专题06 几何初步知识与限定工具作图-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题06 几何初步知识 题型概览 题型01 几何图形初步 题型02 相交线与平行线 题型03 限定工具作图 ( 题型01 )几何图形初步 1．（2025·吉林长春·一模）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的表面展开图，熟练掌握常见几何体的表面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的表面展开图，即可得到答案． 【详解】 解：的表面展开图为， 故选：C． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，两条平行线被直线所截，平分交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是关键．根据平行线的性质求出，再由角平分线得到，最后由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵两条平行线被直线所截，， ∴， ∵平分交于点G． ∴， ∵两条平行线被直线所截， ∴， 故选：A 3．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，得到从上面看的图形，进而得出答案． 【详解】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为3个小正方形，第二行是1个小正方形，选项C中的图形符合题意， 故选：C． 4．（2025·辽宁大连·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：由条件可知， ，， ， ， 故选：C 5．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的定义、根据成轴对称图形的特征进行求解、全等的性质和SSS综合（SSS）、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质逐项排除即可． 【详解】解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、不一定等于结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴，结论正确,故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． ( 题型02 )相交线与平行线 1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形内角和定理和平行线的性质．根据三角形内角和定理求出，由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴ 故选：B 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，两条平行线被直线所截，平分交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是关键．根据平行线的性质求出，再由角平分线得到，最后由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵两条平行线被直线所截，， ∴， ∵平分交于点G． ∴， ∵两条平行线被直线所截， ∴， 故选：A 5．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，先求出，由外角的性质求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．（2025·辽宁本溪·一模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，“两直线平行，内错角相等”，三角形内角和定理， 先根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，内错角相等”求出，然后根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 8．（2025·辽宁大连·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：由条件可知， ，， ， ， 故选：C 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、相似三角形的判定与性质综合、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． 通过尺规作图得到与的三条边相等的条件，证明，从而得到，可证明，进而证明后得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知： 步骤①以点为圆心作弧得到和，步骤②以点为圆心作弧使得，步骤③以点为圆心作弧使得，同时和以点为圆心所作弧上的对应线段相等． 在和中， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． （平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． ， 已知点为的中点， ， 设，已知，将，代入， 得到， 化简得：， ，解得，即． 故选C． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角的度数是，第二次的拐角的度数是 ． 【答案】/138度 【难度】0.94 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．由于拐弯前、后的两条路平行，根据平行得到内错角相等，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． ( 题型03 )限定工具作图 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规基本作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 过D点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H点，如图， 由作图可知：平分， 又∵，， ∴， ∴的面积． 故选：C． 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、与三角形中位线有关的求解问题、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可知为等腰三角形，则为的中线，即点为的中点，则为的中位线，根据三角形中位线定理可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴点为的中点， ，为等腰三角形， ∴为的中线， ∴点为的中点， ∴为的中位线， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 6．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、与三角形中位线有关的证明、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    8．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，由矩形的性质可得，，由作图可知，平分，则有，则可证明是等腰直角三角形，得到，再求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由作图可知，平分， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 故选：B． 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】26 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质证明、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：26． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图以及等边三角形的判定与性质．理解是的角平分线是解题的关键． 根据尺规作图可知是的角平分线，再结合平行四边形的性质得到，从而得到，进而推出，，再根据证明是等边三角形得到，最后把四边形各边长长度相加即可． 【详解】解：由尺规作图可知，是的角平分线，所以． 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． ． ， 是等边三角形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质、尺规作图、勾股定理，根据角平分线的性质可知，根据勾股定理可知，根据可以求出，利用三角形的面积公式可求． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由尺规作图可知：是的平分线， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点E，F； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交第二步所作的弧于点； ④连接并延长交于点G． 若与四边形的面积比为，则的值为 ． 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 13．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为 ．（用含m的式子表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解三角形、尺规作图，等知识点，连接，由作法可证明，，，设，可得，，再证明，可得，即可求出，，由即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法可知：是的角平分线，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 14．（2025·辽宁·一模）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，若直线恰好经过点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/58度 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解、作角平分线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，线段垂直平分线的画法和性质，平行四边形的性质等，由作图可知是的角平分线，是的垂直平分线，可得，设，则，，由平行四边形的性质可得，代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 15．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图) 【分析】由作法得平分，证明，，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由作法得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（2025·辽宁丹东·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、尺规作一个角等于已知角、用勾股定理解三角形 【分析】设，先解方程得，解方程得，过点作轴于点，过点作直线于点，如图，利用基本作图得到，则可证明，根据正切的定义，在中，则在中，即，所以，解方程得到，然后利用两点间的距离公式可计算出的长． 【详解】解：设， 当时，，解得， ， 当时，，解得， 过点作轴于点，过点作直线于点，如图， 由作法得， ， ， ， 在中， ∵， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，勾股定理，尺规作图． 18．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、四点共圆 【分析】根据勾股定理求得，设直线交于点G，连接，，由由作图可得是的垂直平分线，从而证得，根据相似三角形的性质求出，根据作图有，根据等边对等角及三角形的内角和求得，得到，从而点A，C，F，D四点共圆，因此，则，在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴． 设直线交于点G，连接，， ∵由作图可得是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由作图可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴点A，C，F，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线与作线段等于已知线段，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何初步知识与限定工具作图 题型概览 题型01 几何图形初步 题型02 相交线与平行线 题型03 限定工具作图 ( 题型01 )几何图形初步 1．（2025·吉林长春·一模）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，两条平行线被直线所截，平分交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁大连·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． ( 题型02 )相交线与平行线 1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，两条平行线被直线所截，平分交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁本溪·一模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁大连·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角的度数是，第二次的拐角的度数是 ． ( 题型03 )限定工具作图 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．10 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　）    A．2 B． C．4 D． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 6．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 8．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是 ． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为 ． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点E，F； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交第二步所作的弧于点； ④连接并延长交于点G． 若与四边形的面积比为，则的值为 ． 13．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为 ．（用含m的式子表示） 14．（2025·辽宁·一模）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，若直线恰好经过点，连接，若，则的度数是 ． 15．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则 （用含a的代数式表示）． 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是 ． 17．（2025·辽宁丹东·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为 ． 18．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$