专题04 函数-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题04 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系与函数基础知识 题型02 一次函数 题型03 反比例函数 题型04 二次函数 ( 题型01 )平面直角坐标系与函数基础知识 1．（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．  B．  C．  D．  2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　 ） A． B．4 C． D．2 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，从原点引一条射线，设这条射线与轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是（ 　　） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若，两点的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 7．（2025·辽宁大连·一模）甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． ( 题型02 )一次函数 1．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，□OABC，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）点和点在直线上，过点作轴，垂足为点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁辽阳·一模）若点在第三象限，则函数的图象大致是 （    ） A． B． C．D． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B都是直线（m为常数）上的点，已知点A，B的横坐标分别为和2，轴，轴，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．m 6．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 13．（2025·辽宁大连·一模）一次函数的表达式为，当时，自变量x的值为 ． 14．（2025·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 15．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ． 17．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 18．（2025·辽宁大连·一模）如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 19．（2025·辽宁大连·一模）保税区车用锂电池项目是我区2025年新能源领域的重点项目之一，计划引入2条汽车锂电池生产线.某校数学兴趣小组了解到汽车锂电池的充电方式主要包括快充和慢充两种，在对某品牌汽车进行了调查研究后，绘制了如图所示的汽车电池能量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示用快充时与x的函数关系；线段表示用慢充时与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题： (1)求与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若将该品牌汽车电池能量从充至，快充比慢充少用多长时间？ 20．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 21．（2025·辽宁阜新·一模）某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)超市准备每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 22．（2025·辽宁大连·一模）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． (1)①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 23．（2025·辽宁·一模）长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由． 24．（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 25．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 26．（2025·辽宁葫芦岛·一模）为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发现，该农产品每天的销售量（斤）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于，该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，求出销售单价；否则，请说明理由． 27．（2025·辽宁沈阳·一模）沈阳浑河滨水慢道被沈城骑行爱好者称为最美骑行路线．甲、乙两名骑行爱好者相约某周日至在滨水慢道骑行，早晨两人同时从慢道某地出发同向骑行，甲匀速骑行，速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示（由线段和线段组成）． (1)当时，求与的函数表达式； (2)在骑行过程中，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时，求此时的值． ( 题型03 )反比例函数 1．（2025·辽宁·一模）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．y随x的增大而增大 D．若，则 2．（2025·辽宁大连·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁营口·一模）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（   ） A．6 B．10 C．5 D．16 4．（2025·辽宁沈阳·一模）反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁大连·一模）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用此电源时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则当时，R的值是（   ） A．2.4 B．5 C．12 D．60 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 7．（2025·辽宁铁岭·一模）已知点，在反比例函数的图象上，试比较和的大小，则 8．（2025·辽宁朝阳·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 9．（2025·辽宁丹东·一模）如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为 ． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 ． 12．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ． 13．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若ABC的面积为2，则的值是 ． 14．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 15．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，第一象限内的两直角边，且斜边顶点、均在的图像上，则点坐标为 ．    16．（2025·河北邯郸·一模）如图，AOB的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为 ． 17．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 18．（2025·辽宁·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为 ． 19．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 20．（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接． (1)求的值； (2)求证：AOB的面积为常数． 21．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 22．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当时，的取值范围 ． ( 题型0 4 )二次函数 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，存在抛物线和抛物线，则两个抛物线所形成图形的对称中心为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 n m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 5．（2025·辽宁·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式是，现有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度；④在的时间内，小球的高度随时间增大而增大．其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 6．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 8．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，二次函数与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，则线段的长为 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 11．（2025·辽宁鞍山·一模）已知抛物线上有两点，且满足； (1)求m的取值范围； (2)连接，求与x轴相交所形成的锐角的度数； (3)作点A关于y轴的对称点，以为顶点的抛物线p经过原点，当直线与y轴交于点时，试求出抛物线p与直线的交点坐标． 12．（2025·辽宁抚顺·一模）某商场销售一款衬衫，进价为每件元，物价部门规定每件衬衫的销售利润不高于进价的，在销售过程中发现，这款衬衫每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少时，该商场销售这款衬衫每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 13．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，…都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标． (3)在（2）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围． (4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系与函数基础知识 题型02 一次函数 题型03 反比例函数 题型04 二次函数 ( 题型01 )平面直角坐标系与函数基础知识 1．（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．  B．  C．  D．  【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：C． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　 ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，从原点引一条射线，设这条射线与轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、求角的正弦值 【分析】本题考查了正弦的定义、勾股定理、点的坐标，由图可得，点的坐标为，由勾股定理得出，再由正弦的定义即可得解． 【详解】解：由图可得，点的坐标为， ∴， ∴， ∴这条射线是， 故选：B． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】连接，可得，证明，，可得，，从而可得答案． 【详解】解：连接，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若，两点的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 7．（2025·辽宁大连·一模）甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． ( 题型02 )一次函数 1．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，□OABC，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元二次方程，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象是解题关键． 根据题意设，通过“点积值”的定义求出点坐标，根据平行四边形的性质结合“点积值”求出点的坐标，即可求解点的坐标． 【详解】解：点在直线上， 设， 点的“点积值”为， ，解得：， 或， 四边形是平行四边形， ， 设或， 点的“点积值”为， 或，解得：， ， 点在正半轴上， ． 故选：C． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）点和点在直线上，过点作轴，垂足为点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形综合 【分析】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．先求出直线的解析式，由轴，垂足为点可知点B的纵坐标为2，代入解析式求出即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴， ∴， ∵轴，垂足为点， ∴点B的纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故选A． 3．（2025·辽宁辽阳·一模）若点在第三象限，则函数的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的坐标，根据在第三象限的点的纵横坐标都是小于0，再结合一次函数的图象性质，得的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴ ∴函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：C． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B都是直线（m为常数）上的点，已知点A，B的横坐标分别为和2，轴，轴，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．m 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据题意求得点、的纵坐标，据此可以求得、的长度，然后由直角三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：∵点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和， ∴； 又轴，轴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 7．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】延长交轴于点，过点作轴于点G，则，由一次函数得，，由勾股定理得：，则，由旋转得，，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点G，则 ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴， ∵顶点C在直线上，点C的横坐标是2， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，构造全等三角形是解题的关键． 8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 9．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象，根据函数图象，可以得到，，，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：由图象可得，，，， A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】取中点，过点C作，垂足为C，连接，证明是等边三角形，根据点，点得到的中点坐标为，则点B一定在直线上，根据等边三角形的性质确定点，设直线的解析式为，求得，得到解析式，代入验证即可． 【详解】解：取中点，过点C作，垂足为C，连接， 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∵，， ∴点B一定在直线上， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴点， 解得， ∴直线解析式， 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线不经过点； 当时，，故直线经过点； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式，图像与点，熟练掌握等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式是解题的关键． 11．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求出点点的坐标是解题的关键． 如图中，连接交于，延长交于．求出点的坐标，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，延长交于， ∵菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行， ， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ， ∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）． 故选：A． 12．（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 13．（2025·辽宁大连·一模）一次函数的表达式为，当时，自变量x的值为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值， 将代入，得，求出解即可． 【详解】解：当时，， 解得． 故答案为：4． 14．（2025·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 15．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数解析式，过点作于点F，先证明，根据，得到，利用正切的定义结合点是的中点，求出，设，求出直线的解析式，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点作于点F， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，点．点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入， 则， 解得：， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 17．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 18．（2025·辽宁大连·一模）如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，第一象限内的点的坐标特点，先求出平移后直线解析式为，再求出直线与与直线的交点坐标为，则根据题意可得在第一象限，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：把直线向下平移m个单位长度后得到的直线解析式为， 联立， 解得， ∴直线与与直线的交点坐标为， ∵直线与与直线的交点在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2025·辽宁大连·一模）保税区车用锂电池项目是我区2025年新能源领域的重点项目之一，计划引入2条汽车锂电池生产线.某校数学兴趣小组了解到汽车锂电池的充电方式主要包括快充和慢充两种，在对某品牌汽车进行了调查研究后，绘制了如图所示的汽车电池能量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示用快充时与x的函数关系；线段表示用慢充时与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题： (1)求与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若将该品牌汽车电池能量从充至，快充比慢充少用多长时间？ 【答案】(1) (2)快充比慢充少用h 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案． 本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 【详解】（1）解：设 把，代入得 解得 ∴ （2）解：设直线解析式为 把，代入得 解得 ∴直线解析式为 当时，， 当时，， 答：该品牌汽车电池能量从充至，快充比慢充少用. 20．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】(1) (2)水杯的售价为50元或38元． 【难度】0.85 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 21．（2025·辽宁阜新·一模）某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)超市准备每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 【答案】(1) (2)该糖果的定价应为12元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）由图象可知y与x是一次函数关系，由函数图象过点和，用待定系数法即可求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）以及利润=单件利润×销售量得到关于x的一元二次方程，进而解方程即可． 【详解】（1）解：设，由图象可知， ， 解得， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：； （2）解：超市每天销售所获得的利润是： ， 解得：， ∵让顾客少花钱， ∴该糖果的定价应为12元． 22．（2025·辽宁大连·一模）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． (1)①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】(1)①；②一次函数解析式 (2)这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）①根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； ②根据题意可得y与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意，利用一次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设S与x之间的函数关系式为， 把代入可得， S与x之间的函数关系式为， 故答案为：； ②根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设与之间的函数关系式为， 把代入可得，， ， 一次函数解析式； （2）解：由题意，得， 将代入得， 解得， ， 随的增大而增大， 当时，， 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 23．（2025·辽宁·一模）长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的实际应用，读懂题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意建立一元二次方程，根据根的判别式判断方程的根的情况，即可判断每日的利润能否达到480元． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：不能，理由如下： 假如当每日利润为480元时，由题意得， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴超市销售这种海带每日的利润不能达到480元． 24．（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【答案】(1)它的种植面积； (2)当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、其他问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）当时，求出与之间的关系式为，当元时，，求出即可； （）由题意得甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为，然后分当 时和当时，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的关系式为， 把，代入得， ，解得：， ∴与之间的关系式为， 当元时，，解得：， ∴它的种植面积； （2）解：∵甲种蔬菜的种植面积为， ∴乙种蔬菜的种植面积为， 当时， 根据题意，得， 解得，， 当时，；当时，； 当， 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去， 答：当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 25．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)3000元 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，元 答：此次购进最少要花3000元． 26．（2025·辽宁葫芦岛·一模）为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发现，该农产品每天的销售量（斤）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于，该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，求出销售单价；否则，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题中的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）销售利润等于利润单价×销售数量，解方程，获利与对比即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得： ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不能，理由： 根据题意，得 化简得 解得 当时，，不符合题意 ∴不能使每天的销售利润为1800元． 27．（2025·辽宁沈阳·一模）沈阳浑河滨水慢道被沈城骑行爱好者称为最美骑行路线．甲、乙两名骑行爱好者相约某周日至在滨水慢道骑行，早晨两人同时从慢道某地出发同向骑行，甲匀速骑行，速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示（由线段和线段组成）． (1)当时，求与的函数表达式； (2)在骑行过程中，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． （1）当时，设，然后把，代入解得，即可； （2）先分别求出段对应的函数表达式及甲骑行的路程与骑行的时间之间的函数表达式，根据乙骑行路程是甲骑行路程的倍列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 把，代入，得 ， 解得， 当时，与的函数表达式为． （2）解：由图可知，乙在段骑行的速度为， 段对应的函数表达式为， 根据题意可知，甲骑行的路程与骑行的时间之间的函数表达式为， 当时，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时， 则，该方程无解； 当时，由（1）可知，乙骑行的路程与骑行的时间之间的函数表达式为， 此时，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时， 则， 解得， 当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时，此时的值为． ( 题型03 )反比例函数 1．（2025·辽宁·一模）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．y随x的增大而增大 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．反比例函数，，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：反比例函数，， A、当时，，图象必经过点，故此选项不符合题意； B、图象位于第二、四象限，故此选项不合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项符合题意． 故选：D ． 2．（2025·辽宁大连·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵， ∴， 故选：． 3．（2025·辽宁营口·一模）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（   ） A．6 B．10 C．5 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据正方形的性质求出点坐标，再根据中点公式求出点坐标，最后代入计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点A，B在x轴上，点， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的中心为线段的中点，即点， ∴点M坐标为，即， 把代入得，解得， 故选：C． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时时，据此解答即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时，时， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 5．（2025·辽宁大连·一模）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用此电源时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则当时，R的值是（   ） A．2.4 B．5 C．12 D．60 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，先将代入求出反比例函数解析式，再将代入解析式，求出对应的R的值． 【详解】解：设电流I与电阻R的解析式为， 将代入，得：， 解得， 当时，， 故选A． 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形综合、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 7．（2025·辽宁铁岭·一模）已知点，在反比例函数的图象上，试比较和的大小，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出函数值是解题的关键． 将点，分别代入，求解，即可比较大小，也可以利用反比例函数的性质比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2025·辽宁朝阳·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式分布求出的值，进而即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·辽宁丹东·一模）如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， ∵函数与函数的图象交于点A，C， ∴点A，C两点关于坐标原点对称， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 10．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：解：延长交轴于点，    ∵轴，， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：4． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】根据平行于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设．利用矩形的性质得出E为中点，．根据线段中点坐标公式得出．由勾股定理得出，列出方程，求出m，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】解：∵轴，， ∴C、E两点横坐标相同，都为2， ∴可设． ∵矩形的对角线的交点为E， ∴E为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． ∵反比例函数的图象经过点E， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 12．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式． 设，，则，，根据，得到，再由点在反比例函数的图象上，即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 13．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若ABC的面积为2，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平行线间距离解决问题、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的系数k的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键． 根据ABC的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数k的几何意义和所在的象限，确定k的值即可 ． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．设，根据，得到，求得，，再根据，列式计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 15．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，第一象限内的两直角边，且斜边顶点、均在的图像上，则点坐标为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，一元二次方程的解法，点的平移的性质，设，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵第一象限内的两直角边且斜边顶点A、B均在的图象上， ∴设，则， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去），经检验符合题意； ∴，， ∴， 故答案为： 16．（2025·河北邯郸·一模）如图，AOB的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得． 过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 轴于点， ， ，， ， ， ， ∵轴， ∴ ， ∴， ∴， ， 根据反比例函数中 的几何意义，得 ， ． 又 ∵， ． 故答案为：3． 17．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 18．（2025·辽宁·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，根据平行四边形得到，，再根据平行线间距离处处相等得到，最后根据反比例函数得到求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴轴，， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过C作，过作轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点在上，求出点的坐标及相关线段长度， 依据线段旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点的坐标，最后根据点在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过作于，过作轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ，点横坐标为． 又∵点在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 20．（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接． (1)求的值； (2)求证：AOB的面积为常数． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点代入，计算即可求解； （2）求出的解析式，联立直线与反比例函数的解析式整理得，由双曲线与直线的位置关系是相切得，设，将式代入可知：，过作轴于点，即轴，，证明，即为中点，根据三线合一的性质，得，又，所以，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：； （2）解：设：（）， 联立， 得到：， ， 上式化简为：， 双曲线与直线的位置关系是相切， ， 设，将式代入可知：， 过作轴于点，即轴，， ，即为中点， ，即， 根据三线合一的性质，得， 根据双曲线的性质，得， ， ， ，即知的面积为常数． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 21．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数的结合综合，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）根据折叠得出，根据勾股定理得出，设，根据勾股定理得出，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点纵坐标为8，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：沿折叠，， ， 四边形是矩形，， ， ， 设， 根据勾股定理得：， ∴， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， 即， ． 22．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当时，的取值范围 ． 【答案】(1) (2)；或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形，的几何意义； （1）根据的几何意义，即可求解； （2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点、的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围． 【详解】（1）解：∵，平行于轴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 解得：或， ∴，； 根据函数图象，可得当时，的取值范围为或 故答案为：；或． ( 题型0 4 )二次函数 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故①正确，符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有两个交点，故②正确，符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故③错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故④正确，符合题意； 故正确的说法有3个， 故选：C． 2．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，存在抛物线和抛物线，则两个抛物线所形成图形的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、中点坐标 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标及对称问题，解题的关键是求解析式的顶点坐标．把两个抛物线的顶点坐标求出来，求这2点连线的中点坐标． 【详解】解：抛物线， 抛物线顶点为． 抛物线， 抛物线顶点为． 则两个抛物线所形成图形的对称中心为即． 故选：A． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知函数与轴的交点在负半轴， ，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为， ∴当时，，即，故②错误； ∵点都在该抛物线上，且， ∴点关于直线对称， ，故③正确． 故选：B． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 n m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；利用待定系数法求得抛物线的解析式，得到图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的，判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 当或时，的值相等， 故，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴图象过原点， ∵对称轴为直线， ∴图象不过第三象限，故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的．故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 5．（2025·辽宁·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式是，现有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度；④在的时间内，小球的高度随时间增大而增大．其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，可得，可判定结论①；根据二次函数的顶点坐标的计算，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；根据函数图象开口向下，顶点坐标为即可判断结论④，由此即可求解． 【详解】解：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是， 令时，， 解得，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 当时间为时，小球运动的最高高度为，故②正确； 当运动时，小球的高度为， 当运动时，小球的高度为， ∵， ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； ∵， ∴函数的图象开口向下， ∵顶点坐标为， ∴在的时间内，小球的高度随时间增大而增大， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 6．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 7．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最小时，为最小，根据点与圆的位置关系可知为最小，然后再求出的长即可得出的最小值． 【详解】解：连接，设交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最小时，为最小， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小， ∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，二次函数与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，则线段的长为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性，熟练掌握知识点是解题的关键． 由轴可得关于对称轴对称，求出对称轴，即可求解． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，， ∵轴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5． ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：直线． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或4 【难度】0.65 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）根据表格描点，连线画出图象即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象求解即可； （4）根据题意画出图形，得到点P到x轴的距离为1，得到，，然后令，求出，即可求解． 【详解】（1）如图所示， （2）当时，将代入得， ∴ ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 综上所述，； （3）由图象可得，当或时，直线与函数图象有2个交点； （4）如图所示， ∵， ∴点P到x轴的距离为1 ∴由图象和网格可得，， ∴当时， 整理得， 解得（舍去）， ∴ 综上所述，点的横坐标为或或4． 【点睛】此题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，反比例函数和二次函数解析式，函数图象和性质，解题的关键是正确画出图象． 11．（2025·辽宁鞍山·一模）已知抛物线上有两点，且满足； (1)求m的取值范围； (2)连接，求与x轴相交所形成的锐角的度数； (3)作点A关于y轴的对称点，以为顶点的抛物线p经过原点，当直线与y轴交于点时，试求出抛物线p与直线的交点坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)交点坐标为或 【难度】0.65 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求出抛物线与x轴的交点，当以及时，求出m的范围即可； （2）把，分别代入抛物线，过点A、B分别作轴，轴，交于点D，求出，从而得出结果； （3）当时，点与不合题意，当时，点A坐标为，画出图形，连接并延长交y轴与点C，则，过点A作轴于点于点E，由，，点F的坐标为，设的解析式为，将点F代入，求出点A与的坐标，直线得解析式，设抛物线解析式为，求出a的值，从而得出结果． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴交点为， 当时，有， ， 即， 当时，有， ， ， ∴m的取值范围是或； （2）把，分别代入抛物线， ， ， 如图， 过点A、B分别作轴，轴，交于点D． 与y轴相交所形成的锐角的度数为； （3）当时，点与不合题意， 当时，点A坐标为， 如图， 连接并延长交y轴与点C，则， 过点A作轴于点于点E，由， ，点F的坐标为， 设的解析式为，将点F代入，得 ，解得， ∴点A坐标，点坐标为，                   直线得解析式为， 设抛物线解析式为，将点代入， ，即，可化为 由题意，解得， 把代入，则， ∴交点坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 12．（2025·辽宁抚顺·一模）某商场销售一款衬衫，进价为每件元，物价部门规定每件衬衫的销售利润不高于进价的，在销售过程中发现，这款衬衫每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少时，该商场销售这款衬衫每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为时，商场每月获得利润最大，最大利润是元 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、解一元二次方程——配方法、销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，明确题意、列出相关方程是解题关键． （1）设一次函数的解析式为，根据图象，将点，，代入，求二元一次方程组即可； （2）设商场每月获得的利润为，根据题意，列出等式，整理变形得，根据二次函数的图象与性质结合题意的“每件衬衫的销售利润不高于进价的”即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， 将点，，代入 ，解得， 所求函数解析式为． （2）解：设商场每月获得的利润为， ， 每件衬衫的销售利润不高于进价的， ， ， 当时，利润最大，最大值为． 答：当销售单价为时，商场每月获得利润最大，最大利润是元． 13．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，…都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标． (3)在（2）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围． (4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)二次函数关系为，顶点坐标为 (3) (4) 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称性质，最值的计算方法等知识，理解新定义的计算方法，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“平衡点”的定义，把代入计算即可求解； （2）根据题意联立于得，，得到，则①，再根据“平衡点”的定义得到②，联立方程组求解得到，由此得到二次函数一般式，将一般式化为顶点式即可求解； （3）根据题意得到，则二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，根据函数的增减性，最值的计算方法即可求解； （4）根据题意得到，整理得，，，解得，则得到，同理得到，结合题意得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”， ∴把代入得，，即， 解得，， ∴平衡点的坐标为或， 故答案为：或； （2）解：二次函数的图象上有且只有一个“平衡点” ∴联立于得，， 整理得，， ∴，则①， ∵“平衡点”为， ∴，整理得，②， 联立①②得，， 解得，， ∴二次函数关系为， ∴顶点坐标为； （3）解：由（2）可得，， ∴， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，如图， 当时，， 解得，， 当时，， ∴； （4）解：关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∵，点在点的左侧， ∴，且， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$