专题07 三角形-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题04 三角形 题型概览 题型01 与三角形的角有关的试题 题型02 与全等三角形有关的试题 题型03 与等腰三角形有关的试题 题型04 与直角三角形有关的试题 ( 题型01 )与三角形的角有关的试题 1．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形内角和定理和平行线的性质．根据三角形内角和定理求出，由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴ 故选：B 2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、对顶角相等 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，先求出，由外角的性质求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，“两直线平行，内错角相等”，三角形内角和定理， 先根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，内错角相等”求出，然后根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，点E在正方形的内部，且△ADE为等边三角形，与交于点M，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正方形和等边三角形的性质可求得，由得，结合运用三角形内角和定理可求出，从而可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵△ADE为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是正方形的对角线， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 6．（2025·辽宁大连·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：由条件可知， ，， ， ， 故选：C 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 8．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，以B为圆心，长为半径作弧交于点D． 若，则图中弧的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、求弧长、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了求弧长，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出的长和的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴图中弧的长为， 故答案为：． 9．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交边于点，交边于点，以点为圆心，以长为半径作弧，与前面的弧交于点，点与点在两侧，作射线与射线交于点，若，则 ． 【答案】34 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角，等边对等角，从作图痕迹读懂是解题的关键．由题意可知，，结合等腰三角形以及三角形的外角，可得，最后利用，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：34． 10．（2025·辽宁本溪·一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在AC的延长线上，且，则旋转角的度数是 ． 【答案】/60度 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，，进而，再由可推出，得到，根据三角形的内角和即可解答． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为． 故答案为： ( 题型02 )与全等三角形有关的试题 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规基本作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 过D点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H点，如图， 由作图可知：平分， 又∵，， ∴， ∴的面积． 故选：C． 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、与三角形中位线有关的求解问题、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可知为等腰三角形，则为的中线，即点为的中点，则为的中位线，根据三角形中位线定理可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴点为的中点， ，为等腰三角形， ∴为的中线， ∴点为的中点， ∴为的中位线， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积．由矩形的性质得到，，， ，从而得到，，，证得，因此，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用平行四边形的性质得到，由作图可得是的垂直平分线，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 由作图可得，是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为5． 故选：C． 8．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．利用基本作图得到垂直平分，则，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求得即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得，即的长为3.4， 故选：C． 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接． ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵，，，， ∴，，． 在中 ． ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 11．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，∠B=90º，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】26 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质证明、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：26． 12．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，作轴于点，由旋转的性质得，，通过证明得到，，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质得，，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 13．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，△ADE中，，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是 ． 【答案】或或（其中一个，答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由得，再结合全等三角形的判定方法，逐个添加具体条件进行证明，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 当添加一个条件时， 则； 当添加一个条件时， ∴ ∴ 则； 当添加一个条件时 则， 故答案为：或或（其中一个，答案不唯一） 14．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为3的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 15．（2025·辽宁·一模）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，若直线恰好经过点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/58度 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解、作角平分线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，线段垂直平分线的画法和性质，平行四边形的性质等，由作图可知是的角平分线，是的垂直平分线，可得，设，则，，由平行四边形的性质可得，代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 17．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点E，作于点D，连接，交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作线段垂直平分线等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 过点E作交于点．根据作图可得垂直平分线段，得出，勾股定理求出，证明，得出，证明，求出，等面积法求出，从而得，，证明，求出，再根据即可解答． 【详解】解：过点E作交于点． 根据作图可得垂直平分线段， ∴， 又 ∵， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（2025·辽宁营口·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、求角的正弦值、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，求正弦，由作图过程可知，垂直平分线段，可得，，由题意得，，，由勾股定理得，代入求出，再根据勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 19．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， 设， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 20．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，点O是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵O是AB中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 21．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据直接证明，即可； （2）根据（1）得出则，进而根据三线合一求得的长，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， （2）解：过点作于点 由（1），， ， ， ， 在中，， ， ． ( 题型03 )与等腰三角形有关的试题 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、三线合一 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据题意可得到，再根据菱形的性质可知，然后利用等腰三角形三线合一和勾股定理求得，最后由即可求得答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 点是边的中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，“两直线平行，内错角相等”，三角形内角和定理， 先根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，内错角相等”求出，然后根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 4．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、三线合一 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出，垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：三角形是等边三角形， ， ， 垂直平分， ， ， ． 故选：D． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，将△ABC绕点旋转到的位置，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、与三角形中位线有关的证明、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】连接，可得，证明，，可得，，从而可得答案． 【详解】解：连接，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】取中点，过点C作，垂足为C，连接，证明是等边三角形，根据点，点得到的中点坐标为，则点B一定在直线上，根据等边三角形的性质确定点，设直线的解析式为，求得，得到解析式，代入验证即可． 【详解】解：取中点，过点C作，垂足为C，连接， 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∵，， ∴点B一定在直线上， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴点， 解得， ∴直线解析式， 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线经过点； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式，图像与点，熟练掌握等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式是解题的关键． 9．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，由矩形的性质可得，，由作图可知，平分，则有，则可证明是等腰直角三角形，得到，再求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由作图可知，平分， ， ∴△ADE是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 故选：B． 10．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，△ADE中，，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是 ． 【答案】或或（其中一个，答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由得，再结合全等三角形的判定方法，逐个添加具体条件进行证明，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 当添加一个条件时， 则； 当添加一个条件时， ∴ ∴ 则； 当添加一个条件时 则， 故答案为：或或（其中一个，答案不唯一） 11．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交边于点，交边于点，以点为圆心，以长为半径作弧，与前面的弧交于点，点与点在两侧，作射线与射线交于点，若，则 ． 【答案】34 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角，等边对等角，从作图痕迹读懂是解题的关键．由题意可知，，结合等腰三角形以及三角形的外角，可得，最后利用，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：34． 12．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，根据折叠的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示， ∵， ∴点在上， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴； 当，如图所示， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 13．（2025·辽宁本溪·一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在AC的延长线上，且，则旋转角的度数是 ． 【答案】/60度 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，，进而，再由可推出，得到，根据三角形的内角和即可解答． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为． 故答案为： 14．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 【答案】6或12 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，勾股定理，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则， 菱形， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； ②若点在延长线上，如图，作于点，则， 同理①中的方法可得，，， ， ， ， ∴△AGE是等腰直角三角形，， ， ， 点与点重合， ； 综上所述，的长为6或12． 故答案为：6或12． 15．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.85 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质与判定求线段长、y=ax²+bx+c的最值、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵新建墙总长15m，的长为， ∴的长为， 过A作于H， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ∵ 抛物线开口向下 抛物线的对称轴为 ∴ 当时，储料场的面积最大． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质证明、折叠问题、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，．由平行四边形的性质可得，．证明，得出，即可推出，即可得证． 【详解】证明：∵是由翻折得到的， ∴． ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．即． ( 题型0 4 )与直角三角形有关的试题 1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据题意可得到，再根据菱形的性质可知，然后利用等腰三角形三线合一和勾股定理求得，最后由即可求得答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 点是边的中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故选：B． 3．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，D为的中点，过点D作轴，垂足为交于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点B作轴于点H．设．由，得，得，在中，利用勾股定理求出x，根据线段垂直平分线可求出，再通过，相似三角形中对应边成比例求出，即得结论． 【详解】解：如图，过B点作轴于点H． 设， ∵， ∴， ∴， 在中，有， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题，利用参数构建方程解决问题． 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、坐标与图形综合 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 6．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用平行四边形的性质得到，由作图可得是的垂直平分线，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 由作图可得，是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为5． 故选：C． 7．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．利用基本作图得到垂直平分，则，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求得即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得，即的长为3.4， 故选：C． 8．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，△ABC与均为直角三角形，分别以边为边长作正方形，其面积分别为，则它们之间的关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、根据正方形的性质求面积 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，设，根据正方形的面积公式得，，，，再由勾股定理得，，进而得，则，据此即可得出答案， 熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：设， 根据正方形的面积公式得：，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， 故选：D． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、写出直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】连接，可得，证明，，可得，，从而可得答案． 【详解】解：连接，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】取中点，过点C作，垂足为C，连接，证明是等边三角形，根据点，点得到的中点坐标为，则点B一定在直线上，根据等边三角形的性质确定点，设直线的解析式为，求得，得到解析式，代入验证即可． 【详解】解：取中点，过点C作，垂足为C，连接， 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∵，， ∴点B一定在直线上， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴点， 解得， ∴直线解析式， 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线经过点； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式，图像与点，熟练掌握等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式是解题的关键． 11．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了直角坐标系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据求出，，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得，进而求出，根据，即可求解． 【详解】解：令，则，令，则， 解得：， ，， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：B． 12．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接． ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵，，，， ∴，，． 在中 ． ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    14．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 过作轴于，延长交轴于，判定四边形是矩形，得到，，由点坐标，得到，，令，由勾股定理得到，求出，得到，推出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于，延长交轴于， 轴， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 点坐标为， ，， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， 则点的坐标为． 故选：B． 15．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，由矩形的性质可得，，由作图可知，平分，则有，则可证明是等腰直角三角形，得到，再求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由作图可知，平分， ， ∴△ADE是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 故选：B． 16．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 17．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△ADE是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 18．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．连接，先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点O是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 19．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 20．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，以B为圆心，长为半径作弧交于点D． 若，则图中弧的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、求弧长 【分析】本题主要考查了求弧长，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出的长和的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴图中弧的长为， 故答案为：． 21．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出、，再利用勾股定理求出的长即可 ． 【详解】解：， ， ， 点是的中点， ， 是△ABC的中线， ， 又， ． 故答案为： ． 22．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知△ABC中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，根据折叠的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示， ∵， ∴点在上， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴； 当，如图所示， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 24．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；再以点C为圆心，长为半径作弧，交于点Q；以点Q为圆心，长为半径作弧，两弧在外部相交于点 P；作射线．D是边上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，若点E落在射线上，且 ，则的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解直角三角形的相关性质，旋转性质，勾股定理，作一个角等于已知角（尺规作图），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股逆定理证明是直角三角形，，则结合题干的作图过程，即作一个角等于已知角（尺规作图）得出，故，解得，再结合勾股定理算出，，即可作答． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵在中， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 结合题干的作图过程得出， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 在中，， 故答案为：． 25．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 【答案】6或12 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，勾股定理，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则， 菱形， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； ②若点在延长线上，如图，作于点，则， 同理①中的方法可得，，， ， ， ， ∴△AGE是等腰直角三角形，， ， ， 点与点重合， ； 综上所述，的长为6或12． 故答案为：6或12． 26．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 27．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为3的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 28．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的判定和 性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形． ，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 的最小值为． 故答案为：． 29．（2025·辽宁营口·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用二次根式的性质化简、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，求正弦，由作图过程可知，垂直平分线段，可得，，由题意得，，，由勾股定理得，代入求出，再根据勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 30．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， 设， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 31．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形 题型概览 题型01 与三角形的角有关的试题 题型02 与全等三角形有关的试题 题型03 与等腰三角形有关的试题 题型04 与直角三角形有关的试题 ( 题型01 )与三角形的角有关的试题 1．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，点E在正方形的内部，且△ADE为等边三角形，与交于点M，则为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 8．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，以B为圆心，长为半径作弧交于点D． 若，则图中弧的长为 ． 9．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交边于点，交边于点，以点为圆心，以长为半径作弧，与前面的弧交于点，点与点在两侧，作射线与射线交于点，若，则 ． 10．（2025·辽宁本溪·一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在AC的延长线上，且，则旋转角的度数是 ． ( 题型02 )与全等三角形有关的试题 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．10 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　）    A．2 B． C．4 D． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 11．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，∠B=90º，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 12．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 13．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，△ADE中，，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是 ． 14．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ． 15．（2025·辽宁·一模）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，若直线恰好经过点，连接，若，则的度数是 ． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 17．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点E，作于点D，连接，交于点F，若，，则的长为 ． 18．（2025·辽宁营口·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 19．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 20．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，点O是边的中点，．求证：四边形是矩形． 21．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． ( 题型03 )与等腰三角形有关的试题 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是（   ） A． B． C．4 D．8 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，将△ABC绕点旋转到的位置，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，△ADE中，，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是 ． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交边于点，交边于点，以点为圆心，以长为半径作弧，与前面的弧交于点，点与点在两侧，作射线与射线交于点，若，则 ． 12．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 13．（2025·辽宁本溪·一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在AC的延长线上，且，则旋转角的度数是 ． 14．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 15．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：． 与直角三角形有关的试题 1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是（   ） A． B． C．4 D．8 2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，D为的中点，过点D作轴，垂足为交于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 6．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 8．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，△ABC与均为直角三角形，分别以边为边长作正方形，其面积分别为，则它们之间的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 14．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 17．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 18．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，以B为圆心，长为半径作弧交于点D． 若，则图中弧的长为 ． 21．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是 ． 22．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知△ABC中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是 ． 23．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 24．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；再以点C为圆心，长为半径作弧，交于点Q；以点Q为圆心，长为半径作弧，两弧在外部相交于点 P；作射线．D是边上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，若点E落在射线上，且 ，则的值是 ． 25．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 26．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 27．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ． 28．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为 ． 29．（2025·辽宁营口·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 30．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 31．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$