广西南宁市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

命题人：黄邵华文尚平审题人：黄华超 南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数学 (时间120分钟，共150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，前把正确的选项填涂在答愿卡相应的位置上) 1.已知复数z满足伍=3+4i,则= A.反 B.2 C.5 D. 2四边形ABCD中，若而=号C,则四边形BCD是 A.平行四边形B.梯形 C.菱形 D.矩形 3.若复数z=(a-)(2+3)为纯壶数，则实数a= A.1 B.-1 c } 4.设m,n是两条不同的直线，：，B是两个不同的平面，下列说法正确的是 A.若m∥n,n∥a,则m∥a B.若mca,cB,a∥B,则m∥n C.若mca,nca,m∥B,nlB,则a∥B D若m∩n=A,m∥a,m∥B,nlla,n∥B,则a∥B 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,D,c,且a=7,b=8,c=5.设AC=b, B=,则向量c在向量五上的投影向量为 A总3 B.新 c.a D. 6。雷峰塔是西湖十景之一，中国九大名塔之一，为中围首座彩色铜雕宝塔。 如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北 45的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔项A在东偏北75 的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为 ● 30深D主东方向 A.50米B.505米C.25(6+)米D.50(N6-)米 高一下期中考试数学试卷第1页，共4页 CS扫描全能王 多亿人整在用的扫障Ap中 7.已知向量运，五c满足问-例-1= ,且a+b-2,则与的夹角为 A君 C. 3 8.如图，已知正三棱柱的底面边长为45，高为6，经过上底面棱 的中点与下底面的项点截去该三棱柱的三个角后得到一个几何体， 若所得几何体的六个项点都在球O的球面上，则球O的体积为 A.80π B.5 3 c.80 3 D.1605 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9.已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G,下列等式一定成立的是 A.BC+AD=AC B.B+4C=2 C.Ga+G丽=CG D.B+AC-西+C 10.对于△ABC,下列说法正确的有 A.若b=10,c=8,B=60,则符合条件的△ABC有两个 B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.若sin2A+sin2B<sinC,则△ABC是纯角E角形 D.若A>B,则sin4A>sinB 11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-ARGD中，点G为线段BC上的一个动点，则 下列说法正确的有 By A.线段4G长度的最小值为4万 B,直线4A与直线B,G所成角的最大值为 C.AG∥面ACD D.GC+GD的最小值为6W2+√互 试卷第2页，共4页 C③扫描全能王 3亿人整在用的扫mAP的 命题人：黄邵华文尚平审题人：黄华超 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为▲ 13.已知向量ā=(1,3)，6=(2,5)，若(2ā-)1a,则实数1=▲ 14.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片 为一圆形，直径AB=20cm,需要剪去四边形CECD,可以经过对折、沿DC,EC裁剪、 展开就可以得到. 已知点C在圆上且AC=10cm,∠ECD=30.要使得楼空的四边形CEC,D面积最小，AD的 长应为，▲cm, 四、解答题（本题共5小思，共77分解应写出文字说明、证明过程或演算步藻） 15.(13分)在△ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,A为钝角，a=7, sin285bcos 7 (1)求A: (2)若b=3,求△ABC的面积， 16.(5分)将棱长为2的正方体ABCD-ABGD截去三棱锥D-ACD后得到如图所示几 何体，O为AC的中点. (1)求证：OB∥平面ACD: (2)求六面体ACBAD的体积. 高一下期中考试数学试卷第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人题在用的扫猫真P中 17.(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形；O为底面中心，M,E分 别为PA,PD的中点，△PDC为等腰直角三角形，且DP=DC. (I)求证：MO∥平面PDC: (2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值： (3)若F,N分为CE,DE的中点，点G在线段PB上，且PG=3GB. 求证：平面GFNI平面ABCD. 18.(17分)已知△ABC为锐角三角形，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2=c2+bc. (1)求证：A=2C:t (2)若c=1,求△ABC周长的取值范围. 19,(17分】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是： “在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家 托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当△ABC的三个内角均小于120 时，使得∠AOB=∠B0C=∠C0A=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等 于120~时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： (I)若△ABC是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和： (2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bs血A,点P为△ABC的费马点. (i)若ac=2W5,求PAP丽+PB.P元+PC.P: ()若PB外x,PAmx,PCx,求m+n的最小值. 试卷第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人整在用的扫mAP的 南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试数学参考答案 1.【答案1C【详解1已知北=3+，即：34，则：B+.4引，得=F+可=5 i×(-i) 2.【答案】B【详解】由丽=兮C知：AB1DC且AB=兮DC,故ABCD为梯形 3.【答案】D【详解】已知z=(a-i)(2+3i列)=2a+3ai-2i-3i2=2a+3+(3a-2)i是纯虚数， 则实都2a+3=0,解得a=-子，且虚部30-2≠0，经检验a。- 满足 4.【答案】D【详解】对于A,若m∥n,n∥a,则ma或mCa,故A错误： 对于B,若mCa,ncB,a∥B,则m∥n或m与n是异面直线，故B错误： 对于C,如图所示，mCa,nca,m∥B,n∥B,但a∩B=l,故C错误： 对于D,因为m∩n=A,所以过m,n有唯一平面Y, 又m∥a,n∥a,所以y∥a,又m∥B,n∥B,所以y∥B, 所以a∥B,故D正确. 5.【答案】A【详解】c0sA=+c2-a.8+s-7401 ，0<A<T,A= 2bc 2×8×5802 :11c05A=5x-,:B1cos16=3b,六向量在向量6上的投影向量之5 22' 1b1 16 16 6.【答案】B【详解】由题可得∠BCD=45,CD=50,∠CDB=180-75=105, 则∠CBD=180-45-105=30°，∠ADB=45, 50 BD CD BD 由正弦定理可得： sin30 im45,即丁， 解得BD=50N反， 2 在Rt△ABD中，AB=DB tan45=DB=50N2 7.【答案】A【详解】由ā+6=2元两边平方可得a+2a6+6=4c2 又-风=州=号，所以1+2a6+1=36=克 所以s收.6+ ）a+ā61 因为位，e(0所以a,-产 25 3 6 2 8.【答案】D【详解】设M、N分别为正棱柱上下底面的中心，即N=6, 由几何体的特征易知其外接球球心O在N上，如图所示， 试卷第1页，共9页 CS扫描全能王 3亿人题在用的行障Ap的 根据正三角形的中心性质可知AN=子x4矿-2可=4，同理DM=2, 设外接球半径为R,MO=h,则ON=6-h, 所以有22+h2=R2=42+(6-h)→h=4,R=25, 则外接球体职一球。1的 9.【答案】ACD【详解】如图所示，BC+AB=AC成立，A选项正确： 设VABC的三边中点分别为D,E,F,则AB+AC=2AD, 所以历+-2网-2×号2=25，B选项错误 由点G为三角形重心，可知CG=2GF,所以GA+GB=2GF=CG,C选项正确： AB+CB=-(⑧A+BC)=-2BE,所以AB+C=2BE=25=B+AC,D选项正确， 10.【答案】CD【详解】对于选项A:因为b>c,所以只有一解，故A错误： 对于选项B:因为在三角形中，A,B,A+B∈(0，π)， 放若Sn2A=in2B,则2A-2B或2A+2B=,可得A=B或4+8-受 所以VABC为等腰三角形或直角三角形，故B不正确， 对于选项C:若sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理得a2+b2<c2, 由余弦定理cosC=+-c<0,且Ce0,利所以c为纯角，即VABC是钝角三角形，故C正确： 2ab 对于选项D:若A>B,则a>b,由正弦定理可得sinA>sinB成立.故D正确 11.【答案】BCD【详解】对A,连接AC,BC,AB,AG,如图， 当AG⊥BC,时，AG最短，由正方体棱长为6,4C=BC,=AB=6反， 所以56M=点6=C4C,可得4G=36,故A错误： A 对于B,将直线AA平移至BB,则∠BB,G即为直线AA与直线B,G所成角， 显然，当点G运动到C点时，该角的最大值为行，故B正确： 对于C,连接AC,AB,CD,AD,AC,如图， 在正方体中，AC,∥AC,AC,C平面ACB,ACa平面AC,B, 高一下学期期中考试数学参考答案第2页，共9页 CS扫描全能王 3亿人题在用的行猫AP的 所以AC∥平面ACB,同理可得CD∥平面ACB,又AC∩CD,=C,AC,CDC平面ACD, 所以平面ACD,∥平面ACB,又AGc平面ACB,所以AG∥面ACD,故C正确： 对于D,把平面AD,CB沿BC,展开到平面BCCB所在平面，如图， 连接CD交BC,于G,此时GC+GD最小，最小值为CD, 在△CC,D中，∠CCD=45°+90°=135°，CC=C,D=6, CD=VCC+CD2-2 CCCDcos135°-√2x62+62W2=62W2,故D正确. 12.【答案】4【详解】因为正四棱锥的底面周长为8，所以正四棱锥的底面边长为2， 正四棱锥的底面积为S=2×2=4,高为h=3,正四棱锥的体积为V=二Sh=,×4×3=4, 13.【省案！号【详解】由题意可得石-6=仅35办R-2-5) 又(2a-6)1ā，所以a-2+92-15=0→= 10 14.【答案】20-10W3【详解】如图，连接AC,作CG⊥AB于G,由题意，AC=AO=OC=10cm, 故∠0AC=60',所以CG=CA-sin60°=5V5cm. 设CE=a,CD=b,BD=c,则由面积公式，cabsin30=7c·CG,即ob=105c. 由余弦定理5_+2-c,结合基本不等式5b=a+62-g0之2ab-g0 2 2ab 300 300 即ab2300(2-5),当且仅当a=b=√3002-V5)时取等号 故5cm=4b取最小值时a=b,此时∠G0C=(080°-309+2=759 故AD=GA-GD=5- 如7505 CG 55 tn45+30可=5-2、 =5-552-5=20-10W5 15.【详解】1)由题意可得2sin8cosB=5 c0sB,…1分 因为A为钝角，得cosB≠0，则2sinB= …2分 由正弦定理a=6 3分 sinA sin B b2 a 7 得snB万sinA sinA, …5分 试卷第3页，共9页 C3扫描全能王 3亿人题在用的行障AP的 解得5nA=5 …6分 因为A为钝角，则= 3 …7分 (2)当b=3时，由余弦定理a2=b+c2-2 bccos A,…9分 得49=9+c-6c0s5.即c2+3x-40=0 10分 解得c=5或c=-8(舍去)， …川分 则5cm …12分 x5x3x5.155 2 24 …13分 16.【详解】(1)取AC中点为0，连接00、80、0D.…1分 因为0，O,为上下底面的中心，所00，BB,且00=BB,…2分 所以OOBB为平行四边形，…3分 0 ∴QBOB且QB=OB,…4分 ∴0Dl0,B且OD=0B,…5分 则四边形QBO0为平行四边形，…6分 OB/0D,…7分 又B0a平面ACD,ODC平面ACD,因此，OB∥平面ACD.…8分 (2)法-：V0-4gA=2'=8,…9分 6a=4w22x2-号 4 3 …13分 '4C4Aa='D-G444-'b-4cD,-'-Acs-'%-4a 0-C0AA-3Wg-AkcD=8-3x=4…l5分 3 法二：连接0C.…9分 高一下学期期中考试数学参考答案第4页，共9页 C3扫描全能王 3亿人整在用的扫mAPp 因为B,D⊥平面ACC,A' …10分 所以B,0D,0分别是棱锥B,-ACOA和棱锥D,-AC0A,的高，…1分 所以Voca4=V@45之万222…B分 3 所以Vc,AD,=VAoA+VaACO,=2+2=4 44…15分 17解：(1)证明：连接AC,则O为AC中点，…1分 又点M为PA中点，所以MO∥PC,2分 因为MOz平面PDC,PCc平面PDC,…3分 所以MO川平面PDC.…4分 (2)由(1)得，异面直线MO与EC所成角即为EC与PC夹角，…5分 在等腰直角三角形PDC中，设DP=DC=2,则PE=DE=1,PC=22,CE=√5,7分 (只要算对一个就给1分，全算对给2分) 在aPEC中.由余弦定理得，cs∠PCE=PC+CE-PE_8+S-L3M ,…8分 2PC.CE 41010 所以异面直线MO与EC所成角的余弦值为3① 404…4444444*4+4一9分 10 (3)连接BD,如图所示，因为F,N分为CE,DE的中点，所以FNIICD,…I0分 因为E为PD的中点，所以PN=3PD, 4 因为点G在线段PB上，且PG=3GB,所以PG=3PB,所以GNI/BD,…l1分 4 因为NF文平面ABCD,CDc平面ABCD,所以NF∥平面ABCD,…I2分 同理可得GNW平面ABCD,…13分 又GN∩NF=N,GN,NFc平面GFw,…l4分 所以平面GFN川平面ABCD.…15分 18【详解】(1)由余弦定理得a2=c2+b2-2 becosA=c2+bc,即b=c+2 ccos4,1分 (运用尔弦定理参与式子变形既可得1分.比如：有。2=a2+b2-2 abcosC=a2-bc或b=-c+2 acosC 也得1分) 由正3弦定理得sinB=sinC+2 sinCcosA,…2分 试卷第5页，共9页 C③扫描全能王 3亿人在用的扫mAP时 (正确运用正弦定理边化角得1分.比如sinB=-sinC+2 sin AcosC得1分，社下步举以此推) 所以sin(A+C)=sinC+2 sinCcosA,…3分 (正确换角得】分：边化角与换角步骤合并正确可直接程2分) 所以sin4cosC-cos4sinC=sinC,即sin(A-C)=sinC,…5分 (至此步直接得最后结果可得2分：若变形结果不正确。则变形过程有运用公式正确步登得！分 因为0<4<受0<C<受所以-4-C<经6分 所以A-C=C,所以A=2C…7分 (能合理排除或含去A-C+C=π或A=π得1分，有A-C=C或A=2C得1分) 0<4<受 0<2c<经 (2)解法-：因为vABC为锐角三角形，所以0<B<受即0<-3C<受解得<C<径.9分 o<c 0<c经 (∠C的两侧限制各1分：如果最后结果都不对，但限刺角度不等式对2个及以上可得1分) 因为c=1,由正弦定理得e-sin4_.sin2C e sinc sinC 2cosC,所以a=2cosC,…11分 (能得出，与cosC的关系直按得2分：若结果不对，有正确变形过程得1分：) 由正弦定理得b=e-sinB_c,sin(-3C)_sin3C-sin2 Ceosc+cos2 CsinC sinC sinC sinC sinC 2 2sinCeosC+cosC-linC。4eos'c-1,…l3分 sinC (能得出b与csC的关系直接得2分：若结果不对，有正确变形过程得1分) 故VABC的周长a+b+c=4cos2C+2cosC,…14分 (正确得出周长与c0sC的关系或a+b=4cos2C+2cosC-1得1分) 因为名C<导，所以9<oC 2 ,1…l5分 (用换元法时对应同等变量给」分) 所以VABC周长的取值范围为(2+√2,3+√5.…17分 (若结果有误，过程有说明周长与cosC的单调性或正确得出(b范围或单独正确求解博长范的边 界可得1分) 高一下学期期中考试数学参考答案第6页，共9页 C③扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp时