广西壮族自治区南宁市第二中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数学 参考答案 一、单选题 1．【答案】C【详解】已知，即．则． 可得． 2．【答案】B【详解】由知：且，故为梯形. 3．【答案】D【详解】已知是纯虚数， 则实部，解得，且虚部，经检验满足 4．【答案】D【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，如图所示，，，，，但，故C错误； 对于D，因为，所以过有唯一平面， 又，，所以，又，，所以， 所以，故D正确. 5．【答案】A【详解】，，， ，，向量在向量上的投影向量. 6．【答案】B【详解】由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，. 7．【答案】A【详解】由两边平方可得， 又，所以， 所以.因为. 8．【答案】D【详解】设分别为正棱柱上下底面的中心，即， 由几何体的特征易知其外接球球心在上，如图所示， 根据正三角形的中心性质可知，同理， 设外接球半径为则， 所以有， 则外接球体积. 二、多选题 9．【答案】ACD【详解】如图所示，成立，A选项正确； 设的三边中点分别为，，，则， 所以，B选项错误； 由点为三角形重心，可知，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确. 10．【答案】CD【详解】对于选项A：因为，所以只有一解，故A错误； 对于选项B：因为在三角形中，， 故若，则或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B不正确， 对于选项C：若，由正弦定理得， 由余弦定理，且 所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确； 对于选项D：若，则，由正弦定理可得成立.故D正确. 11．【答案】BCD【详解】对A，连接，如图，  当时，最短，由正方体棱长为6，， 所以，可得，故A错误； 对于B，将直线平移至，则即为直线与直线所成角， 显然，当点G运动到点时，该角的最大值为，故B正确； 对于C，连接，如图，   在正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，同理可得∥平面， 又，平面，所以平面∥平面， 又平面，所以面，故C正确； 对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图，  连接交于，此时最小，最小值为, 在中，， ，故D正确. 三、填空题 12．【答案】4【详解】因为正四棱锥的底面周长为8 ，所以正四棱锥的底面边长为2， 正四棱锥的底面积为 ，高为3，正四棱锥的体积为 . 13．【答案】【详解】由题意可得， 又，所以. 14．【答案】【详解】如图，连接，作于，由题意，，故，所以. 设则由面积公式，，即. 由余弦定理，结合基本不等式， 即，当且仅当时取等号. 故取最小值时，此时. 故. 四、解答题 15．【详解】（1）由题意可得， 因为为钝角，得，则， 由正弦定理得，解得， 因为为钝角，则.…………………………………………………………………6分 （2）当时，由余弦定理， 得，即，解得， 则.………………………………………………13分 16．【详解】（1）取中点为，连接、、． 且，所以为平行四边形， 且， 且， 则四边形为平行四边形， ， 又平面，平面，因此，平面.……………………8分 （2），． ……………………………15分 17．【详解】（1）证明：连接，则为中点， 又点为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面．……………………………4分 （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为．……………………………………9分 （3）连接，如图所示，因为分为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面．…………………………………………………………15分 18．【详解】（1）由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 因为，，所以， 所以，所以．……………………………………………7分 （2）因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长， 因为，所以， 所以周长的取值范围为．…………………………………………17分 19．【详解】（1）由费马点的定义可得：即为该等边三角形的中心， 如图：过作 于，则 ，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为 .……………5分  （2）（ⅰ）因为 ，由正弦定理 ，且 ， 所以得，所以的三个角都小于 ， 则由费马点定义可知，， 设 ，，由 得 ，整理得， 则 .………11分  （ⅱ）由余弦定理得：， ，由勾股定理得，， 即， 所以 ，即， 而，当且仅当时，等号成立. 设，则 ，解得 或 （舍去）， 故最小值为.…………………………………………………………………17分 高一下学期期中考试数学参考答案第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数 学 (时间120分钟,共150分) 一 、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.) 1. 已知复数z 满足iz=3+4i, 则|2|= A.2 B.2 C.5 D.7 2. 四边形 ABCD 中,若 则四边形ABCD是 A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 3. 若复数z=(a-i)(2+3i) 为纯虚数,则实数a= A.1 B.-1 C. D. 4. 设 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列说法正确的是 A. 若 m//n,n// , 则m// B. 若 mc ,nc , // , 则m//n C. 若mca,nc ,m// ,n// , 则 // D. 若m∩n=A,m// ,m// ,n//a,n// , 则 // ( 设 AC =b, )5. 在 ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且a=7,b=8,c=5. AB=C, 则向量c 在向量b 上的投影向量为 A. B. C. D. 6. 雷峰塔是西湖十景之一,中国九大名塔之一,为中国首座彩色铜雕宝塔. 如图,某同学为了测量雷峰塔的高度,在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北 ( 50米 B 正东方向 )45 的方向上,向正东方向行走50米后到达D 处,测得塔顶A 在东偏北75 的方向上,仰角为45 ,则可得雷峰塔离地面的高度值为 C.25(√6+2) 米 D.s0(√6-√2) 米 高一下期中考试数学试卷第1页,共4页 7. 已知向量a,b,c 满足:, 且a+b=2c, 则 a与己的夹角为 A. B. D. 8. 如图,已知正三棱柱的底面边长为4 √3,高为6,经过上底面棱 的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角后得到一个几何体, 若所得几何体的六个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 A.80 B. D. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.) 9. 已知 ABC 是边长为2的正三角形,该三角形重心为点G, 下列等式一定成立的是 A.BC+AB=AC C.GA+GB=CG 10. 对于 ABC, 下列说法正确的有 B.AB+AC=2 D.AB+AC=|AB+CB A. 若b=10,c=8,B=60 , 则符合条件的 ABC有两个 B. 若sin2A=sin2B, 则 ABC为等腰三角形 C. 若sin A+sin B<sin C, 则 ABC 是钝角三角形 D. 若 A>B, 则sinA>sinB 11. 如图,在棱长为6的正方体ABCD-4ECD₁ 中,点G 为线段BC₁ 上的一个动点,则 下列说法正确的有 A. 线段AG 长度的最小值为4 √3 B. 直线AA 与直线B₁G 所成角的最大值为 C.AG// 面ACD₁ D.GC+GD₁ 的最小值为6 √2+ √2 试卷第2页,共4页 T 一高 命题人:黄邵华文尚平 审题人:黄华超 三 、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.) 特 问 12. 一个正四棱锥的底面周长为8,高为3,则该正四棱锥的体积为 13. 已知向量a=(1,3),b=(2,5),若(za-5)⊥a, 则实数 = 14. 剪纸,又叫刻纸,是一种镂空艺术,是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图,纸片 为一圆形,直径AB=20cm, 需要剪去四边形CECD, 可以经过对折、沿DC,EC 裁剪、 展开就可以得到. 对折 已知点C 在圆上且AC=10cm,∠ECD=30. 要使得镂空的四边形CECD 面积最小,AD 的 长应为 cm. 四、解答题(本题共5小题,共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (13分)在 ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,A为钝角,a=7, (1)求A: (2)若b=3, 求 ABC 的面积. 16. (15分)将棱长为2的正方体ABCD-ABCD 截去三棱锥D-AC D 后得到如图所示几 何体,0为AC₁ 的中点. (1)求证:OB//平面 ACD₁ ; (2)求六面体ACB₁AD₁的体积. 高一下期中考试数学试卷第3页,共4页 17. (15分)在四棱锥P-ABC D中,底面ABCD为平行四边形,0为底面中 心 ,M,E 分 别为PA,PD 的中点, PDC 为等腰直角三角形,且DP=DC. (1)求证:MO// 平面PDC; (2)求异面直线MO 与EC 所成角的余弦值; (3)若F,N 分为CE,DE 的中点,点G 在线段PB 上,且PG=3GB. 求证:平面GFN// 平面ABCD. 18. (17分)已知 ABC 为锐角三角形,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a =c +bc. (1)求证:A=2C; (2)若c=1, 求 ABC周长的取值范围. 19. (17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是: “在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家 托里拆利给出了解答,即三角形中的费马点是唯一的,且当 ABC 的三个内角均小于120 时,使得 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120 的点O 即为费马点;当 ABC 有一个内角大于或等 于120 时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题: (1)若 ABC 是边长为4的等边三角形,求该三角形的费马点O 到各顶点的距离之和; (2) ABC的内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a= bsinA,点 P 为 ABC 的费马点. (i) 若ac=2√3, 求 PA PB+PB PC+PC PA; (i) 若PB|=x, |PAF=m,Pc|=nx, 求m+n 的最小值. 试卷第4页,共4页 学科网(北京)股份有限公司 $$