精品解析：2025年黑龙江省绥化市肇东市西南片十校毕业年级模拟测试模拟预测数学试题

初四数学测试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列四个选项中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列大学标志（不考虑其中的字母、数字和汉字）是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 现定义一种新运算“*”，规定，如，则等于（ ） A. B. 125 C. D. 120 6. 某校八年级在建党100周年合唱比赛中，9位评委分别给出八年级一班的原始评分，评定该班成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）． A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 7. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)，下列结论错误的是（ ） A. 本次抽样调查的样本容量是5000 B. 扇形统计图中的m为10% C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人 D. 样本中选择公共交通出行的有2400人 8. 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 下列给出5个命题： ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ②六边形的内角和等于720° ③相等的圆心角所对的弧相等 ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形 ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 其中正确命题的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共10小题） 13. DeepSeek全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，截至2025年3月，DeepSeek的月访问量和APP下载总量已经达到10.19亿次．其中10.19亿用科学记数法表示为_________________ ． 14. 将弧长为、圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_________________ ． 15. 分解因式3x3-12x=________ 16. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 17. 已知m+n=-3.则分式的值是____________． 18. 如果关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B（4，6），AB＝10，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为________． 20. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm． 21. 如图，在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ____________________ ． 22. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第一层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用表示第n层的弹珠数，其中，2，3，…，则________． 三．解答题（共6小题） 23. 如图，在直角三角形中，． （1）作的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若的周长为10，，求的周长． 24. 广宇同学想测量一栋楼上竖立的旗杆的长（图中线段的长），已知直线垂直于地面，垂足为点，在地面处测得点的仰角为31°，在处测得点的仰角为61°、点的仰角为45°，米，且三点在一条直线上，请你根据以上数据帮助广宇同学求旗杆EF的长（参考数据：，， ，） 25. 某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示． （1）当一次性销售千克时利润为多少元？ （2）求一次性销售量在之间时的最大利润； （3）当一次性销售多少千克时利润为元？ 26. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． （1）直接写出CE与AB的位置关系； （2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 27. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学测试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列四个选项中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数为：； 故选A． 2. 下列大学标志（不考虑其中的字母、数字和汉字）是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某直线折叠，折叠后直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就叫轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：圆中的山不对称，该图形既不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：圆中的图案是中心称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：圆中老鹰的头向右方，该图形既不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对简单组合体的观察，从前、上、左、右等几个方面想象出相应的视图即可． 【详解】A是从上面看到的图形， B是从前面看到的图形， C是从右面看到的图形 D是从左面看到的图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．解答此题要注意进行观察和思考，既要丰富的数学知识，又要有一定的生活经验和空间想象力． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案． 【详解】解：A． ，故不符合题意； B． ，故符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故不符合题意； 故选：B 5. 现定义一种新运算“*”，规定，如，则等于（ ） A. B. 125 C. D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据运算的规定首先求出，然后再求出即可． 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解题意，解题的关键是能掌握新定义． 6. 某校八年级在建党100周年合唱比赛中，9位评委分别给出八年级一班的原始评分，评定该班成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）． A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解． 【详解】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分，与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 7. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)，下列结论错误的是（ ） A. 本次抽样调查的样本容量是5000 B. 扇形统计图中的m为10% C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人 D. 样本中选择公共交通出行的有2400人 【答案】D 【解析】 【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答． 【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是，正确，不符合题意； B、 故扇形图中的m为10%，正确，不符合题意； C、若“五一”期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，正确，不符合题意； D、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表． 8. 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'， 由图像可知A'（-1，-3）， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数． 9. 下列给出5个命题： ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ②六边形的内角和等于720° ③相等的圆心角所对的弧相等 ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形 ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 其中正确命题的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形内心的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据正方形的判定方法，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误； 根据多边形的内角和公式，六边形的内角和等于720°，所以②正确； 根据圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误； 根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法，顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确； 根据三角形内心的性质，三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以⑤错误． 故选A． 【点睛】本题考查了命题的真假，涉及正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形内心的性质等知识点，正确理解这些判定与性质是解题的关键． 10. 过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．根据用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍列方程即可． 【详解】解：设A种春联的进价为x元，则B种春联的进价为元， 由题意，得，． 故选：D． 11. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值． 【详解】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值是C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG＝∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ， ∴△C'BG≌△CBG（ASA）， ∴BC＝BC'， ∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°， ∴∠ABC＝30°，BC'＝8， 在Rt△BFC'中，C'F＝BC'＝84， ∴CE+EF的最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题． 12. 如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．把点代入解析式即可判断；由顶点坐标得出对称轴，即可判断；根据抛物线的对称性求得时，，即可判断；由图象可知抛物线与直线没有交点，即可判断；求得，再结合即可判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ，故正确； 抛物线的顶点坐标是， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ，故正确； 抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数有最小值， 抛物线与直线没有交点， 关于的一元二次方程没有实数根，故错误； ， 抛物线为， 与轴交于点， ， 与轴交点的纵坐标在和之间不含端点， ． ． ，故正确； 故选：B． 二．填空题（共10小题） 13. DeepSeek全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，截至2025年3月，DeepSeek的月访问量和APP下载总量已经达到10.19亿次．其中10.19亿用科学记数法表示为_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：10.19亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 14. 将弧长为、圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算．利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得圆锥的底面半径，再求出母线长，最后再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为r， 由题意，得， 解得：． 设圆锥的母线长为l． 则， 解得： 则圆锥的高为 故答案为：． 15. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 16. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解，熟练掌握二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且 ∴且， 故答案为：且． 17. 已知m+n=-3.则分式的值是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可. 【详解】解：原式= = = = =， ∵m+n=-3，代入， 原式=. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则. 18. 如果关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式组的整数解为6，7，得到关于a的不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∵关于x的不等式组恰有2个整数解， ∴整数解为6，7， ∴； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出x的整数解，得到关于a的不等式组是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B（4，6），AB＝10，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，过点C作CG⊥BE，交EB的延长线于点G，通过可得，再通过可得DF＝BG＝，AF＝CG＝4，由此即可求得答案． 【详解】解：如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，过点C作CG⊥BE，交EB的延长线于点G， 则∠DFA＝∠AEB＝∠G＝90°， ∵点B（4，6）， ∴CG＝OE＝4，BE＝6， 又∵AB＝10， ∴AE＝＝8， ∵在矩形ABCD中， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝BC， ∴∠ABE＋∠GBC＝90°， ∵∠G＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∠GBC＋∠BCG＝90°， ∴∠GBC＝∠BAE，∠BCG＝∠ABE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAF＋∠BAE＝90°， ∴∠DAF＝∠ABE＝∠BCG， ∵在与中， ， ∴（AAS） ∴DF＝BG＝，AF＝CG＝4， ∵AE＝8，OE＝4， ∴AO＝AE－OE＝4， ∴OF＝AO＋AF＝8， ∴点D的坐标为（－8，）， ∴k＝－8×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 20. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ____________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点． 22. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第一层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用表示第n层的弹珠数，其中，2，3，…，则________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可得第n层有颗，则，即可进行解答．本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形变化找出一般规律． 【详解】解：观察图形可得： 第一层有1颗； 第二层有颗； 第三层有颗； 第四层有颗； …… 第n层有颗； ∴， ∴ ， ． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 23. 如图，在直角三角形中，． （1）作的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若的周长为10，，求的周长． 【答案】（1） 如图，为所求作的角平分线，为所求作的垂线； （2）18 【解析】 【分析】（1）根据用尺规作一个内角平分线的方法和作垂线的方法进行作图即可； （2）根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据的周长为10，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，尺规作角平分线和垂线，解题的关键是数形结合，熟练掌握基本的作图方法． 24. 广宇同学想测量一栋楼上竖立的旗杆的长（图中线段的长），已知直线垂直于地面，垂足为点，在地面处测得点的仰角为31°，在处测得点的仰角为61°、点的仰角为45°，米，且三点在一条直线上，请你根据以上数据帮助广宇同学求旗杆EF的长（参考数据：，， ，） 【答案】旗杆的长为19．2米 【解析】 【分析】在Rt△BCF中根据已知条件得到BC=CF，设BC=CF=x，在中，可得CE=BC•tan∠CBE=1．8x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】解：在中，， ， 在中，， 设BC=FC=x， ， ， 在中，， ， ， ， (米)， 答:旗杆的长为19．2米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出BC的长是解题关键． 25. 某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示． （1）当一次性销售千克时利润为多少元？ （2）求一次性销售量在之间时的最大利润； （3）当一次性销售多少千克时利润为元？ 【答案】（1）当一次性销售千克时，利润为元； （2）一次性销售量在之间时的最大利润为元； （3）当一次性销售为或或千克时，利润为元． 【解析】 【分析】（）用销售量利润计算即可； （）根据一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元求出每千克利润，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （）分一次性销售量在之间和一次性销售不低于千克两种情况列方程求解即可； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意， 当时，， ∴当一次性销售千克时，利润为元； 【小问2详解】 解：设一次性销售量在之间时， 每千克利润为， ∴， ， ， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴一次性销售量在之间时的最大利润为元； 【小问3详解】 解：当时， ， ∴， 当一次性销售量在之间时， 由题意得，， 解得； 当一次性销售不低于千克时， 每千克利润为元， 由题意得，， 解得； ∴当一次性销售为或或千克时，利润为元． 26. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． （1）直接写出CE与AB的位置关系； （2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 【答案】（1）CE⊥AB； （2） 在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下： 如图2，延长交于H， 由旋转可得：CD=，=AD， ∵∠ADC=∠ADB=90°， ∴， ∵， ∴, ， ∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH， ∴∠DA+∠AGH=90°， ∴∠AHC=90°， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论； （2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论； （3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长CE交AB于H， ∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， ∵DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°， ∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°， ∴CE⊥AB； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点D作DH于点H， ∵△BED绕点D顺时针旋转30°， ∴， ， ， ∴AD=2DH，AH=DH=， ， 由（2）可知：， ， ∵AD⊥BC，CD=， ∴DG=1，CG=2DG=2， ∴CG=FG=2， ， ∴AG=2GF=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 27. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O顺时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图， ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O顺时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $