精品解析：2025年山西省太原市九年级数学二模试卷

太原市2025年初中学业水平模拟考试（二）数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面米，主墩桩基础低于基准面米．若高于基准面米记作米，则低于基准面米记作（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 今年以来，水利部聚焦国家水网建设，第一季度新开工的重大项目，总投资规模达亿元．数据亿用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽取1枚，不放回，再随机抽取1枚，则两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 如图，中，，将沿的方向平移得到，其中，，的对应点分别是点，，．若点是的中点，，，则点与点之间的距离为（　　） A B. C. D. 4 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 10. 如图，线段是的直径，点C是上一点，连接，以点C为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点B．若的半径为2，则图中阴影部分的周长为（　　） A B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 计算的结果等于_______． 12. 2025年4月在北京亦庄，全球首场人形机器人半程马拉松震撼上演．如图是本次马拉松的宣传，将其放在平面直角坐标系中，若B，C两点的坐标分别为，，则点A的坐标为______． 13. 中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为______°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为_____． 15. 如图，在中，，，点D为边上一点且，连接，作的垂直平分线，分别交线段，，于点E，F，G．则线段的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 17. 如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）在图1中，作平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下： ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 32 根据上述信息回答下列问题： （1）初赛名选手成绩的中位数为_____分； （2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； （3）决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 19. “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹号”山丹丹单价为元盆，“太空玫瑰”单价为元盆． （1）为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共盆，若购买这两种鲜花的总价为元，请计算购买“延丹号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数； （2）若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有元，所需购买两种鲜花的总数仍为盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？ 20. 综合与实践 随着学校对高效、智能、绿色的教学环境构建需求的日益增长，LED显示屏逐渐以其独特的优势点亮校园的多个角落．在学校改造升级工程中，运动场新安装了一块大型LED显示屏．如图，线段的长表示LED显示屏的宽，表示水平地面，于点，兴趣小组的同学利用所学知识测量显示屏的宽，测量方案及相关数据如下： 第一步：在操场地面上的点处，用测角仪测得LED显示屏的底部点的仰角； 第二步：沿方向走到点处，用测角仪测得显示屏的顶部点的仰角； 第三步：用皮尺测得米，点到正下方点之间的距离即米．（图中各点均在同一竖直平面内） 根据上述测量方案和数据计算LED显示屏的宽（结果精确到米．参考数据，，，，，）． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆 在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； （2）问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 22. 综合与实践 问题背景：小吊瓜又叫礼品瓜，采用“吊挂”“嫁接”等技术，瓜蔓向上生长，结出的瓜都吊在空中，因其玲珑的外观，甜美的口感成为水果市场新宠．研学小组的同学走进某种植基地，对同时上市的A，B两个品种小吊瓜前15天的销售情况进行调查． 数据收集：信息1：A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x的函数关系可近似地用如下坐标系中的抛物线刻画，该抛物线经过点，且顶点坐标为，其中且x为整数． 信息2：B品种小吊瓜每千克的销售成本为2元． 信息3：B品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表： 上市时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 …… 第x天 销售单价（元/千克） 30 28 26 24 22 …… 销售量（千克） 70 80 90 100 110 …… ________ （注：其中且x为整数）． 建立模型： （1）求A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式； （2）按照信息3表格呈现的规律，B品种小吊瓜第x天的销售量用含x的代数式表示为______千克；B品种小吊瓜第x天的销售利润z（元）与x之间的函数关系式为_______； 问题解决： （3）①求上市第几天时，A、B两种小吊瓜当天的销售总利润最大？最大利润是多少？ ②当A、B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时，请直接写出相应的上市时间（第x天）的范围． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太原市2025年初中学业水平模拟考试（二）数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面米，主墩桩基础低于基准面米．若高于基准面米记作米，则低于基准面米记作（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义．理解正负数的意义是解题的关键． 用正负数来表示具有意义相反的两种量：选基准面为标准记为0，高于基准面为正，则低于基准面为负． 【详解】解：已知高于基准面米记作米，说明，高于基准面用正数表示， 那么低于基准面米就应该记作米． 故选B． 2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 4. 今年以来，水利部聚焦国家水网建设，第一季度新开工的重大项目，总投资规模达亿元．数据亿用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 亿， 故选：D． 5. 2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽取1枚，不放回，再随机抽取1枚，则两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”的邮票分别记为，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的有种， ∴两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为 故选：A． 6. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 8. 如图，中，，将沿的方向平移得到，其中，，的对应点分别是点，，．若点是的中点，，，则点与点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵将沿方向平移得到，点是的中点， ∴． 故选：B． 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，而方程中出现，可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则可得方程， ∴方程中的x表示绳子的长， 故选：C． 10. 如图，线段是的直径，点C是上一点，连接，以点C为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点B．若的半径为2，则图中阴影部分的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，余弦，弧长，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 分别求出扇形中的长，扇形中的长，即可求解． 【详解】解：由题意知，扇形中的长为周长的一半，即， ∵线段是的直径，点C是上一点，的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形中的长为， ∴图中阴影部分的周长为． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 计算的结果等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】 故答案为： 12. 2025年4月在北京亦庄，全球首场人形机器人半程马拉松震撼上演．如图是本次马拉松的宣传，将其放在平面直角坐标系中，若B，C两点的坐标分别为，，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点B和点C的位置可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可建立如下坐标系，则点A的坐标为， 故答案为：． 13. 中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为______°． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是关键． 用减去三个正五边形的内角的度数即可． 【详解】解：∵正五边形每个内角的度数为 ∴． 故答案为：36． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为_____． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 根据反比例函数与正比例函数交点关于原点对称得到，由勾股定理和中点的定义得到，再证明，得到，即，解得，，根据三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与直线均关于原点对称，， ∴， ∴， ∵在中，，点是的中点， ∴， 如图所示，设与轴交于点，由轴垂直轴，轴得到， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，点D为边上一点且，连接，作的垂直平分线，分别交线段，，于点E，F，G．则线段的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】解法一：过点作交于点，过点作交于点，先由三线合一、勾股定理得到、，由求出、、，结合勾股定理求出，证明后，根据相似三角形性质得出、，从而求得，最后证，由相似三角形性质可得线段的长； 解法二：过点作，通过已知条件与勾股定理得到的长，后以点为坐标原点建立平面直角坐标系，将所有点用直角坐标系中的坐标来表示，求出点的坐标，根据构建方程，再根据构建另一个方程，最后通过联立方程得到点坐标，最后通过勾股定理得到的长． 【详解】解：解法一：过点作交于点，过点作交于点， ，， 平分， 即， 中，， ， 又， ，，， 中，， ，， ， ， ，， ， ，且平分， ，， ， ， ， ； 解法二：在中，，，过点作， 则， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ． 建立坐标系：设点，则，，，， 为中点，则点，即， 设，作轴于点，于点， 垂直平分， ， ， 整理得：①， ， ， ，即， 整理得：②， 联立①②得， ． 以为斜边构建直角三角形，过点作垂直轴的直线，过点作平行轴的直线，故此三角形的一直角边长为：，另一直角边长为：， 根据勾股定理可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，解题关键是正确作出辅助线． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查实数以及分式的运算，解题的关键是熟知实数的性质及分式的运算法则． （1）根据负指数幂以及有理数的混合运算进行计算．即可求解． （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，熟知正方形的性质与判定定理，矩形的性质与折叠的性质是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，据此可证明四边形是正方形； （2）由正方形的性质和勾股定理可得，由矩形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下： ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： （1）初赛名选手成绩的中位数为_____分； （2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； （3）决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 【答案】（1） （2）小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 （3）甲的方差为，丙的平均数为；第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，求方差与平均数，掌握中位数，平均数，方差的意义是解题的关键； （1）根据中位数的定义，即可求解； （2）根据题意，小文的成绩为分，而分的同学有名，则小文不一定进入决赛，小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． （3）先计算甲的方差为，丙的平均数为，根据甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：初赛名选手成绩中第一组有3人，第二组有4人 初赛成绩在第三组（）的选手成绩从小到大排列为：，，，，，，，． 第和个数据是第三组的第3个和第4个数据，即， ∴初赛名选手成绩的中位数为 【小问2详解】 因为初赛名选手成绩的中位数为， 组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，而分的同学有名， 则小文不一定进入决赛， 小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． ∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 【小问3详解】 甲的方差为 丙的平均数为 甲的方差为，丙的平均数为 甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数， ∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙． 19. “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹号”山丹丹单价为元盆，“太空玫瑰”单价为元盆． （1）为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共盆，若购买这两种鲜花的总价为元，请计算购买“延丹号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数； （2）若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有元，所需购买两种鲜花的总数仍为盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？ 【答案】（1）购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆； （2）最多可购买“太空玫瑰”盆． 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． （）设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆，由题意得， 然后解方程组即可； （）设购买“太空玫瑰”盆， 由题意得，然后解不等式，再检验即可． 【小问1详解】 解：设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆， 由题意，得， 解得， 答：购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆； 【小问2详解】 解：设购买“太空玫瑰”盆， 由题意，得， 解得， 因为为正整数， 所以的最大值为， 答：最多可购买“太空玫瑰”盆． 20. 综合与实践 随着学校对高效、智能、绿色的教学环境构建需求的日益增长，LED显示屏逐渐以其独特的优势点亮校园的多个角落．在学校改造升级工程中，运动场新安装了一块大型LED显示屏．如图，线段的长表示LED显示屏的宽，表示水平地面，于点，兴趣小组的同学利用所学知识测量显示屏的宽，测量方案及相关数据如下： 第一步：在操场地面上的点处，用测角仪测得LED显示屏的底部点的仰角； 第二步：沿方向走到点处，用测角仪测得显示屏的顶部点的仰角； 第三步：用皮尺测得米，点到正下方点之间的距离即米．（图中各点均在同一竖直平面内） 根据上述测量方案和数据计算LED显示屏的宽（结果精确到米．参考数据，，，，，）． 【答案】显示屏的宽约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数．利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】由题意得：米，米，， 在中，,， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：显示屏的宽约为米． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆 在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； （2）问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 【答案】（1）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、切线的性质和判定定理、正方形的性质与判定、勾股定理，理解等距圆的定义是解题的关键． （1）利用切线性质定理、垂直平分线的判定定理即可解答； （2）利用尺规过点作直线的垂线，以及的垂直平分线，两条直线交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （3）①在直线l上点F左侧截取点M使得，再分别以点E、点M为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画圆，则和点M即为所求；②作于点，根据等距圆的定义可得，，通过证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 故答案为：；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：如图所示， 由作图可得，，点在的垂直平分线上， 与直线相切，， 经过直线外一点， 为点和直线关于点的等距圆， 点D和直线m关于点C的等距圆即为所求． 【小问3详解】 解：①如图所示， 由作图可得，， 又， 四边形是正方形， ， 与直线相切， 为点和直线关于点的等距圆， 和直线l上一点M即为所求． ②如图，作于点，则， 是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，且的半径为， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 由①中的结论得，， ． 故答案为：． 22. 综合与实践 问题背景：小吊瓜又叫礼品瓜，采用“吊挂”“嫁接”等技术，瓜蔓向上生长，结出的瓜都吊在空中，因其玲珑的外观，甜美的口感成为水果市场新宠．研学小组的同学走进某种植基地，对同时上市的A，B两个品种小吊瓜前15天的销售情况进行调查． 数据收集：信息1：A品种小吊瓜第x天销售利润y（元）与x的函数关系可近似地用如下坐标系中的抛物线刻画，该抛物线经过点，且顶点坐标为，其中且x为整数． 信息2：B品种小吊瓜每千克的销售成本为2元． 信息3：B品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表： 上市时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 …… 第x天 销售单价（元/千克） 30 28 26 24 22 …… 销售量（千克） 70 80 90 100 110 …… ________ （注：其中且x为整数）． 建立模型： （1）求A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式； （2）按照信息3表格呈现的规律，B品种小吊瓜第x天的销售量用含x的代数式表示为______千克；B品种小吊瓜第x天的销售利润z（元）与x之间的函数关系式为_______； 问题解决： （3）①求上市第几天时，A、B两种小吊瓜当天的销售总利润最大？最大利润是多少？ ②当A、B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时，请直接写出相应的上市时间（第x天）的范围． 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为；（2）；；（3）①上市第7天时，两种小吊瓜当天销售总利润最大，最大利润是4470元；②且x为整数 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值等问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据抛物顶点坐标设顶点式，再将点代入，利用待定系数法求解即可； （2）由信息3表格可知，B品种小吊瓜的销售量每天增加10千克，且第1天的销售量为70千克，即可得到销售量的代数式，再根据利润（销售单价成本）销售量列函数关系式即可； （3）①根据上述所得销售利润与x之间的函数关系式，得到总利润与x之间的函数关系式，再根据二次函数的最值求解即可； ②根据上述所得销售利润与x之间的函数关系式，判断增减性，即可得到答案． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 该抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为， 即y与x之间的函数关系式为； （2）由信息3表格可知，B品种小吊瓜的销售量每天增加10千克，且第1天的销售量为70千克， 第x天的销售量用含x的代数式表示为千克， 销售利润； （3）①A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式为， B品种小吊瓜第x天的销售利润z（元）与x之间的函数关系式为 总利润， ， 当时有最大值为， 即上市第7天时，两种小吊瓜当天销售总利润最大，最大利润4470元； ②， A种小吊瓜日销售利润随天数x的增大而增大的上市时间范围为， ， B种小吊瓜日销售利润随天数x的增大而增大的上市时间范围为， x为整数， 当A、B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时，请直接写出相应的上市时间（第x天）的范围为且x为整数． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）① ，证 明 见 解 析；②线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据性质的性质和等边三角形的性质推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据菱形的性质可得，由（1）知，得到，可推出，由，可得，得到是等边三角形，推出，得到，结合，即可求解；②过点作于点，求出，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是菱形， ，， ， ， ， 即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ； （2）①，证明 如 下 ： 四边形是菱形， ，，， ， 由（1）知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， ， ； ②过点作于点， ，， ，， 如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$