2025年九年级数学中考二轮复习二次函数中抛物线与x轴的交点问题综合题专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习 二次函数中抛物线与x轴的交点问题综合题专题提升训练 1．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式； (2)若此二次函数的图象上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (3)以，，，四个点为顶点作矩形，若此二次函数的图象在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差为，直接写出a的值． 2．在平面直角坐标系中，若点中为整数，则称点为轴上的整点，已知抛物线（实数为常数）与轴交于，两点． (1)求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若该抛物线在，两点之间（包括端点）的整点的个数为10个，求整数的值． 3．如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线是否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 4．如图，已知二次函数． (1)若图象经过点和，求二次函数的表达式； (2)若时，二次函数与轴只有一个交点，求二次函数的表达式； (3)在（1）的条件下，当时，求的取值范围． 5．已知点，点都在抛物线上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)点P是抛物线在x轴上方的一个动点，当时，求P点坐标． 6．等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． (1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是_____； (2)如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线过x轴上的点，与y轴交于点D，与抛物线交于B，C两点，点B的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． 8．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 9．定义：在平面直角坐标系中，若点为直线与抛物线的一个交点，则称点为此抛物线的“叠点”．例如：经过计算可知和都是抛物线的“叠点”．已知抛物线：与轴分别交于点，（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)试判断抛物线有几个“叠点”，并说明理由； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． 试直接写出抛物线的解析式为：______； 如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，请问：当的面积取到最大值时，点是否为抛物线上的“叠点”？请给出结论，并说明理由． 10．已知：二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为 ，与y轴交于点 C，点 在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，且P在x轴上方，要使 的面积为6，求P 点坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设． ①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围； ②当时，直接写出m的取值范围． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． (1)点A坐标为______，点B坐标为______； (2)抛物线顶点坐标为______． (3)当x满足______时，； (4)若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 13．如图①，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点C，与x轴的另一交点为B． (1)直接写出点B的坐标； (2)求抛物线的解析式，并求出点C的坐标； (3)如图②，点是线段上的一个动点，过点M作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积S随着m的增大而增大时，求m的取值范围． 14．如图，抛物线与轴交于、两点，顶点在轴负半轴上，若． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若将（1）中抛物线平移得到，其顶点坐标为，且抛物线与直线总有交点，求的取值范围． 15．已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)或或 (3)或或或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意，可得出此抛物线上有且只有 3 个点到直线的距离等于时，抛物线的顶点到直线的距离等于，即可求出的值，从而求出抛物线上到直线的距离等于的点的坐标； （3）结合函数图象，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，． ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，其中一个是顶点， 当时，， 解得，， 综上所述点的坐标为或或； （3）解：由（2）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形， 当时，，如图， 此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， ∴ 解得或（舍去）． ∴当时； 当时，如图： 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点，纵坐标为， a为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得（舍去）或， ∴当时， 第二种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得或（舍去） ∴当时， 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ∴，解得或（舍去）． ∴当时， 综上所述：当时，a的值为或或或． 2．(1)抛物线的对称轴为直线 (2)整数的值为、、、、、． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数点的坐标特征，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据对称轴运算式子运算求解即可； （2）解出二次函数与轴上的交点，再分类讨论交点的位置求解即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴为直线； （2）∵， ∴当时，， 解得，． ∵，两点之间的整点的个数为个， ∴①当时，则， 解得， ∴整数的值为、、； ②当时，则， 解得， ∴整数的值为、、， 综上所述，整数的值为、、、、、． 3．(1)或 (2)； (3)是； 【分析】本题考查待定系数法，二次函数与相似三角形的综合问题，根与系数的关系等知识，运用数形结合思想和函数交点与方程（组）的关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）作轴，作轴，联立方程组可求出点的坐标，继而求出点H的坐标，点 ，证明，得到，即，再根据二次函数的最值求解即可； （3）根据题意得出的解析式为，令，利用根与系数的关系得出得出，，设直线的解析式为，令，同理得出，设直线的解析式为，令，再同理得出，继而得到，设直线的解析式为，令，得到，得到，从而得到直线的解析式为，从而求出定点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，设顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把A的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为；    或 ； （2）解：作轴，作轴，分别交直线与点H、G 由题意得，， 解得或， ∴， ∵点D与点B纵坐标相等， ∴点D与点B关于直线对称， ∴   ∵点H在直线上，横坐标是， ∴  则    设点 ) 则点G(t， t) ∴ ∵轴，作轴 ∴ ， ， ∴ ∴ ， 即    ∴ 当 时，有最大值， 此时，点； （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 令， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，即时，， ∴直线经过定点． 4．(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）二次函数与轴只有一个交点，即为对应的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； （3）先求出函数值为时的x的值，再根据函数开口向上结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把和代入，得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：当时，二次函数表达式为， ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为或； （3）解：在中，当时，或， ∵二次函数开口向上， ∴当时，． 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交x轴于点E，过C作轴于F，先求得，，然后再求得直线为得到，进而可得，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质可求解； （3）法一：设，先求得直线的解析式和直线的解析式；联立方程组求得直线与直线的交点N的坐标，利用等角对等边得到，然后利用两点坐标距离公式列方程求得t值即可； 法二：连接，与交于点N，先求得直线的解析式为，设，利用等角对等边得到，根据两点坐标距离公式列方程求得t值，则，再利用待定系数法求得直线的解析式为，与抛物线解析式联立方程组求解即可； 法三：由（2）知，取的中点N，连接，利用直角三角形斜边上的中线性质和中点坐标公式得到，N为，则，延长与抛物线的交点即为点P，求得直线的解析式为，与抛物线解析式联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：依题意得： 解得 抛物线的解析式为； （2）解：延长交x轴于点E，过C作轴于F 则， ， 设直线为 则，得 直线为 ； （3）解：法一： 设，则且，连接，与交于点N， 设直线的解析式为 代入，有，解得 直线的解析式为； 设直线的解析式为，代入， 有，解得 直线的解析式为； 点N是直线与直线的交点 ，解得，即 又， ，解得 ， ∴点P的坐标为． 法二：连接，与交于点N， 设直线的解析式为 代入，有，解得 直线的解析式为 设 ，， ，解得 设直线的解析式为，代入， 有，解得 直线的解析式为 联立，解得：或 点P的坐标为． 法三：由（2）知 取的中点N，连接 则，N为 ∴ 延长与抛物线的交点即为点P 设直线的解析式为，代入， 有，解得 直线的解析式为 联立，解得：或 点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点问题、坐标与图形、等腰三角形的性质、两点坐标距离公式、直线与抛物线的交点问题、直角三角形的斜线中线性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想和“一题多解”思想的运用是解答的关键． 6．(1) (2) (3)存在，或或，理由见详解 【分析】（1）根据题意，可得中点为，对称轴直线为，结合“美丽抛物线”的定义即可求解； （2）根据题意可得的中垂线为直线，由新定义可得，根据中点坐标得到，即可求出，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入可得二次函数解析式，设，则有，，根据，列式求解即可； （3）根据平行四边形的性质，由中点坐标的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴中点为，对称轴直线为， ∵抛物线是“美丽抛物线”， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得的中垂线为直线， ∴，即， 解得，， ∴， 设抛物线解析式为，把顶点坐标代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵点是轴上方抛物线上一点， ∴设， 如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴，则， ∴； （3）解：存在，理由如下， 已知，设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的中点坐标相同， 第一种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 第三种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，解直角三角形的运用，二次函数图象的性质，掌握解直角三角形的计算，二次函数与平行四边形的综合运用，中点坐标的计算方法是解题的关键． 7．(1) (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）将直线的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出的值． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由题可知，直线的解析式为． 联立得：，解得：或， 点的坐标为． 对于，当时， 点坐标为． 8．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象即可求得； （2）求得直线经过点以及直线经过点时的的值即可； （3）求得直线经过点以及直线与函数相切时的的值即可． 【详解】（1）解：通过观察图象可得的解为， 故答案为：； （2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根， 当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根， 当方程有四个不同的实数根时，， 故答案为：； （3）解：把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， 当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或． 9．(1)抛物线有两个“叠点”，见解析 (2)   不是，见解析 【分析】（1）根据抛物线的“叠点”定义，令整理得，再判断出，即可解决问题； （2）根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求解； 过点作轴，交直线于，运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线有两个“叠点”，理由如下： 在抛物线：中，令，得：， 整理得：， ， 又， ， ， 有两个不相等的实数根， 直线与抛物线：有两个不同的交点， 抛物线有两个“叠点”； （2）解：抛物线：， 抛物线的对称轴是直线， 解得：， ， 故答案为：； 当的面积取到最大值时，点不是抛物线上的“叠点”， 理由如下：如图，过点作轴，交直线于， 由题意得点的坐标为， 对于二次函数，当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，的坐标分别代入得， 解得：， 直线的解析式为， 是抛物线上的一个动点， 设，则， 令，解得：， ， 点在第一象限内， ， ， ， ， 当时，最大， ， ， 点不是抛物线上的“叠点”． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了用抛物线与轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，二次函数综合问题--面积问题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 10．(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系进行求解． （1）通过待定系数法求函数解析式； （2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴， ∵三角形的面积为6，P在x轴上方， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； ∴点P坐标为或． 11．(1)； (2)； (3)①；②或． 【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法求解； （2）先证，求出点F的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程即可求出点M的坐标； （3）① 分，，，四种情况，分别求解；②分，，三种情况，令，解方程即可． 【详解】（1）解：把点、代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，或3， ∴D点坐标为， ∴. 又∵，， ∴， ∴， ∴F点坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得，， 即， 解方程组，得或， 即M点坐标为． （3）解：由（1）知，， ∴点C为． P点坐标为． 过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称， ∴E点坐标为（2，3），如图所示： ①（i）当点P在点B和点C之间时，即时，，，． （ii）②当点P在点C和点E之间时，即时，，，； （ⅲ）当点P在第一象限且在点E下方时，即时，，，． （iv）当点P在x轴及第四象限时，即时，，.． 综合得：． ②当时，，解得（舍去）；当时，都符合题意； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 12．(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象解决函数的交点问题”是解本题的关键． （1）把代入抛物线的解析式先求解的值，再令，可得，再解方程即可； （2）把抛物线化为顶点式，从而可得答案； （3）根据函数图象，找出轴下方的函数图象，可得答案； （4）结合（3）中图象解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线为：， 令， 则， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； 故答案为：； （3）解：观察图象得，当时，； 故答案为：； （4）解：由的图象可得：当过抛物线的顶点时，， 此时二次函数的图象与直线有1个交点， ∴二次函数的图象与直线有两个交点， 则k的取值范围是． 故答案为：． 13．(1) (2)，点C的坐标为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解； （2）设出二次函数顶点式，利用待定系数法求出解析式，与一次函数解析式联立，解方程即可得到点C的坐标； （3）点，则，，分点D在点C左侧与右侧两种情况，列出S关于m的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 为抛物线与x轴的一个交点， 点B的横坐标为， 点B的坐标为； （2）解：设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 联立和， 解方程组得，， ∴点C的坐标为； （3）解：∵点， ，， ①当点D在点C左侧时，， ， ， ， ∴当时，S最大， ∴当时，S随m的增大而增大； ②当点D在点C右侧时，， ， ， ， ∴当时，S最小， ∴当时，S随m的增大而增大； 综上可得，当或时，S随m的增大而增大． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质等知识点，第3问有一定难度，解题的关键是列出S关于m的二次函数关系式，注意分情况讨论，避免漏解． 14．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法确定抛物线的解析式，抛物线与一次函数的交点问题： （1）根据题意设抛物线解析式为，再将代入解析式求出的值即可； （2）先确定的解析式为，联立方程组，转化为，再根据两函数图像总有交点可得，求解即可； 将两函数图像的交点情况转化为一元二次方程的根的情况是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线顶点在轴负半轴上，且， ∴，， 设抛物线的解析式为，即， 当时，得： 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵将（1）中抛物线平移得到，其顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为：， 联立，得：， ∵抛物线与直线总有交点， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 15．(1) (2)①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$