专题11 图形的相似-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题11 图形的相似 题型概览 题型01 相似图形的概念、性质、位似 题型02 相似三角形 ( 题型01 )相似图形的概念、性质、位似 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线，，，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2.5 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，，直线与交于点，若，，，则的值为 ． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 6．（2025·辽宁抚顺·一模）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在轴上方作出按放大后的位似图形； (3)点的坐标______；与的面积比是______． ( 题型02 )相似三角形 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）沙漏在古代不仅是一种实用的计时工具，承载着古人对时间的精准把握和对生活的有序安排，更蕴含着古人对时光流逝的哲思．现有一个液体沙漏，其结构为两部分完全相同的圆锥体倒扣组成，截面示意图如图1所示，经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，数据如图所示，此时的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁营口·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G．延长交的延长线于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，点D和点E分别在边上，，，若的面积是2，则的面积为（    ） A．18 B．16 C．8 D．6 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　） A．B．C．D． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，D为的中点，过点D作轴，垂足为交于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁·一模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 11．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D都在格点上，且线段与交于点P，则的值是 ． 12．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 13．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点E，F； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交第二步所作的弧于点； ④连接并延长交于点G． 若与四边形的面积比为，则的值为 ． 14．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为 ．（用含m的式子表示） 15．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，则的长为 ． 16．（2025·辽宁·一模）如图，在中，点为对角线、的交点，点为的中点，连接与交于点，则的值为 ． 17．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则 （用含a的代数式表示）． 18．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点E，作于点D，连接，交于点F，若，，则的长为 ． 19．（2025·辽宁·一模）如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 20．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点E在的边AD上，且，连接CE交对角线BD于点F，设的面积为，的面积为，则 ． 21．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点为），连接．若，且，则 ． 22．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是 ． 23．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，点E，D分别在的边，上．已知 ，且则的长为 ． 24．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为 ． 25．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ． 26．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为 ． 27．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为 ． 28．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 29．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值 ． 30．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点在边上，点在边上，点在边上，设矩形的一边． (1)请用含的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 31．（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接． (1)求的值； (2)求证：的面积为常数． 32．（2025·辽宁·一模）如图1，在中，，，点为中点，连接，点为中点，连接，过作交于． (1)若（），求的值（用含有的代数式表示）； (2)如图2，若，，求的值． 33．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点C在第一象限，且轴，． (1)求点C的坐标； (2)点D在线段上，．点E的坐标为，在直线的右侧作，射线与直线相交于点F，设．当且时，求m关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围． 34．（2025·辽宁大连·一模）如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，若，求的面积． 35．（2025·辽宁盘锦·一模）问题情境： 如图1，在菱形中，，点为边上一动点（且不与点、点重合），在的延长线上，且，连接、，射线交于． 猜想证明： （1）试判断图1中的形状，并说明理由； （2）①如图2，连接，当点是的中点时，探究、、之间的关系，并说明理由；②如图，当点不是的中点时，①中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若，，直接写出的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 图形的相似 题型概览 题型01 相似图形的概念、性质、位似 题型02 相似三角形 ( 题型01 )相似图形的概念、性质、位似 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例解答．本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：C． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线，，，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2.5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵直线， ∴，即， ∴， 故选：D． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握面积比等于位似比的平方是解题的关键．根据题意，可得位数比为，再根据位数图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：原点是和的位似中心，点与点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，，直线与交于点，若，，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解答关键． 根据平行线分线段成比例定理易得到，，进而得到来求解． 【详解】解：， ， ． ， ，     ， ． 故答案：． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合)、由平行截线求相关线段的长或比值、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 利用待定系数法求得抛物线的表达式为，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，则，推导出、为定值；求得的函数表达式为，推导出，当时，的长最大，的值最小，进而求得点D的坐标即可． 【详解】解：∵抛物线过点，代入抛物线得： ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 当时，；当时，解得或6， ∴； 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 如图：过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，即， ∵和等高， ∴， ∵轴， ∴，代入直线的函数表达式得： ，解得：， ∴， ∴为定值． ∴要使的值最小，则的长最大． 设直线的函数表达式为，，则， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴， ∴当时，的长最大，的值最小，此时点D的坐标为． 故答案为：． 6．（2025·辽宁抚顺·一模）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在轴上方作出按放大后的位似图形； (3)点的坐标______；与的面积比是______． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)； 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据位似图形的概念作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）结合图形和位似图形与轴对称图形的性质可得答案． 本题主要考查作图—轴对称变换和位似变换，解题的关键是掌握轴对称变换和位似变换的定义与性质． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求； （3）由图知，点的坐标为， 与的面积比是； 故答案为：，． ( 题型02 )相似三角形 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）沙漏在古代不仅是一种实用的计时工具，承载着古人对时间的精准把握和对生活的有序安排，更蕴含着古人对时光流逝的哲思．现有一个液体沙漏，其结构为两部分完全相同的圆锥体倒扣组成，截面示意图如图1所示，经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，数据如图所示，此时的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点E作于点，交于点，由，则可证明，，则，所以，根据题意求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图2，作于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ， 由图1和图2可知，， ， 故选：A． 2．（2025·辽宁营口·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G．延长交的延长线于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，， ∴，， ， ， ， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得出，因为的面积为，所以，再结合面积和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵,， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ∵的面积为， ∴ 则四边形的面积为， 故选：C． 4．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，点D和点E分别在边上，，，若的面积是2，则的面积为（    ） A．18 B．16 C．8 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，的面积是2， ∴． 故选：A 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】动点问题的函数图象、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了动点函数问题、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，由此即可得． 【详解】解：∵为等边三角形，，，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，D为的中点，过点D作轴，垂足为交于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点B作轴于点H．设．由，得，得，在中，利用勾股定理求出x，根据线段垂直平分线可求出，再通过，相似三角形中对应边成比例求出，即得结论． 【详解】解：如图，过B点作轴于点H． 设， ∵， ∴， ∴， 在中，有， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题，利用参数构建方程解决问题． 8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 9．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SSS综合（SSS）、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． 通过尺规作图得到与的三条边相等的条件，证明，从而得到，可证明，进而证明后得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知： 步骤①以点为圆心作弧得到和，步骤②以点为圆心作弧使得，步骤③以点为圆心作弧使得，同时和以点为圆心所作弧上的对应线段相等． 在和中， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． （平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． ， 已知点为的中点， ， 设，已知，将，代入， 得到， 化简得：， ，解得，即． 故选C． 10．（2025·辽宁·一模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解∶∵两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为∶ ． 11．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D都在格点上，且线段与交于点P，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．首先证明，结合题意可知两三角形的相似比为，进而可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即两三角形的相似比为， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：24． 13．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点E，F； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交第二步所作的弧于点； ④连接并延长交于点G． 若与四边形的面积比为，则的值为 ． 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 14．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为 ．（用含m的式子表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解三角形、尺规作图，等知识点，连接，由作法可证明，，，设，可得，，再证明，可得，即可求出，，由即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法可知：是的角平分线，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 15．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质、等角对等边、勾股定理，延长、交于点，证明，得出，证明，得出，求出，，，由勾股定理得出，结合题意得出，计算出，即可得解． 【详解】解：如图：延长、交于点， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·辽宁·一模）如图，在中，点为对角线、的交点，点为的中点，连接与交于点，则的值为 ． 【答案】（或） 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质得，，，证明出得，再进行化简即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：（或）． 17．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由作法得平分，证明，，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由作法得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 18．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点E，作于点D，连接，交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作线段垂直平分线等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 过点E作交于点．根据作图可得垂直平分线段，得出，勾股定理求出，证明，得出，证明，求出，等面积法求出，从而得，，证明，求出，再根据即可解答． 【详解】解：过点E作交于点． 根据作图可得垂直平分线段， ∴， 又 ∵， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（2025·辽宁·一模）如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 利用已知得出，再由相似比等于对应高之比即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为点，交于点， 由题意可得： ∴，， ∵ ∴， ∵，小孔O到，的距离分别为， ∴， 解得： 故答案为：． 20．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点E在的边AD上，且，连接CE交对角线BD于点F，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是平行四边行， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点为），连接．若，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，先在中根据勾股定理求出，然后证明，求出，然后在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出，根据旋转的性质求出，最后在中根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过B作于H， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，点E，D分别在的边，上．已知 ，且则的长为 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先由得再结合得，证明，故结合即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 24．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，再利用对应边成比例，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 25．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形和四边形关于直线对称， 根据轴对称的性质可得点在直线上， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小， 此时， 故答案为：4 ． 【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小． 26．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为 ． 【答案】3或7 【难度】0.4 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据与线段的位置关系分情况讨论，设，过作于，先由求出， 再由结合用表示出，最后根据，得到，代入后解方程即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 设， 当在线段上时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，或， 故答案为：3或7． 27．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的判定和 性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形． ，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 的最小值为． 故答案为：． 28．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过C作，过作轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点在上，求出点的坐标及相关线段长度， 依据线段旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点的坐标，最后根据点在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过作于，过作轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ，点横坐标为． 又∵点在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 29．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和HL综合（HL）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正方形折叠问题，解直角三角形，勾股定理，延长交于点，连接，交于点，证明得出，设，在中，得出，进而根据得出，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点， ∵将沿翻折得到，边长为3的正方形中，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 30．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点在边上，点在边上，点在边上，设矩形的一边． (1)请用含的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 【答案】(1)米 (2)当时，矩形面积最大，最大面积为 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质和二次函数的最值问题，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据矩形的性质可证得，然后即可求解； （2）由（1）得，，根据矩形面积公式求解出，然后即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 解得：米； （2）解：由（1）得：，，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴ 当时，矩形面积最大，最大面积为； 31．（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接． (1)求的值； (2)求证：的面积为常数． 【答案】(1);(2)见解析 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点代入，计算即可求解； （2）求出的解析式，联立直线与反比例函数的解析式整理得，由双曲线与直线的位置关系是相切得，设，将式代入可知：，过作轴于点，即轴，，证明，即为中点，根据三线合一的性质，得，又，所以，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：； （2）解：设：（）， 联立， 得到：， ， 上式化简为：， 双曲线与直线的位置关系是相切， ， 设，将式代入可知：， 过作轴于点，即轴，， ，即为中点， ，即， 根据三线合一的性质，得， 根据双曲线的性质，得， ， ， ，即知的面积为常数． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 32．（2025·辽宁·一模）如图1，在中，，，点为中点，连接，点为中点，连接，过作交于． (1)若（），求的值（用含有的代数式表示）； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)；(2)1． 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键； （1）导角证明，则可证明，可得，设，，，再由勾股定理求出的长，最后根据正切的定义求解即可； （2）延长至，使得，连接、，证明，得到，导角证明，则可证明，得到．则． 【详解】（1）解：∵点为中点，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，， 根据勾股定理，， ∴； （2）解：延长至，使得，连接、，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 33．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点C在第一象限，且轴，． (1)求点C的坐标； (2)点D在线段上，．点E的坐标为，在直线的右侧作，射线与直线相交于点F，设．当且时，求m关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得和的长，可求得C点坐标； （2）①当点E在线段上时，连接，利用条件可证得，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段的延长线上时，同样可证得，可得到m与n之间的关系． 【详解】（1）解：作轴于点M，如图1， 则， ∴， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当点E在线段上时，即当时，如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当点E在线段的延长线上时，即时，连接，如图3， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 综上可知m与n的函数关系式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及矩形、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中构造等腰直角三角形是解题的关键，在（2）中证得三角形相似是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 34．（2025·辽宁大连·一模）如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，若，求的面积． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)6 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）三角形的外角的性质结合直角三角形的两锐角互余，即可得证； （2）在上截取，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系即可得出结论； （3）过点作于点，证明，得到，证明为等腰直角三角形，推出，在中，勾股定理定理，求出的长，进而求出的长，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上截取，由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 过点作于点，则：， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 35．（2025·辽宁盘锦·一模）问题情境： 如图1，在菱形中，，点为边上一动点（且不与点、点重合），在的延长线上，且，连接、，射线交于． 猜想证明： （1）试判断图1中的形状，并说明理由； （2）①如图2，连接，当点是的中点时，探究、、之间的关系，并说明理由；②如图，当点不是的中点时，①中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）①；，证明见解析；②成立，证明见解析（3）或 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据菱形的性质可得则，结合已知，即可得出结论； （2）①证明是等边三角形，是的垂直平分线，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，又，则； ②在上截取，连接，则是等边三角形，证明是等边三角形，进而证明，，得出是等边三角形，则，即可得证； （3）连接，过点作，垂足为，得出，利用构造等边三角形底边上的高的方法，证明，分两种情形,根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下： ∵在菱形中， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴是等边三角形， （2）①，理由如下： 连接，如图， ∵在菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵点是的中点 ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴； ②成立，理由如下：在上截取，连接， 四边形是菱形，， ，是等边三角形，， 是等边三角形， ，， 四边形是菱形，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． （3）如图3，连接，过点作，垂足为， 根据（2）得，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角三角形中，， ， 根据（）得， ， ， ， ， ； 如图，连接，过点作，垂足为， 根据（2）得，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角三角形中，， ， 根据（）得， ， ， ， ：：， ； 故的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，分类的思想，熟练菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，活用特殊角的三角函数是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$