山西省太原市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的变化

山西省太原市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的变化 一．选择题（共10小题） 1．（2024•太原二模）国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（　　） A．核安全 B．国土安全 C．生安全 D．军事安全 2．（2024•太原二模）如图是3D打印机的一个模型，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•迎泽区二模）瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•万柏林区二模）如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•迎泽区二模）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，则BC的长为（　　）cm． A． B． C． D． 6．（2024•太原二模）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•太原二模）图1是一张菱形纸片ABCD，点E，F是边AB，CD上的点．将该菱形纸片沿EF折叠得到图2，BC的对应边B′C′恰好落在直线AD上．已知∠B＝60°，AB＝6，则四边形AEFC′的周长为（　　） A．24 B．21 C．15 D．12 8．（2024•迎泽区二模）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线 C．费马螺线曲线 D．科赫曲线 9．（2024•迎泽区二模）花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•太原二模）国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．中国航材 B．中国一汽 C．中国煤科 D．国家核电 二．填空题（共4小题） 11．（2024•太原二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥AC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，过点D3作D3D4⊥AC于D4，…按此方法得到的D7D8的长为 　 　． 12．（2024•太原二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C的坐标分别为（0，4），（3，2），点B在x轴正半轴上．将△ABC沿射线AB方向平移，若点A的对应点为A'（1，1），则点C的对应点C'的坐标为 　 　． 13．（2024•太原二模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AD的中点，线段BE的延长线与边AC交于点F．若AB＝5，AC＝10，则EF的长为 　 　． 14．（2024•太原二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD∥BC，点E是AB的中点，连接CE，DE，过点C作CG⊥DE于点F，交AD于点G．若EC平分∠BED，则DG的长为 　 　． 三．解答题（共10小题） 15．（2024•太原二模）小东同学在学习中感悟到学好数学可以解决很多实际问题，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处（AD＝14m），小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高3.5m）建筑物的顶部点B的仰角为4°23′55″，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为15°．此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是4m．小东通过计算塔吊的高度，并根据此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在15﹣20m），做出了是否违规的判断．亲爱的同学，请利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．） （参考数据：sin4°23′55″，cos4°23′55″，tan4°23′55″，sin15°，cos15°，tan15°＝2，1.732） 16．（2024•迎泽区二模）如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁CD，A地和B地都有休闲步道与桥梁CD相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁EF和休闲步道AE，BF（点A，E，F，B在同一水平直线上），桥梁EF与桥梁CD平行，且EF＝1.5CD．经过测量，桥梁CD的一端C在A地的北偏东65°方向，另一端D在B地的北偏西45°方向，B地在A地的正东方向．A，B两地相距870米，A，C两地相距650米． （1）求桥梁EF的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） （2）周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟：爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．（参考数据：1.41） 17．（2024•迎泽区二模）综合与实践 已知，矩形ABCD∽矩形EFGH，如图1所示摆放，点C和点G重合，其中，AB＝FG＝6，BC＝8，将矩形EFGH绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），直线EF与AD交于点M，与直线BC交于点N，AC，EF交于点Q． （1）如图2，旋转过程中DM与FM始终相等，请证明该结论； （2）①图2中，延长CH，AD，交于点P，判断四边形MNCP的形状，并说明理由； ②当点E落在线段AD上时（如图3）EF与AC交于点Q，此时EN＝　 　； （3）继续旋转矩形EFGH，当E，C，D三点共线时，连接DQ，将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时DQ的长． 18．（2024•太原二模）从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果，在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题． 数学抽象 将宣传牌抽象成如图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与BC平行. 测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50cm） 测量数据 ∠AFE＝90°，∠CDE＝59°，∠BCD＝101°，DE＝50cm，EF＝48cm，点C到宣传牌右侧立柱的距离CM的长为30cm. 提出问题 … 小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，tan79°≈5.14） 19．（2024•太原二模）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知△ABC是等边三角形，AB＝4，点D是射线BC上的一点，以AD为边作矩形ADEF（顶点A，D，E，F按逆时针顺序排列），其中AD＝2DE，直线EF分别与射线BC、直线AC交于点M，N． 【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点D与点B重合时的图形，如图1，并提出如下问题，请你解答： （1）猜想EM与FN的数量关系，并说明理由； 【深入思考】 （2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点N恰好是EF的中点时的图形，如图2，求此时的值； 【拓展延伸】 （3）在点D运动过程中，直接写出当CN＝2CM时的值． 20．（2024•万柏林区二模）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影．某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下： 活动目的 测量风力发电机的塔杆高度 测量工具 无人机、皮尺等 测量示意图 说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点（B点在A点的正上方）测量出塔杆顶端P的仰角和俯角 测量数据 斜坡CD的坡角 30° CD的长度 18米 AB的长度 53米 点A处测量的仰角 45° 点B处测量的俯角 18° 请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 21．（2024•太原二模）在太原市文瀛公园，耸立着一座高大的石碑——见义勇为纪念碑．此碑顶端为一只紧握的铁拳，象征见义勇为英雄扶正祛邪的强大力量．综合实践小组按如图所示的方案测量该纪念碑的高度AB：①在纪念碑前的空地上确定测量点P，当测倾器高度PC为0.8米时，测得纪念碑最高点A的仰角∠ACD＝38.7°；②保持测倾器位置不变，调整测倾器高度PE为1.8米时，测得点A的仰角∠AEF＝37°．已知点A，B，C，D，E，F，P在同一竖直平面内，请根据该小组测量数据计算纪念碑的高度AB．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos°37≈0.80，tan37°≈0.75，sin38.7°≈0.62，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）　 　 22．（2024•迎泽区二模）项目化学习： 项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图． 成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题 遮阳伞下的影子 项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 太阳光线与地面的夹角α（度） 90 80 65 50 35 20 参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，． 示意图 测量数据 如图，某款遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，CF为悬托支杆，F为PD的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为△PDE，DP、DE为伞体支架，且DP＝DE，测量得到AC＝2.8米，PD＝2米，CF＝1米，∠DPE＝15°． 项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组” 中午12：00时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使PE∥AB，遮阳效果最佳． 下午14：00时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳． 下午17：00时，… 项目反思 … 任务一：填空：如图2，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆CF与伞体支架DE的关系是 　 　； 任务二：请你参照“创新小组”的项目结果进行计算（注意：计算结果均精确到0.1米）． ①如图3，求立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约多少米； ②如图4，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子BQ的长． 23．（2024•太原二模）综合与实践 问题情境 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形纸片ABCD，AD＞AB．如图1，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边BC上，展开后折痕AE交CD于点E．如图2，在图1的基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在AF上，展开后折痕FG交AB于点G，延长GH交AE于点K． 初步探究 （1）求证：四边形EFGK是平行四边形． 深入探究 （2）判断AG和DE的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）当四边形EFGK为菱形时，直接写出的值． 24．（2024•杏花岭区二模）综合与实践 在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张如图所示的长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动． （1）如图1，勤学小组将长方形纸片ABCD对折，使得边AD与BC重合，折痕记为EF．展开后再延过点B的直线l折叠，使得点A落在EF上，直线l交AD与点M，点A的对应点记为A′，连接AA′，发现其恰好经过点C．勤学小组据此求出了边AB与BC的比值为 　 　． （2）如图2，善思小组先连接对角线AC，BD交于点O，再通过折叠使得点A落在对角线AC上，折痕与边AD，BC分别交于点G，H，与对角线BD交于点P，点A，B的对应点分别记为A′B′，发现A′B′与对角线BD具有特殊的位置关系．请你写出A′B′与BD的位置关系，并加以证明． （3）如图3，明辨小组在善思小组探究所得结论的基础上，发现BP，A′C，GH这三条线段满足一特殊等量关系．请你直接写出这三条线段满足的等量关系． 山西省太原市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的变化 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•太原二模）国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（　　） A．核安全 B．国土安全 C．生安全 D．军事安全 【解答】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，所以选项A、B、D的图形不是中心对称图形． 故选：C． 2．（2024•太原二模）如图是3D打印机的一个模型，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：左视图是一列两个相邻的正方形． 故选：D． 3．（2024•迎泽区二模）瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从正面看，可得选项B的图形． 故选：B． 4．（2024•万柏林区二模）如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（2024•迎泽区二模）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，则BC的长为（　　）cm． A． B． C． D． 【解答】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm， ∴BCAB10＝（55）cm， ∴BC的长为（55）cm， 故选：A． 6．（2024•太原二模）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：该几何体的俯视图是： 故选：A． 7．（2024•太原二模）图1是一张菱形纸片ABCD，点E，F是边AB，CD上的点．将该菱形纸片沿EF折叠得到图2，BC的对应边B′C′恰好落在直线AD上．已知∠B＝60°，AB＝6，则四边形AEFC′的周长为（　　） A．24 B．21 C．15 D．12 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠B'AE＝∠B＝60°， 由折叠可得，∠B'＝∠B＝60°， ∴∠AEB'＝60°， ∴△AEB'是等边三角形， ∴AE＝B'E＝BE，即E是AB的中点， 又∵AB＝6， ∴AE＝3＝AB'， 又∵B'C'＝BC＝6， ∴AC'＝6﹣3＝3， 同理可得，C'F＝3，F是CD的中点， ∴BE＝CF， 又∵BE∥CF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴EF＝BC＝6， ∴四边形AEFC′的周长为6+3+3+3＝15， 故选：C． 8．（2024•迎泽区二模）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线 C．费马螺线曲线 D．科赫曲线 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题； C．不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意意． 故选：D． 9．（2024•迎泽区二模）花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．该图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意， 故选：D． 10．（2024•太原二模）国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．中国航材 B．中国一汽 C．中国煤科 D．国家核电 【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（共4小题） 11．（2024•太原二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥AC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，过点D3作D3D4⊥AC于D4，…按此方法得到的D7D8的长为 　（）8　． 【解答】解：根据∠ACB＝90°，∠A＝30°，得到∠B＝60°， ∵CD1⊥AB，∴∠ACD1＝30°， 在△ACD1中，∠AD1C＝90°，AC＝1， 则CD1； 进而在△CD1D2中， 有D1D2CD1＝（）2， 进而可得：D2D3＝（）3，…； 则线段DnDn+1＝（）n+1． ∴D7D8＝（）8． 故答案为：（）8． 12．（2024•太原二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C的坐标分别为（0，4），（3，2），点B在x轴正半轴上．将△ABC沿射线AB方向平移，若点A的对应点为A'（1，1），则点C的对应点C'的坐标为 　（4，﹣1）　． 【解答】解：∵点A（0，4）的对应点为A′（1，1）， ∴平移规律为向右平移1个单位长度，先下平移3个单位长度， ∴点C的对应点C'的坐标为（3+1，2﹣3），即（4，﹣1）． 故答案填：（4，﹣1）． 13．（2024•太原二模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AD的中点，线段BE的延长线与边AC交于点F．若AB＝5，AC＝10，则EF的长为 　　． 【解答】解：作AG∥BC交BF的延长线于点G，则△GAF∽△BCF， ∴， ∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10， ∴BC5， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∴sin∠ABC，cos∠ABC， ∴AD2，BD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DEAD， ∵AG∥DB， ∴△AEG∽△DEB， ∴1， ∴GA＝BD，GE＝BE， ∴BG＝2BE＝2， ∵， ∴， ∴GFBG2， ∴EF＝GE﹣GF， 故答案为：． 14．（2024•太原二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD∥BC，点E是AB的中点，连接CE，DE，过点C作CG⊥DE于点F，交AD于点G．若EC平分∠BED，则DG的长为 　　． 【解答】解：连接EG， ∵∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°， ∵AB＝4，BC＝3，点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝2， ∵CG⊥DE于点F， ∴∠EFC＝∠B＝∠EFG＝∠A＝90°， ∵若EC平分∠BED， ∴∠CEF＝∠CEB∠BEF， ∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴FE＝BE， ∴FE＝AE， ∵EG＝EG， ∴Rt△FEG≌Rt△AEG（HL）， ∴FG＝AG，∠GEF＝∠GEA∠AEF， ∴∠CEG＝∠CEF+∠GEF（∠BEF+∠AEF）180°＝90°， ∴∠AGE＝∠BEC＝90°﹣∠AEG， ∴△AEG∽△BCE， ∴， ∴FG＝AGBE2， ∵∠DFG＝∠A＝90°，∠FDG＝∠ADE， ∴△FDG∽△ADE， ∴， ∴， ∴FD（3DG﹣4）（DG）， ∴DG， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 15．（2024•太原二模）小东同学在学习中感悟到学好数学可以解决很多实际问题，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处（AD＝14m），小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高3.5m）建筑物的顶部点B的仰角为4°23′55″，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为15°．此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是4m．小东通过计算塔吊的高度，并根据此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在15﹣20m），做出了是否违规的判断．亲爱的同学，请利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．） （参考数据：sin4°23′55″，cos4°23′55″，tan4°23′55″，sin15°，cos15°，tan15°＝2，1.732） 【解答】解：过点A作AE⊥BN于点E，AF⊥CM于点F， 则AD＝EN＝FM＝14m，EF＝MN＝4m，AE＝DN，∠BAE＝4°23'55''，∠CAF＝15°，BN＝6×3.5＝21（m）， ∴BE＝BN﹣EN＝7m， 在Rt△ABE中， tan∠BAE＝tan4°23'55''， 解得AE＝91， ∴DM＝DN+MN＝91+4＝95（m）， ∴AF＝95m， 在Rt△ACF中， tan∠CAF＝tan15°2， 解得CF≈25.5， ∴CM＝CF+FM＝25.5+14＝39.5（m）， ∴塔吊的高度为39.5m． 39.5﹣21＝18.5（m）， ∴吊塔没有违规． 16．（2024•迎泽区二模）如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁CD，A地和B地都有休闲步道与桥梁CD相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁EF和休闲步道AE，BF（点A，E，F，B在同一水平直线上），桥梁EF与桥梁CD平行，且EF＝1.5CD．经过测量，桥梁CD的一端C在A地的北偏东65°方向，另一端D在B地的北偏西45°方向，B地在A地的正东方向．A，B两地相距870米，A，C两地相距650米． （1）求桥梁EF的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） （2）周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟：爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．（参考数据：1.41） 【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CGHD是矩形， ∴DH＝CG，GH＝CD， 在Rt△ACG中，AC＝650米，∠ACE＝65°， ∴AG＝ACsin65°≈650×0.91＝591.5（米），CG＝ACcos65°≈650×0.42＝273（米）， ∴DH＝CG＝273米， 在Rt△BDH中，∠ABD＝45°， ∴DH＝BH＝273米， ∴GH＝AB﹣AH﹣BH＝870﹣591.5﹣273＝5.5（米）， ∴EF＝1.5CD＝1.5×5.5＝8.25≈8.3（米）， 答：桥梁EF的长度为8.3米； （2）小明到达B地， 理由：在Rt△BDH中，∠ABD＝45°， ∴DH＝BH＝273米， ∴BDBH＝273384.9（米）， ∴小明的路径为650+5.5+384.9＝1040.4（米）， ∴小明所用时间为1040.4÷100≈10.4（分钟）， ∵爷爷所用时间为870÷70≈12.4（分钟）， ∵12.4＞10.4， ∴小明到达B地． 17．（2024•迎泽区二模）综合与实践 已知，矩形ABCD∽矩形EFGH，如图1所示摆放，点C和点G重合，其中，AB＝FG＝6，BC＝8，将矩形EFGH绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），直线EF与AD交于点M，与直线BC交于点N，AC，EF交于点Q． （1）如图2，旋转过程中DM与FM始终相等，请证明该结论； （2）①图2中，延长CH，AD，交于点P，判断四边形MNCP的形状，并说明理由； ②当点E落在线段AD上时（如图3）EF与AC交于点Q，此时EN＝　　； （3）继续旋转矩形EFGH，当E，C，D三点共线时，连接DQ，将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时DQ的长． 【解答】（1）证明：连接CM，如图2.1， ∵四边形EFGH，ABCD为矩形，且AB＝FG， ∴AB＝CD，∠EFG＝∠D＝90°， ∴FG＝CD， ∵MC＝MC， ∴Rt△CFM≌Rt△CDM（HL）， ∴DM＝FM； （2）解：①四边形MNCP为菱形，理由如下： 如图2.2， ∵四边形EFGH，ABCD为矩形， ∴AD∥BC，MN∥CP， ∴四边形MNCP为平行四边形， ∵Rt△CFM≌Rt△CDM， ∴∠PMC＝∠NMC， ∵AD∥BC， ∴∠PMC＝∠NCM， ∴∠NMC＝∠NCM， ∴NM＝NC， ∴四边形MNCP为菱形； ②如图3， ∵矩形ABCD∽矩形EFGH， ∴，即， 解得：， 设FN＝x，则， 在Rt△FNC中，由勾股定理得：FC2+FN2＝NC2，即， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：补全图形如图4： 过点Q作BC的垂线交BC于点R，AD于点K，如图5， ∵四边形EFGH，ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠CFE，AD＝BC＝8， ∴∠1+∠NCF＝∠N+∠NCF， ∴∠1＝∠N， 由题意得：∠1＝∠2， ∴∠2＝∠N， ∴QN＝QC， ∵FG＝AB，∠ABC＝∠CFN＝90° ∴△ABC≌△CFN（AAS）， ∴AC＝CN， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝10， ∴CN＝10， ∵QN＝QC，QR⊥BC， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴QR∥AB， ∴△QRC∽△ABC， ∴，即， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3， ∴sin，即， ∴， 在Rt△AKQ中，由勾股定理得AK3， ∴DK＝8﹣3＝5， 在Rt△QDK中，． 18．（2024•太原二模）从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果，在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题． 数学抽象 将宣传牌抽象成如图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与BC平行. 测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50cm） 测量数据 ∠AFE＝90°，∠CDE＝59°，∠BCD＝101°，DE＝50cm，EF＝48cm，点C到宣传牌右侧立柱的距离CM的长为30cm. 提出问题 … 小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，tan79°≈5.14） 【解答】解：延长AF与MD交于点H，过点D作DN⊥EF，垂足为N， 由题意得：∠BMD＝∠DNE＝∠DNF＝90°， ∵AH∥BM， ∴∠H＝180°﹣∠BMD＝90°， ∵∠AFE＝90°， ∴∠HFE＝180°﹣∠AFE＝90°， ∴四边形DHFN是矩形， ∴FH＝DN，DH＝FN，EF∥DH， ∴∠DEF＝∠EDM， ∵∠BCD＝101°， ∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝79°， ∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝11°， ∵∠CDE＝59°， ∴∠DEF＝∠EDM＝∠CDE+∠CDM＝70°， 在Rt△DCM中，CM＝30cm， ∴DM＝CM•tan79°≈30×5.14＝154.2（cm）， 在Rt△DEN中，DE＝50cm， ∴EN＝DE•cos70°≈50×0.34＝17（cm）， ∵EF＝48cm， ∴FN＝DH＝EF﹣EN＝48﹣17＝31（cm）， ∴HM＝DH+DM＝31+154.2≈185（cm）， ∴点A到地面的距离约为185cm． 19．（2024•太原二模）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知△ABC是等边三角形，AB＝4，点D是射线BC上的一点，以AD为边作矩形ADEF（顶点A，D，E，F按逆时针顺序排列），其中AD＝2DE，直线EF分别与射线BC、直线AC交于点M，N． 【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点D与点B重合时的图形，如图1，并提出如下问题，请你解答： （1）猜想EM与FN的数量关系，并说明理由； 【深入思考】 （2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点N恰好是EF的中点时的图形，如图2，求此时的值； 【拓展延伸】 （3）在点D运动过程中，直接写出当CN＝2CM时的值． 【解答】解：（1）EM＝FN；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵四边形ADEF是矩形， ∴BE＝AF，∠E＝∠F＝∠EBA＝∠FAB＝90°， ∴∠EBM＝∠FAN＝30°， 在△BEM和△AFN中， ， ∴△BEM≌△AFN（ASA）， ∴EM＝FN； （2）如图2，连接DN， ∵点N是EF的中点，AD＝2DE， ∴DE＝EN， ∵∠E＝90°， ∴∠DEN为等腰直角三角形， 同理，△ANF也是等腰直角三角形， ∴∠FAN＝∠ANF＝45°， ∴∠EDN＝∠DNE＝45°， ∴∠NAD＝∠NDA＝45°， ∴△ADN为等腰直角三角形， ∴AD， 如图2，过点M作MH⊥CN于点H， 在Rt△CMH中，∠C＝60°， ∴∠CMH＝30°， 设CH＝x，则CM＝2x，， 在Rt△MNH中，∠MNH＝45°， ∴MH＝NHx，MNMHx， ∴CNx， 在Rt△CDN中，∠C＝60°，∠CDN＝30°， ∴DNCNxx， ∴ADDNxx， ∴ ； （3）分两种情况： ①当点D在线段BC上时， 如图3.1，过点N作NH⊥BC于点H． ∵∠NCH＝60°， ∴CN， ∵CN＝2CM， ∴CH＝MH，说明M与H重合，即EF⊥BC时，CU＝2CM， 如图3.2，此时点M与点E重合． ∵AB＝4，AD⊥BC， ∴ADAB4＝2， ∵DE， ∴DE， ∴CM＝CD﹣DEBC﹣DE＝2， ∵∠NMC＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠CNE＝30°， ∴MNCM， ∴， ∴当CN＝2CM时，； ②当点D在线段BC的延长线上时，CN＝2CM， 过点A作AH⊥BC于点H，如图3.2， AD∥EF， ∴2， ∴CD＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴CH＝2，AH＝2， ∴DE， ∴AD＝2， ∵△DEM∽△AHD， ∴， ∴DM， ∴CM＝2， ∵△ACD∽△NCM， ∴， ∴， 综上，或． 20．（2024•万柏林区二模）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影．某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下： 活动目的 测量风力发电机的塔杆高度 测量工具 无人机、皮尺等 测量示意图 说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点（B点在A点的正上方）测量出塔杆顶端P的仰角和俯角 测量数据 斜坡CD的坡角 30° CD的长度 18米 AB的长度 53米 点A处测量的仰角 45° 点B处测量的俯角 18° 请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 【解答】解：把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F， 由题意得：BG＝AF，AB＝FG＝53米，DG⊥BE，PF⊥AF， 设BG＝AF＝x米， 在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，CD＝18米， ∴DFCD＝9（米）， 在Rt△AFP中，∠PAF＝45°， ∴PF＝AF•tan45°＝x（米）， 在Rt△BPG中，∠GBP＝18°， ∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米）， ∵GP+PF＝GF， ∴0.325x+x＝53， 解得：x＝40， ∴PF＝40米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣9＝31（米）， ∴该通信塔的塔杆PD的高度为31米． 21．（2024•太原二模）在太原市文瀛公园，耸立着一座高大的石碑——见义勇为纪念碑．此碑顶端为一只紧握的铁拳，象征见义勇为英雄扶正祛邪的强大力量．综合实践小组按如图所示的方案测量该纪念碑的高度AB：①在纪念碑前的空地上确定测量点P，当测倾器高度PC为0.8米时，测得纪念碑最高点A的仰角∠ACD＝38.7°；②保持测倾器位置不变，调整测倾器高度PE为1.8米时，测得点A的仰角∠AEF＝37°．已知点A，B，C，D，E，F，P在同一竖直平面内，请根据该小组测量数据计算纪念碑的高度AB．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos°37≈0.80，tan37°≈0.75，sin38.7°≈0.62，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）　17米　 【解答】解：延长EF交AB于M过C作CN⊥AB于N， 则BN＝PC＝0.8米，BM＝PE＝1.8米，EM＝CN， ∴MN＝CE＝1米， 设EM＝CN＝x米， 在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°， ∴AM＝EM•tan37°≈0.75x， 在Rt△ACN中，∵∠ACN＝38.7°， ∴AN＝CN•tan38.7°≈0.80x， ∵MN＝AN﹣AM＝0.8x﹣0.75x＝1， ∴x＝20， ∴AN＝20×0.8＝16（米）， ∴AB＝AN+BN＝16+0.8≈17（米）， 答：纪念碑的高度AB约为17米． 故答案为：17米． 22．（2024•迎泽区二模）项目化学习： 项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图． 成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题 遮阳伞下的影子 项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 太阳光线与地面的夹角α（度） 90 80 65 50 35 20 参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，． 示意图 测量数据 如图，某款遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，CF为悬托支杆，F为PD的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为△PDE，DP、DE为伞体支架，且DP＝DE，测量得到AC＝2.8米，PD＝2米，CF＝1米，∠DPE＝15°． 项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组” 中午12：00时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使PE∥AB，遮阳效果最佳． 下午14：00时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳． 下午17：00时，… 项目反思 … 任务一：填空：如图2，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆CF与伞体支架DE的关系是 　CF∥DE，CFDE　； 任务二：请你参照“创新小组”的项目结果进行计算（注意：计算结果均精确到0.1米）． ①如图3，求立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约多少米； ②如图4，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子BQ的长． 【解答】解：任务一：∵AB∥PE，AC⊥AB， ∴PE⊥AC， ∴∠CPE＝90°， ∵∠DPE＝15°， ∴∠CPF＝75°， ∵PD＝2米，点F为PD的中点， ∴PF＝2PD＝1米，CF＝PFPD， ∴∠FCP＝∠FPC＝75°， ∴∠CFD＝∠FCP+∠FPC＝150°， ∵PD＝CD， ∴∠DPC＝∠DCP＝15°，CFDE， ∴∠D＝180°﹣∠DPC﹣∠DCP＝150°， ∴∠D＝∠CFD， ∴CF∥DE， ∴CF∥DE，CFDE； 故答案为：CF∥DE，CFDE； 任务二：①如图2所示，过点P作PH∥AB交BE于H，过点F作FG⊥AC于G， 由题意得∠ABE＝65°，∠PEH＝90°， ∵PH∥AB， ∴∠EHP＝∠ABE＝65°， ∴∠EPH＝25°， 由任务一可知∠CPH＝90°，CF＝PF＝1米， 又∵∠DPE＝15°， ∴∠FPC＝50°； ∵CF＝PF＝1米，FG⊥AC， ∴PC＝2PG， 在Rt△PFG中，PG＝PF•cos∠FPG＝1•cos50°≈0.64（米）， ∴PC＝2PG＝1.28米， ∴PA＝AC﹣PC≈1.5米， ∴立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约1.5米； ②如图3所示，过点P作PH∥AB交BE于H，过点D作DK⊥PE于K， ∵DP＝DE， ∴PE＝2PK， 在Rt△DPK 中，PK＝PD•cos∠DPK＝2•cos15°≈1.94（米）， ∴PE＝2PK＝3.88米， 在Rt△PHE 中，PH4.3（米）， ∵PQ∥BH，PH∥BQ， ∴四边形PQBH是平行四边形， ∴BQ＝PH＝4.3米， ∴伞体在地面上留下的影子BQ的长为4.3米． 23．（2024•太原二模）综合与实践 问题情境 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形纸片ABCD，AD＞AB．如图1，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边BC上，展开后折痕AE交CD于点E．如图2，在图1的基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在AF上，展开后折痕FG交AB于点G，延长GH交AE于点K． 初步探究 （1）求证：四边形EFGK是平行四边形． 深入探究 （2）判断AG和DE的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）当四边形EFGK为菱形时，直接写出的值． 【解答】解：如图分别标记∠1，∠2，∠3，∠4，∠5， （1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠D＝90°， ∴∠DAF＝∠BFA， 即∠1+∠2＝∠3+∠4， 又根据折叠得：∠AFE＝∠D＝90°，∠GHF＝∠B＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∵∠2＝∠3，∠GHF＝∠AFE＝90°， ∴KE∥GF，GK∥FE， ∴四边形EFGK是平行四边形； （2）AG＝DE， 理由：在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠GAK＝∠AED， 由根据折叠得：∠AED＝∠AEF，DE＝FE， ∴∠GAK＝∠AEF， 由（1）得四边形EFGK是平行四边形， ∴GK＝FE， ∴DE＝GK， ∵GK∥FE， ∴∠GKA＝∠AEF， ∴∠GAK＝∠GKA， ∴AG＝GK， ∴AG＝DE； （3）∵四边形EFGK为菱形， ∴GK＝GF， AG＝GF， ∠3＝∠5， ∴∠3＝∠4＝∠5， 又∠5+∠BFA＝90°，∠BFA＝∠3+∠4， ∴∠3+∠4+∠5＝90°， ∴∠3＝∠4＝∠5＝30°， 在Rt△ABF中， cos∠5＝cos30°， 根据折叠得：AF＝AD， ∴， ∴， ∴当四边形EFGK为菱形时，的值为． 24．（2024•杏花岭区二模）综合与实践 在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张如图所示的长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动． （1）如图1，勤学小组将长方形纸片ABCD对折，使得边AD与BC重合，折痕记为EF．展开后再延过点B的直线l折叠，使得点A落在EF上，直线l交AD与点M，点A的对应点记为A′，连接AA′，发现其恰好经过点C．勤学小组据此求出了边AB与BC的比值为 　　． （2）如图2，善思小组先连接对角线AC，BD交于点O，再通过折叠使得点A落在对角线AC上，折痕与边AD，BC分别交于点G，H，与对角线BD交于点P，点A，B的对应点分别记为A′B′，发现A′B′与对角线BD具有特殊的位置关系．请你写出A′B′与BD的位置关系，并加以证明． （3）如图3，明辨小组在善思小组探究所得结论的基础上，发现BP，A′C，GH这三条线段满足一特殊等量关系．请你直接写出这三条线段满足的等量关系． 【解答】解：（1）∵长方形纸片ABCD对折，使得边AD与BC重合，折痕记为EF． ∴AA′＝A′B，AB＝A′B， ∴AA′＝A′B＝AB， ∴△AA′B是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴， 故答案为：； （2）A′B′∥BD，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OAAC，OBBD， ∴OA＝OB， ∵∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵折叠使得点A落在对角线AC上， ∴∠B′A′A＝′BAC＝60°， ∴∠B′A′A＝′AOB， ∴A′B′∥BD； （3）如图， 设A′B′′交BC于W，作HV⊥AD于V， ∵A和A′关于GH对称， ∴AA′⊥GH，BH＝B′H， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPG＝30°， ∴∠PBH＝∠OPG＝30°， ∴BPBHB′H， 同理可得， A′C＝A′W， ∵∠B′＝∠B＝90°，∠HWB′＝∠A′WC＝∠B′A′A﹣∠ACB＝60°﹣30°＝30°， ∴B′W＝B′H＝BP， ∴BP+A′C＝A′B′＝AB， ∵∠DAB＝∠ABC＝∠HVA＝90°， ∴四边形ABHV是矩形， ∴HV＝AB， ∵∠CAD＝30°，∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝60°， ∴， ∴AB＝HV， ∴BP+A′C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/22 14:36:54；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$