线焦半径公式可解点A，然后可求的面积. 【详解】如图，因为抛物线C的焦点，所以，解得， 则抛物线C的方程为，准线方程为， ， 易知直线l斜率存在，设方程为，，, 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又， ，且， ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， . 故答案为. 18．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 【答案】 （除去点） / 【分析】根据即可求出直线过定点，再数形结合可知点的轨迹为圆即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即可求出. 【详解】由题可设，，则， 解得或者（不符合题意，舍）， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得， 所以，，故，故直线的方程为， 所以直线过定点， 又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆， 因为，，中点坐标为， 所以点的轨迹方程为（除去点）， 过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大， 所以直线斜率的最大值为. 故答案为：（除去点）；. 19．如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. (1)证明：直线是抛物线的切线； (2)已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； (3)若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先设出点坐标，根据中点关系得点坐标，求直线PA斜率，进而得直线方程，再联立直线与抛物线方程，通过判别式证直线是抛物线切线. （2）设、坐标及其中点，由已知条件求出坐标.假设直线PQ斜率不存在推出矛盾，所以斜率存在.设直线PQ方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及已知的值求出斜率，从而得直线PQ方程. （3）利用E、、三点共线得到向量关系，结合已知线段比例关系设参数，通过向量运算及是中点的条件，得出与、的关系，进而判断是重心. 【详解】（1）设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为， 即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. （2）设中点为， 由已知得， 解得，从而 若直线斜率不存在，则，与重心矛盾，故斜率存在； 设 联立得：， 因为，所以 所以所在直线方程是 （3）因为三点共线，所以. 又因为，设，则， 所以， 所以， 因为是线段的中点，所以，即，所以， 所以是的重心. 20．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)BC过定点，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程. （2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点 （3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值. 【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且， 设（），因为，不妨设. 由斜率公式，即，解得，所以，. 面积，解得，抛物线方程为. （2）设，，， 则，. 因为，则，所以,则. ，所以直线BC方程，整理得. 把代入直线BC方程,得，所以直线过定点. （3）设，中点坐标是, 因为与垂直，则, 已知斜率是，所以斜率为. 根据直线点斜式，得出方程，展开整理成. 同理可得直线方程，与方程联立. 变形两式为和， 相减得，化简得. 已知，则. 又，代入得. 专题二：名校抛物线培优压轴试题精选 1．数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为，其图象如图所示.若将满足，的点称为整点，则满足的整点有（    ） A．9个 B．17个 C．25个 D．33个 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得，找到在第一象限满足的整点，再找到的整点，则可得四个象限内的整点，再加这一点可得答案. 【详解】由，得，则满足， 因为， 所以，即， 则第一象限内满足的整点有， 其中满足的有，共6个， 所以满足的整点有个. 故选：C. 2．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 3．（多选题）已知是曲线：上一点，设，连接，得到线段，记其长为，则（   ） A．关于轴对称 B．到直线的距离不小于 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】运用曲线的对称性、点到直线的距离以及线段长度的计算与比较，结合曲线方程的性质和距离公式来逐一分析选项. 【详解】若是曲线上的一点，将换为，则， 这说明点也在曲线上. 根据曲线关于轴对称的定义：所以曲线关于轴对称，选项正确. 已知，则到直线的距离为. 根据两点间距离公式，，又因为在曲线上，所以，则. 若，两边同时平方可得. 展开式子：，化简得. 因为，当时，幂函数在上单调递增， 所以，即，这与矛盾，所以选项错误. 当时，. 因为，所以， 且（因为，幂函数在上单调递增）. 则. 又因为，所以，即，选项正确. 当，时，取，当接近于时，接近于，则接近于. ， 此时，即，所以选项错误. 故选：AC. 4．（多选题）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，直线与在第一象限交于点，过作的垂线，垂足为，且，则（   ） A．为线段的中点 B． C．是正三角形 D．直线与相切 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线定义推理判断ABC；求出直线方程，再与抛物线方程联立求解判断D. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，设，由，且轴，得， 由，，得，又， 则，即，B正确； 对于C，，，而， 即，解得，，又， 因此是正三角形，C正确； 对于D，点到直线的距离为，，则， 直线的方程为，由得， ，则直线与相切，D正确. 故选：BCD 5．（多选题）已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，…，满足，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则四边形面积的最小值为128 【答案】BCD 【分析】当有共线，结合抛物线通径的性质判断A；令，，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义确定弦长，进而求判断B；当有、共线，令，，则，同B分析判断C；再由及基本不等式求面积最小值判断D. 【详解】当，即，故共线， 所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，A错； 令，而，可设，联立抛物线得， 所以，，则，， 所以，B对； 当，，、共线，如下图， 令，，则， 易知，，，， 同B分析得，， 所以 ，C对； ， 当时，最小，D对. 故选：BCD 6．（多选题）在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．曲线的方程为 C．曲线关于直线对称 D．曲线上的点到轴的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】通过已知条件化简方程，利用曲线上的点满足方程来确定参数的值，再根据对称点的性质判断曲线的对称性，最后通过特定条件求解曲线与坐标轴相关的最值. 【详解】由题知，化简得， 由图象知，点在曲线上，所以，解得， 所以曲线的方程为，故选项A正确，选项B错误； 曲线上的点关于直线对称的点为， 因为，曲线关于直线对称，故选项C正确； 当时，，解得或，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为，故选项D正确． 故选：ACD. 7．已知直线：与圆：相切于点T，A是圆上一动点，点P满足，且以P为圆心，为半径的圆恰与相切，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，由题意可得，整理可得点P的轨迹，由此可设，则是关于的式子，利用基本不等式得最值即可. 【详解】设，则， 直线：与圆：相切于点T，则， 以P为圆心，为半径的圆恰与相切， 则可得，化简可得，且， 从而可设，且， 则， 由于，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线与圆的位置关系、距离公式，确定点的轨迹方程，根据轨迹方程确定动点坐标，从而将所求问题转化为坐标关系，结合不等式或者函数求解最值即可. 8．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，抛物线在处的切线为，过作与平行的直线，记与的另一交点为，则的面积的最小值为 ． 【答案】36 【分析】设并与联立，写出韦达定理，求导得出直线的斜率，继而写出直线的方程，与联立，求出，设直线与交于点，求出，继而求得，表示出的面积，最后借助于基本不等式即可求得. 【详解】      由题意知抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在， 故设直线的方程为，，， 联立消去，得，， 所以，， 因为，所以，则直线的斜率为， 因，故直线的方程为，即， 也即，联立，消去，得， 所以，即， 设直线与交于点，则， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的面积的最小值为36． 故答案为：36. 9．已知点是平面内的定点，点是平面内的动点，点P到点F的距离是，点P到y轴的距离为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设当时，动点P的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两点，过点A作曲线的切线交直线于点N，求证：直线BN与曲线相切． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意，由点到直线的距离公式化简可得； （2）设过点的直线为，直曲联立表示出韦达定理，设过点A且与抛物线相切的直线为，直曲联立利用判别式为零分别表示出方程， 方法一：把代入直线②式求出点坐标，再由两点式求出直线方程，代入抛物线方程和韦达定理化简可得； 方法二：设点，代入②式，得直线方程后再将①式代入消去得到新方程，对比（*）式可得. 【详解】（1）由题意可知，化简得， 又当时，有，当时，有，即， 综上所述，动点P的轨迹方程为或. （2） 由（1）问可知当时，动点P的轨迹为抛物线， 设过点的直线为，则， 得，      ①              设过点A且与抛物线相切的直线为， ，得， ，又有，化简得，解得，            所以直线为，整理得直线为②        同理，过点B且与抛物线相切的直线为 （*），        方法一： 把代入直线②式，得，即点， 则直线BN为，将代入， 得， 整理得， 将①式代入消去m可得， 化简得， 即， 即， 即，进而，即为（*）式， 所以直线BN与抛物线相切．                 方法二：设点，代入②式，得，          再将①式代入消去，可得 对比（*）式可知，点N在过点B且与抛物线相切的直线上， 所以直线BN与抛物线相切. 10．已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为； (2)相切，证明见详解； (3). 【分析】（1）根据抛物线性质直接可得； （2）设出直线，的方程，联立抛物线方程求出坐标，从而得到直线的方程，利用圆心到直线的距离与半径关系可得； （3）根据面积公式可得，进而可得，直线方程分别联立抛物线方程和圆方程，利用韦达定理建立和的关系，结合判别式求出范围，然后可得范围. 【详解】（1）由抛物线方程可知，抛物线开口向上，其中， 所以抛物线焦点为，准线方程为. （2）直线与圆相切，证明如下： 易知直线，的斜率存在，圆的圆心为，半径， 设过点与圆相切的直线方程为，即 则，解得， 不妨记直线方程为，直线方程为， 设， 联立得，则，即， 所以， 联立得，则，即， 所以， 所以，所以的方程为， 整理得， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切. （3）记原点到直线的距离为， 因为，所以，即，所以， 所以线段和的中点重合， 联立得，则，， 联立得（*）， 则，， 因为线段和的中点重合，所以， 因为，所以，因为，所以， 又，所以，得， 由（*）整理得，将代入整理得： ，解得， 综上，，所以， 即m的取值范围为. 11．已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为 (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q 均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q 在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值. 【答案】(1) (2)是定值，2 (3) 【分析】（1）利用线段的中点在直线上列式计算求解； （2）设直线PQ的方程为，且，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算定值即可； （3）设，先求出，可得直线的方程为，再应用点到直线距离结合韦达定理及基本不等式计算求解. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 该中点在直线上，所以，解得， 所以C的方程为 （2）设直线PQ的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，且， 则 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标， 所以 ， 所以为定值2. （3）设， 与联立，得， 所以用代替k可得 ， ， 因此直线的方程为， 点到直线GH的距离为， 因为 ， 所以 ， 令，由得， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值为 12．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为. （i）求证：； （ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）（i）由题意得到，进而得到，即可求证；（ii）设直线的方程为：联立抛物线方程，结合韦达定理及中点坐标公式得到，再结合弦长公式及求解即可. 【详解】（1）因为点到点的距离等于点到直线的距离， 根据抛物线的定义可知，动点的轨迹为抛物线，其中为焦点，直线为准线， 所以点的轨迹为曲线的方程为 （2） （i）证明：由可知，，又因为在的上方 则，所以， 由中点为，可得 同理，又 所以： （ii）设直线的方程为： 联立，消去得： 所以 同理，，所以，则直线轴 则直线得方程为，代入抛物线可得： 由（i）可知，， 又 所以 解得： 即线段与长度的比值2 13．在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）的取值范围为 【分析】（1）由题意可得动点Q到点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可求轨迹方程； （2）（ⅰ）设，利用点在曲线上，可得，同理求得，结合已知可得，进而结合已知可得，结合直线的方程可求定点；（ⅱ）设，且，由题意可得，利用换元法可求得的取值的范围. 【详解】（1）依题意可知动点Q到点的距离等于到直线的距离， 所以动点Q的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以C的方程为； （2）（ⅰ）设， 因为在曲线上，所以，两式相减得：， 则理可得，， 因为为直角三角形，所以， 所以，即， 则， 又因为的重心G在x轴上，则有，即， 所以，直线的方程为， 所以直线的方程为，所以直线过定点； （ⅱ）设，且， 因为是的重心，所以， 不妨设，所以，， 所以，又因为， 所以，令，所以， 又因为在的下方，所以，即，即， 令，即， 设，则在为增函数， 所以，即. 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，定值为： (2) 【分析】（1）设的方程为，则的斜率为，设与相交于，，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可得，进而可得，，进而计算可求的值； （2）设，，，，求得直线的方程，可求得，设直线的方程为：，，，与抛物线方程联立，由，可得，进而可得，求其范围即可. 【详解】（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0， 因，过点，可设的方程为，则的斜率为， 设与相交于，， 由，得，则，， ， 同理可得， 所以； （2）设，，，， 因为， 所以直线，即. 同理：直线. 联立，解得. 设直线的方程为：，由对称性不妨设，，， 联立. 因为，解得，，，所以， 因为， 所以 ，化简得：. 所以. 因为， ， 所以 . ， 因，故，可得，则， 故的取值范围为. 15．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 16．已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可； （2）（i）法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，求得或即可；法二：设，由，结合直线BD的方程为，代入化简得到即可求证；（ii）设，设直线的方程为，直线的方程为，结合弦长公式及三角形面积公式，进而可求解； 【详解】（1）解：因为点在C上， 所以. 因为，所以， 则，解得， 所以的方程为. （2） （i）证明：法一：由题意知直线的斜率存在，. 设直线的方程为， 联立）得， 则， ， ， 所以， 解得或. 当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点. 综上，直线BD过定点. 法二：由题意知，设， 则， 同理可得. 由，得， 整理得①. 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即. 由①得，故直线BD过点. （ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为， 此时， 则. 由，得. 联立得， 由，得， 同理，所以， 则， 同理可得， 所以， ， 由题意得 . 因为在和上均单调递增， 所以， 又， 即16， 所以. 17．已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点F，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（） (3) 【分析】（1）首先求出点坐标，再由焦半径公式得到方程，求出，即可得解； （2）设，根据三点共线求出，设，由，得，，代入抛物线方程，即可得解； （3）推导可得，，设，，由面积公式及不等关系得到，设，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得，所以， 由抛物线的准线方程为，所以. 解得（其中舍去）.所以的方程为. （2）由题意，知. 设，则. 因为P，，F三点共线，所以，即. 设，由，得，， 所以，即（）. 所以的轨迹方程（）. （3）因为，所以. 因为， 所以.同理. 设，， 则， . 所以，解得. 又，设，有.于是， 解得，即的取值范围是. 18．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程可得，联立在处的切线方程，并整理可得交点的横坐标为，即证明点在的准线上； （2）根据在处的切线方程得到点的坐标，从而得到直线的斜率，根据得到； （3）由抛物线的对称性得，结合化简为，利用均值不等式求得最值. 【详解】（1）设，，因为三点共线，所以AB的方程为. 联立得，所以. 以A为切点的切线方程为，以B为切点的切线方程为， 两切线方程联立可得， 所以交点在的准线上. （2）将代入，可得. 因为，所以，则点P的坐标为. 焦点，则， 所以，故. （3）由（2）可知，所以. 由于抛物线的对称性，可令， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 因为与互补，所以， 故的最小值为. 19．设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的坐标，即可得到的坐标，从而求出抛物线方程； （2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求出，的坐标，再由向量的关系求出的坐标，即可得解； （3）推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由为线段的中点，可得， 所以曲线的方程为； （2）设，，，， 联立，消去x整理得，解得，， 则，， 因为，则， 因为，，则，所以， 所以，，即，直线的斜率为； （3）因为，，，， 所以，， 因为，所以 因为，，，， 所以，① 由代入①得， 由得， 因为，，所以，所以，同理， 所以且， 所以，因为，所以， 所以，得，即， 设，联立消去x，得， 所以，所以，则，所以过定点， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以四边形面积的最小值为 20．如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为． (1)若的焦点为，且的最小值为，求的值； (2)若存在点，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，可得，利用二次函数可求得最小值； （2）设，表示出过和的切线方程，求出和点坐标，根据在两直线上求出点坐标，进而再求出点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案. 【详解】（1）由题意可得，设，则且， ， 因为，所以当时，有最小值，解得． （2）由，得，所以， 设，所以，， 所以，又，整理得， 所以过点的切线方程为，于是， 同理得过点的切线方程为，所以． 因为点在两条切线上，所以， 可得点的坐标为，的方程为，于是． ， 所以，所以． 于是点，点的轨迹方程为， 根据题意抛物线与半圆有交点， 记，则，又因为，解得，即的取值范围为． 专题三：抛物线全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三下·全国·竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线可化为，再根据图象平移规律可得答案. 【详解】抛物线可化为， 因为其图象是把的图象上的点先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 且的焦点坐标为，根据上面平移规律可得， 的焦点坐标为即为. 故选：A. 2．（2010高二·广东广州·竞赛）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点得双曲线的半焦距，进而求得，即可求解渐近线方程. 【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距， 又虚半轴长且， ∴双曲线的渐近线方程是. 故选：D 3．（2007高二·全国·竞赛）和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动圆圆心为，根据已知条件，列出方程，整理化简即可求得结果. 【详解】设动圆圆心为，显然，依题意有：， 即，；又，解得； 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是. 故选：A. 4．（2014高二·全国·竞赛）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点坐标得到圆心坐标，由点到直线的距离求出半径，最后求出圆心到直线的距离，从而求出切线长最小值. 【详解】因为抛物线的焦点为，即圆心为，所以圆的方程为， 又圆与直线相切，所以， 所以圆的方程为， 则圆心到直线的距离， 所以最短切线长为. 故选：D． 5．（2015高二·全国·竞赛）已知抛物线上一定点和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，，则Q点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，由，运算得解. 【详解】设，， 由题意直线的斜率均存在， ，化简得， ，即， 解得或. 故选：B.    6．（2011高二·全国·竞赛）过抛物线的焦点作两条弦和，且轴，，则弦所在直线的方程是（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意求得两点的横坐标，利用弦长公式求得的值，继而求得的值，利用焦点弦弦长公式建立方程解出即可. 【详解】抛物线中，两点的横坐标为1， 由抛物线的定义，有， 所以， 设直线为，代入抛物线方程， 得， 设两点的横坐标分别为， 则有，又， 即8，解得， 故所求直线为或， 故选：B. 7．（2014高二·全国·竞赛）已知椭圆和抛物线相交于、两点，直线过抛物线的焦点，且，椭圆的离心率为．则抛物线和椭圆的标准方程分别为（    ）． A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，轴，且，故 根据抛物线的定义可知， 所以抛物线的标准方程为． 所以椭圆过点，又因为椭圆离心率为， 因此，解得， 则椭圆的标准方程为． 故选：B． 8．（2008高二·全国·竞赛）椭圆的左准线为，左、右焦点分别为，抛物线的准线也为，焦点为．设与的一个交点为，则（    ）． A． B．1 C．3 D．与的取值有关 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义得到各线段的关系，化简求值即可. 【详解】 设，作于点，连接，， ， ， . 故选：B 9．（18-19高三·北京·强基计划）已知圆上一点处的切线与抛物线相交于A，B两点，且满足，其中O为坐标原点，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】联立切线方程和抛物线方程后结合可求. 【详解】由题设可得， 根据题意，设切线方程为，故， 与抛物线方程可得， 设，由，故， 故，故， 故选：D. 10．（23-24高三下·全国·强基计划（多选题））抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 【答案】CD 【分析】对于，设直线的方程为，联立抛物线方程用韦达定理即可判断； 对于，求导得，则直线的斜率为，进而可得直线的方程，联立抛物线方程用韦达定理即可判断； 对于，过作轴平行线交于，结合选项知，的面积等于的2倍，根据直线的方程可得，可求，进一步可求得，利用基本不等式结合即可判断． 对于，由直线的方程可得坐标，进一步可得，即可判断； 【详解】 如图所示，切线记为，记为． 对于，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，故，故错误； 对于，因为，所以，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 联立，消去得，故，故正确； 对于，不妨设，过作轴平行线交于，根据选项知，的面积等于的2倍．（下面证明一下）, ，，由D选项的证明知道，则 直线的方程为，当时，， 故，由选项知， 故 ，当且仅当，即时取等号， 即，所以，故错误． 对于，由直线的方程可得，，， 所以，故正确； 故选：CD. 11．（15-16高三·北京·强基计划（多选题））已知过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法中正确的是（    ） A．以为直径的圆与直线没有公共点 B．以为直径的圆与轴只有一个公共点 C．的最小值为4 D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】由题设知道为抛物线的焦点，设，，则，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】因为为抛物线的焦点，设，，则． 对于选项A，， 线段的中点到直线的距离为， 因此以为直径的圆与直线相离． 对于选项B，，线段的中点到轴的距离为， 因此以为直径的圆与轴相切． 对于选项C，，因此的最小值为4． 对于选项D，，因此没有最小值． 故选：ABC 12．（2024高三下·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和它的两个零点（点在点的左侧），点是第一象限中的图象上一动点，设直线和直线分别交轴于点，若，则的值为 . 【答案】3 【分析】设，，点在抛物向上，求得直线和直线的方程进而解得点，，再计算得到的值； 【详解】设， 由题意可知，，点在抛物向上， 直线和直线的斜率一定存在， 则直线为，得； 直线为，得； 则 . 故答案为：3. 13．（2024高二下·全国·竞赛）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线交于两个不同点A，B（不同于点O），则△AOB外接圆半径的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设，直线与抛物线联立，求出的范围以及韦达定理内容，分别表示弦的垂直平分线方程,联立求出外接圆的圆心，并表示出半径的平方，化简得到关于的函数，结合的范围得到结果. 【详解】   联立，得， 因为直线与抛物线交于两个不同点A，B（不同于点O），设， 所以，所以且， ， 弦的斜率为，中点坐标为， 所以垂直平分线方程为，即 同理弦的垂直平分线方程为， 联立，解得， 设外接圆半径为，则 ， 令对称轴为， 所以当且时，且，即且， 所以外接圆半径的取值范围为， 故答案为：. 14．（2007高二·全国·竞赛）设点P是曲线上一点，点P到y轴的距离是，到直线l：的距离是则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】结合抛物线的定义，利用数形结合，转化求最值. 【详解】抛物线的焦点为，点P到抛物线准线的距离为，交y轴于点M，连接PF，作于点N， 则，， ∴， 故当、、三点共线，即P点是过点F作l的垂线段与抛物线的交点时，最小， 从而最小，最小值是. 故答案为： 15．（2017高二·全国·竞赛）已知的三个顶点都在抛物线上，且O为抛物线的顶点，抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为（m，n为常数且），记、、的面积分别记为、、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】利用已知条件可得D为BC中点，进而得到焦点在直线上，代入即可求出的值，结合得到，再利用三角形面积即可求解. 【详解】由，所以D为BC中点， 所以BC边的中线过F点，在中令得， 所以抛物线的焦点为，则，所以， 由得到， 因为， 所以=． 故答案为：. 16．（2016高二·全国·竞赛）的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 . 【答案】1 【分析】由题意设出点的坐标，且由已知得，从而由点到直线的距离公式求出点到直线BC的距离的最小值即可. 【详解】设， 点到直线BC的距离为， 当时，取得最小值， 则的面积， 且当时，的面积取得最小值，且最小值为1. 故答案为：1. 17．（2018高二·全国·竞赛）已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义得，即当三点共线时取得最小值，把转化为，解出实数的取值范围即可. 【详解】抛物线焦点，准线方程为，由抛物线的定义可知， ∴，即当三点共线时取得最小值，所以最小值为， 所以等价于. 故答案为：. 18．（2007高二·全国·竞赛）已知，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】从数式的形与构来看与两点间的距离公式的平方同构，建立平面直角坐标系，将问题转化为两点间的距离的平方即可求解. 【详解】令，，，， 则点是半圆上的点，点是抛物线上的点， 而表示点P､Q间距离的平方，即. 连接OQ，交半圆于点R，则， 所以，又显然，所以， 等号当且仅当Q是抛物线顶点且P是半圆顶点时成立，故S的最小值是4. 故答案为：. 19．（2022高三·浙江宁波·竞赛）设O为坐标原点，F是抛物线的焦点，若P是该抛物线上一点，且，则点P到y轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】不妨设在第一象限，由题设条件可得直线的倾斜角，从而可求其直线方程，联立抛物线方程后可求的坐标，从而可求该点到y轴的距离. 【详解】由抛物线的对称性不妨设在第一象限，而. 因为，故直线的倾斜角为，故其斜率为. 故直线的方程为：，即， 由可得，故（负解舍去）. 故，即P到y轴的距离． 故答案为：3. 20．（2021高三·全国·竞赛）抛物线，设它的某三条切线交于A、B、C三点，设的外接圆与x轴相切，切点为，则 ． 【答案】 【分析】先证明A、B、C、F四点共圆，得出D、F重合，进而求出. 【详解】设的焦点为，下面我们证明：A、B、C、F四点共圆．设直线与切于，直线与切于，直线与切于．则，于是直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．记为直线．设F在直线上的射影分别为，于是直的方程为，又直线方程为，则直线与直线交点为，所以均在y轴上，故三共线，由Simson定理逆定理知：A、B、C、F四点共圆．所以D、F重合，于是． 21．（2017高一·江苏盐城·竞赛）已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设直线方程，联立抛物线求的中点坐标，结合、求参数m、t的关系及范围，讨论、及点线距离公式求的范围. 【详解】设直线方程，与抛物线方程联立得， ，则的中点， ，化简得，则，即， 当时，过在x轴的交点满足题设，显然有两条直线满足题意， 当时，也有两条直线满足题意，则. 故答案为： 22．（20-21高三·北京·强基计划）如图，过抛物线上一点P作切线l，过O点作l的垂线交于点Q，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图，设l与x轴，y轴分别交于点M，N，可证N为的中点，，故可求三角形的面积. 【详解】如图，设l与x轴，y轴分别交于点M，N， 设，则的方程为：即 故，则N为的中点， 故， 设，则， 从而，因此的面积为． 故答案为： 23．（20-21高三·江苏·强基计划）已知抛物线的焦点为F，准线，点M在抛物线C上，点M在直线上的射影为A，且直线的斜率为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的准线方程可求抛物线的方程，由直线的斜率为，可得直线的倾斜角，解三角形求的面积. 【详解】∵ 抛物线的准线方程为x=﹣， ∴ 抛物线的焦点为F（，0），抛物线C：y2=4 ∵  点M在抛物线C上，点A在准线l上，，且直线AF的斜率kAF=， 所以直线AF的倾斜角为， 设准线与x轴的交点为N，则, ∴  ， 又 ，∴ 为等边三角形， ∴   故答案为：. 24．（2007高二·全国·竞赛）已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ. (1)求点R的轨迹方程. (2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论. 【答案】(1)或 (2)不存在，证明见解析 【分析】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，消元得到.计算判别式得出，根据韦达定理结合平行四边形的性质得出点R坐标，进而消去参数，即可得出答案； （2）假设存在，根据正方形的性质得出，.根据韦达定理结合斜率关系，推导得出矛盾，从而得出假设错误. 【详解】（1）显然直线的斜率存在，且，设直线，， 联立直线与抛物线的方程得，. 计算可得，，所以，且. 由韦达定理可得，， 则. 因为，POQR为平行四边形， 所以，PQ与OR相互平分，则， 所以，. 消元可得，. 因为，且，， 所以或. 所以，点R的轨迹方程是或. （2）假设存在l，使四边形OPRQ为正方形. 根据正方形的性质，应满足，. 由可得，， 所以，， 即， 由韦达定理得， 解得，满足； 由得，， 所以， 所以，，即. 又， 所以有， 解得或（舍去）， 这与或矛盾. 所以，假设不正确， 所以，不存在这样的直线. 25．（2012高二·全国·竞赛）已知抛物线经过椭圆的两个焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)设，又点为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】 （1）由抛物线和椭圆的几何性质联立可解出离心率； （2）两曲线方程联立，解出的坐标，再由重心坐标公式求出三角形的重心，最后代入抛物线方程即可求出. 【详解】（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， 所以，由得椭圆的离心率． （2）由（1）可知，椭圆的方程为， 联立抛物线的方程，得，解得或（舍去）， 所以，即， 所以的重心坐标为， 因为重心在上，所以， 因为，得，所以， 所以抛物线的方程为，椭圆的方程为． 26．（2012高二·全国·竞赛）已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，那么为定值吗？证明你的结论． 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 【分析】（1）由抛物线的焦点求得椭圆的短半轴，再利用求解； （2）设点A、B、M的坐标分别为，，由，求得A的坐标代入椭圆方程，从而得到,同理，由，得到求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为抛物线的焦点为， 由题意知， ，故椭圆的方程为． （2）设点A、B、M的坐标分别为， 易知点的坐标为， ，， ， 将点坐标代入椭圆方程得， 整理得．① 同理，由，可得② 由①②可知是方程的两个根， 为定值． 27．（2010高二·全国·竞赛）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在轴上截得的弦． (1)试判断的长是否随圆心的运动而变化．并证明你的结论； (2)当是与的等差中项时，抛物线的准线与圆有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】(1)的长不随圆心的运动而变化，证明见解析 (2)相交，理由见解析 【分析】（1）设圆心，圆的半径为，由此结合圆的几何性质，求出的长，即可得结论； （2）由是与的等差中项，结合的长，推出，继而判断圆心到抛物线的距离和圆的半径的大小关系，即可得结论. 【详解】（1）判断：的长不随圆心的运动而变化，证明如下： 设圆心，则，圆的半径为， ， 作轴，则垂足为的中点， 为定值， 所以的长不随圆心的运动而变化. （2）设点，圆的方程：， 与联立得：， 是与的等差中项，，． 又， 即， 设圆心到抛物线的准线的距离为， 则，即． 故抛物线的准线与圆相交. 28．（2016高二·全国·竞赛）设抛物线的准线与轴交于，焦点为，以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为，自引直线交抛物线于、两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设． (1)求抛物线的方程和椭圆的方程； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可得的值，设出椭圆方程，结合题意计算即可得解； （2）令、，则，由得，欲证，只需证，即只需证，化简可得，设出直线方程，联立抛物线方程，借助韦达定理即可得，即可得证. 【详解】（1）由在抛物线上，故有，解得， 故抛物线的方程为，其准线方程为，故， 则椭圆焦点在轴上， 由在椭圆上，设该椭圆方程为， 则有，又，， 解得，，故椭圆的方程为； （2）令、，则， 由椭圆的方程为，则，， 由得：，则， 欲证：，只需证：，即， 即只需证，化简可得，即只需证， 由题意可得直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，与抛物线的方程联立， 有，即， ，即， 由韦达定理可得，即得证. 29．（2008高二·全国·竞赛）设和是抛物线上的两个动点，使得在和处的两条切线相互垂直，由点及抛物线的顶点所构成的三角形重心的轨迹为一抛物线，对再重复上述过程，又得一抛物线，依此类推．设如此得到抛物线序列为，如果的方程是，试求的方程． 【答案】 【分析】根据的方程设出各点坐标，再求出重心坐标即可得到轨迹，最后进行常数代换求出的方程. 【详解】因为的方程为，故可设其上任一点坐标为，其中为实数．点处的切线斜率为． 设， 在和处的两条切线垂直， ，即，① 又重心，② 由①②得重心轨迹：， 相当于的方程中常数换为，把顶点向右移动． 为从得到需把换为，顶点再向右移动， 的方程为， 类推，的方程为. 30．（2007高二·全国·竞赛）抛物线上恒有两点关于直线对称．求的取值范围． 【答案】 【分析】设直线AB的方程为，联立方程组，求得AB中点为，代入直线方程，得到，再由，得出关于的不等式，即可求解. 【详解】解：设两点，关于直线对称， 且直线AB的方程为， 联立方程组，整理得， 再设AB中点为，则，可得， 又点M在直线上，代入得， 解得， 又因为AB为抛物线交于两个不同点，可得， 即，整理得，即， 所以，因为， 所以，所以实数的取值范围为．    31．（2024高三上·全国·竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据题意可得抛物线方程，设，不妨设，求出，求出过点T的切线方程，由到的距离不大于1，得到，得解； （2）设过点A的另一条切线与相切于，可得，所以直线，证明，可得，可证，进而，求得. 【详解】（1）根据题意，可得，，，抛物线方程为， 设，根据对称性，不妨设，则， 因为点在曲线上，在点处导数为， 所以的方程是， 存在A使得等价于到的距离不大于1， 所以，解得，所以. （2）设过点A的另一条切线与相切于， 由（1）同理可得，又因为点A分别在上， 所以直线， 先证明， 由. 联立直线和抛物线，得到是方程的两根，由根与系数的关系，， 代入， 得到，所以， 又因为 ， 因为，所以，， ， 所以，所以，当且仅当时等号成立. 【点睛】思路点睛：第一小问，设，利用导数求出的方程是，根据直线到的距离不大于1，求得，代入得解；第二小问，设过点A的另一条切线与相切于，求得直线，先证明，可得，可证，进而，求得. 32．（2024高三上·全国·竞赛）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）． (1)当时，求点A的纵坐标； (2)斜率为的直线与抛物线交于B，C两点，且是正三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，直线代入抛物线方程，根据方程有两个相等的实根即可求出，根据即可求解； （2）设直线，代入抛物线求出和的关系式，设直线，同理求出和的关系，不妨设A，B，C是绕着的重心逆时针排列，由求出和的关系式，据此即可求解. 【详解】（1）由题意可设，直线， 代入抛物线得， 由题意，方程有两个相等的实根，故，又， 所以点A的纵坐标； （2）    由题意可设直线， 代入抛物线得，故， 设直线，同理可得， 由知， 不妨设A，B，C是绕着的重心逆时针排列的，由知， 代入化简得， 由图易知时与同号， 当时如图，   点不存在，所以， 对于，想象这个图顺时针转了一个小角度，AC直线延长和抛物线的交点在轴下面，所以， 所以，又，进而， 代入化简得， 得， 当时，易知轴，B位于坐标原点，此时， 而均不符合题意，因此， 的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于不妨设A，B，C是绕着的重心逆时针排列，由求出和的关系式. 33．（2024高二·全国·竞赛）已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程为. （2）设、、，利用点在抛物线上可用纵坐标表示三点，利用斜率关系可得三个纵坐标的关系，从而可以的斜率表示，结合基本不等式可求的最小值，故可求面积的最小值. 【详解】（1）设点，因为，且点在轴上，所以， 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. （2）设该正方形为，其在上的三个顶点为、、， 不妨设，在轴的下方（包括轴），且， 则， 设直线的斜率为，则， 所以，，故，故. 又，所以， ，将，用表示， 得， 故， ，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 结合，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以正方形面积，当时取最小值. 34．（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 35．（2023高三下·全国·竞赛）设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为． (1)求直线的斜率； (2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点、、，则，利用斜率公式结合已知条件可求得的值，进而可得出点的坐标，由此可求得直线的斜率； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出，根据可求得的取值范围，求出、，可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：设点、、，则， ，同理可得，， 因为直线、的倾斜角互补，则， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，，即点， 易知点，所以，直线的斜率为. （2）解：设直线的方程为， 联立可得， 则且，可得且， 由韦达定理可得，可得，整理可得，解得， 所以，， 此时，，同理可得， 所以，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 36．（2021高三·陕西渭南·竞赛）已知动点P到直线l：的距离比到定点的距离多1. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合题意进行求解即可； （2）根据解方程组求出B点坐标，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为P到直线l：的距离比到定点的距离多1， 所以有， 当时，化简为，显然满足； 当时，化简为，显然不满足， 综上所述：动点P的轨迹E的方程； （2）设，由题意可知， 因此，所以直线OC的方程为， 当时，直线OC与曲线E只有一个交点，不符合题意， 于是直线OC的方程与曲线E方程联立，得 ，或，即， 当时，即时，直线AB的方程为； 当时，即且时， ， 直线AB的方程为：， 因为，所以有，因此直线AB过定点， 显然直线也过点， 综上所述直线AB过定点. 【点睛】关键点睛：利用方程有任意实数解的性质是解题的关键. 37．（2020高三·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点.求圆的半径. 【答案】 【分析】设圆的半径为，可表示出圆的方程，与抛物线的方程联立消去，利用“恰有一个公共点”等价于“方程只有一个根”可求解. 【详解】易知的焦点的坐标为.设圆的半径为. 由对称性，不妨设在轴上方与轴相切于点， 故的方程为.① 将代入①并化简，得. 显然，故.② 根据条件，②恰有一个正数解，该值对应与的唯一公共点. 考虑的最小值. 由平均值不等式知， 从而. 当且仅当，即时，取到最小值. 由②有解可知. 又假如，因随连续变化，且及时，均可任意大， 故②在及上均有解，与解的唯一性矛盾. 综上，仅有满足条件(此时是与的唯一公共点). 【点睛】本题考查解析几何中圆与抛物线的综合问题，解题的关键是把“恰有一个公共点”转化为“方程只有一个根”.解题过程中涉及图形的对称性、平均值不等式(或导数)求最值等变形技巧. 38．（2017高二上·安徽阜阳·竞赛）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点. （1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程； （2）若，求直线的方程； （3）已知为原点，求证：为定值. 【答案】（1）， ， ;（2）或;（3）为定值. 【详解】试题分析：（1）将代入，得，由此能求出抛物线方程和焦点坐标；（2）设，及直线的方程，联立方程组结合韦达定理得，，由即，代入得的值，故可得其直线方程；（3）设，，写出直线的点斜式方程，将代入得，同理可得，利用整体代换思想得可得结果. 试题解析：（1）将代入，得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为. （2）设，， 设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得： ， 则由韦达定理得： ，. 由得，，又，， 所以，， 所以，， 所以，，解得， 所以，所求直线方程为或. （3）设，， 直线的方程为：，即， 令，得， 同理可得：，又，， . 所以，即为定值. 39．（22-23高一上·安徽淮南·强基计划）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 【答案】(1)；. (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）把点代入即可求解. （2）①由抛物线焦点和准线性质，及三点共线即可求最值； ②求出以为直径的圆的圆心，再求出圆心到准线的距离即可证明. 【详解】（1）把代入得: ，解得， 所以抛物线C的解析式为； 在中，令得，或，所以. （2）①根据题意，抛物线解析式为， 所以抛物线的焦点为，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图: 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， 因为， 所以， 因为， 所以点与点重合时的值最小，此时的值最小， 因为，，，，， 所以的最小值为. ②证明：设直线的解析式为， 由，得或， 不妨设 ，， 以为直径的圆，圆心为的中点即，， 抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为， 所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.    40．（21-22高一·安徽芜湖·强基计划）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题： 如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，且过点， (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象． ①设为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2)① ；②0 【分析】（1）利用抛物线上的点，可求得a的值，即得答案； （2）①根据图象的平移可得方程，利用抛物线性质将球最小转化为只需求最小值即可； ②设，利用设切线方程，和抛物线联立，求得P点坐标，通过设直线的方程，联立抛物线方程推出，分别求出的值，可得答案. 【详解】（1）由抛物线的图象过点，可得， 解得，于是抛物线的解析式为. 令，得，所以点A的坐标为. （2）由（1）得抛物线， 由题意，可得它经过平移后可得抛物线的解析式为，即. ①根据阅读材料中的结论，，故， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 如图，设抛物线的焦点为，将延长交直线于点E， 根据阅读材料中的结论，可得，则， 于是 要使最小只需最小即可． 根据两点间线段最短，可得（三点共线时取“=”）， 即最小值为． 在中，由勾股定理，可得， 于是的最小值为． ②设， 设直线，由点在直线上得， 即直线， 再与抛物线联立，得， 由，得， 故直线，同理得， 联立，解得，得， 再设直线，联立，得，则， 由材料内容可知， ， 而， 故，所以. 【点睛】难点点睛：求解的值是本题的难点所在，解答时要根据题意设出切线方程，和抛物线方程联立，表示出点P坐标，从而可以表示；关键在于再设直线，联立推出，得到和相等，即可求解答案. 41．（18-19高三·北京·强基计划）如图，开口向右的抛物线对称轴与x轴重合，焦点位于坐标原点处，并且过点．设直线与抛物线交于两点，直线看与抛物线交于两点． (1)求抛物线方程． (2)求证：． (3)设直线分别与y轴交于P，Q两点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设可得焦点到准线的距离，从而可得抛物线的方程. （2）联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可证. （3）算出直线的截距后利用（2）的结论可证. 【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点到准线的距离为2，进而其方程为． （2）由可得，故， 所以，同理，故. （3）直线的方程为：， 故直线的纵截距为， 同理直线的纵截距为， ， 而， 因此直线与直线的截距互为相反数，命题得证． 42．（20-21高三·北京·强基计划）如图，已知抛物线，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K． (1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程． (2)连接，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）切线方程为，联立直线方程和抛物线方程后利用判别式为零可求斜率，从而得到切线方程. （2）设，利用（1）中的方法可求切线方程，从而得到的坐标，从而得到直线，联立直线方程和抛物线方程后可求的值，从而可求，利用换元法和基本不等式可求表达式的最小值. 【详解】（1）根据题意，有，且在处的切线的斜率存在， 设切线方程为，由可得， 由解得，故切线的方程为：． （2）设，同（1）可得， 进而，从而，因此． 设，由可得， 故即 因此设，显然，则， 解得， 且由点到直线的距离公式， 因此， 其中，等号当即时取得，因此所求最小值为8． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$