精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 7 2. 四边形中，若，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 3. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，，则 5. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 7. 已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于，下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则 11. 如图，在棱长为6的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 直线与直线所成角的最大值为 C 面 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为__________. 13. 已知向量，若，则实数__________. 14. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 将棱长为正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点． （1）求证：平面； （2）求几何体的体积． 17. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面. 18. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点. （i）若，求； （ii）若，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知复数满足，则（ ） A B. 2 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出． 【详解】已知，即．则． 可得． 故选：C． 2. 四边形中，若，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量关系得且，即可判断四边形形状. 【详解】由知：且，故为梯形. 故选：B 3. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，复数的实部为0且虚部不为0，可得. 【详解】已知是纯虚数， 则实部，解得，且虚部，经检验满足， 故选：D 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论. 详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，如图所示，，，，，但，故C错误； 对于D，因为，所以过有唯一平面， 又，，所以， 又，，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 5. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再求出向量在向量上的投影，即可得到答案； 【详解】， ，， ， ， 向量在向量上的投影向量， 故选：A 6. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值. 【详解】由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，. 故选：A 7. 已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方可得，然后结合向量夹角余弦公式可得答案. 【详解】由两边平方可得， 又，，所以， 所以. 因为，所以. 故选：A 8. 已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可. 【详解】设分别为正棱柱上下底面的中心，即， 由几何体的特征易知其外接球球心在上，如图所示， 根据正三角形的中心性质可知，同理， 设外接球半径为则， 所以有， 则外接球体积. 故选：D 【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合勾股定理构建方程组解方程求半径即可. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及模长的定义分别判断各选项. 【详解】 如图所示， 设的三边中点分别为，，， 则， 所以，A选项错误； 成立，B选项正确； 由点为三角形重心，可知，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：BCD. 10. 对于，下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用小边对小角可判断A，利用正弦函数性质可判断B，利用角化边结合余弦定理可判断C，利用正弦定理结合大角对大边可判断D. 【详解】对于选项A：因为，，所以只有一解，故A错误； 对于选项B：因为在三角形中，， 故若，则或，可得或， 所以等腰三角形或直角三角形，故B错误， 对于选项C：若，由正弦定理得， 由余弦定理，且，所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确； 对于选项D：若，则，由正弦定理可得成立.故D正确. 故选：CD. 11. 如图，在棱长为6的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 直线与直线所成角的最大值为 C. 面 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当时，最短，然后由可得；对于B，即为直线与直线所成角，当点运动到点时，最大；对于C，由题可得平面平面，据此可得面；对于D，如图把平面沿展开到平面所在平面，连接交于，此时最小，据此可得最小值. 【详解】对A，连接，，，，如图， 当时，最短，由正方体棱长为6，， 所以，可得，故A错误； 对于B，将直线平移至，则即为直线与直线所成角， 显然，当点运动到点时，该角的最大值为，故B正确； 对于C，连接，，，，，如图， 在正方体中，，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，，平面，所以平面平面， 又平面，所以面，故C正确； 对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图， 连接交于，此时最小，最小值为， 在中，，， ，D正确， 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正四棱锥的性质，求出底面边长，代入棱锥体积公式即可得到. 【详解】因为正四棱锥的底面周长为8 ， 所以正四棱锥的底面边长为2， 正四棱锥的底面积为 ， 因为正四棱锥的高为3， 正四棱锥的体积为 ， 故答案为：4 13. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 14. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设 根据可得，进而根据的面积公式可得的关系，再根据基本不等式可得当为等腰三角形时取得面积最小值，进而得出此时，结合三角函数求解即可. 【详解】如图，连接，作于，由题意，，故，所以. 设则由面积公式，，即.由余弦定理，结合基本不等式，即，当且仅当时取等号. 故取最小值时，此时. 故. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式以及正弦定理计算可得； （2）结合余弦定理和三角形面积公式计算可得面积 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 得，则， 由正弦定理得， 解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 当时，由余弦定理， 得，即，解得， 则. 16. 将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点． （1）求证：平面； （2）求几何体的体积． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，，，推导出四边形为平行四边形，可得出，再由线面平行的判定可得平面； （2）由正方体的棱长为2，求得，，，再由体积作差可得几何体的体积． 【详解】（1）取中点为，连接、、． 在正方形中，为的中点，为的中点． 在正方体中， 且，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 为的中点，且，则四边形为平行四边形， ， 又平面，平面，因此，平面； （2）∵正方体的棱长为， ，． 又，且，而， ． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题． 17. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，则为中点，可得，根据线面平行的判定定理可证； （2）通过转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果. 【小问1详解】 连接，则为中点，又点为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设， 则，，， 在中，由余弦定理，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如图所示，因为，分为，的中点，所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，可得平面， 又，，平面， 所以平面平面. 18. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可； （2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点. （i）若，求； （ii）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正三角形的性质知其费马点为其中心，再利用正三角形性质求解； （2）（i）设，，，，，，利用三角形的面积得出，再由数量积的定义可得；（ii）利用余弦定理和勾股定理得出，再结合基本不等式可得结论. 【小问1详解】 由费马点的定义可得：即为该等边三角形的中心， 如图：过作于，则，，故，同理， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为. 【小问2详解】 （i）因为，由正弦定理，得， 且，所以得， 所以的三个角都小于，则由费马点定义可知，， 设，，，，，，由， 得，整理得， 则 （ii）由余弦定理得 ，， ， 由勾股定理得，， 即， 所以，即， 而，，，当且仅当时，等号成立. 设，则，解得或（舍去）， 故最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $