专题6.7 反比例函数压轴题综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

第6章 反比例函数压轴题综合测试卷 【浙教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·河北唐山·期末）如图直角三角板∠ABO＝30°，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝（　　）    A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（    ） A． B．12 C． D．15 5．（3分）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（2023·辽宁辽阳·模拟预测）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 8．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数 和 的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（    ）    A．26 B．28 C．30 D．32 9．（3分）（24-25八年级·四川达州·期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·湖南张家界·期中）如图，在中，，，，点B，C在两坐标轴上滑动，当边轴时，点刚好在双曲线上，此时下列结论不正确的是（    ） A．此时点A与点O距离最大 B．双曲线解析式为 C．点B为 D．AC边的高为 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 12．（3分）（24-25八年级·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰纸片，边与轴重合，点坐标为，若反比例函数与边交于点，与边交于点． （1）当点为中点时，则的值为 ； （2）将如图放置的纸片的沿过点的直线翻折，当点落到中点时， ； （3）若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是 ． 13．（3分）（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）一次函数的表达式为 ． （2）点在x轴的负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，n的值为 ． 14．（3分）（24-25八年级·山东德州·期末）如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 15．（3分）（24-25八年级·甘肃张掖·期末）如图，的三个顶点分别为．若函数在第一象限内的图象与有交点，则整数k的个数有 个． 16．（3分）（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 18．（6分）（24-25八年级·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 19．（8分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 20．（8分）（24-25八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点” （1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________； （2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________； （3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值． 21．（10分）（24-25八年级·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段． (1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值． (2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示） 22．（10分）（24-25八年级·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 23．（12分）（24-25八年级·山西晋中·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 24．（12分）（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 反比例函数压轴题综合测试卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·河北唐山·期末）如图直角三角板∠ABO＝30°，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值． 【详解】设AB与x轴交点为点C， Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠OAC＝60°， ∵AB⊥OC， ∴∠ACO＝90°， ∴∠AOC＝30°， 设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a， ∴A（a，a）， ∵A在函数y1＝的图象上， ∴k1＝a×a＝a2， Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a， ∴BC＝＝3a， ∴B（a，﹣3a）， ∵B在函数y2＝的图象上， ∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2， ∴＝， 故选：D．    【点睛】此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC＝a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k1与k2的值，才能求出结果. 2．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 3．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得 【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，， 平分，平分， , , ， 四边形是正方形 ，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正方形的判定，角平分线的性质，判定三角形全等以及全等的性质，勾股定理，理解角平分线的性质是解题的关键． 4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（    ） A． B．12 C． D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得 ，根据，求得，得到点的纵坐标为 ，设 ，则 ，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值． 【详解】解：过点作轴，延长交于点， 与轴平行，与轴平行， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为 ， 设 ，则 ， 反比例函数的图象经过、两点， ， ， ， ， 故选：D． 5．（3分）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 6．（3分）（2023·辽宁辽阳·模拟预测）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求出两点坐标，再分别经过两点时的值即可得出取值范围，求出两点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为， ∴把代入得，， ∴的坐标是， ∵， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴的中点坐标为， 当双曲线经过点时，； 当双曲线经过点时，； ∴， 故选：． 7．（3分）（24-25八年级·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由绕点A逆时针旋转得到可得为等边三角形，再通过点A的坐标为可求得，最后过点D作轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， 点A的坐标为， ， 设则， ， 解得：， ， 过点D作轴如图：   ，， 点D坐标为， 点D在反比例函数上， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形的判定及性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答． 8．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数 和 的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（    ）    A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，涉及正方形性质， 连接交于，延长交轴于，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得． 【详解】解：连接交于，延长交轴于，如图：   四边形是正方形， ， 设，， 轴， ，，， ，都在反比例函数的图象上， ， ， ， ，， 在反比例函数的图象上，在的图象上， ，， ； 故选：D． 9．（3分）（24-25八年级·四川达州·期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】解：设点， 则, ∵， ∴， ∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：． 10．（3分）（24-25八年级·湖南张家界·期中）如图，在中，，，，点B，C在两坐标轴上滑动，当边轴时，点刚好在双曲线上，此时下列结论不正确的是（    ） A．此时点A与点O距离最大 B．双曲线解析式为 C．点B为 D．AC边的高为 【答案】A 【分析】可得，设边上的高是， 由直角三角形的面积可求，从而可得，可求反比例函数解析式，由勾股定理可求的坐标，取的中点E，连接、， 当，，三点共线时，取得最大值． 【详解】解：，，， ， 轴， ， 设边上的高是， ， 即：， 解得：， ，， ， 解得：， 反比例函数的解析式是； ， ， 综上所述，可知B、C、D都正确； 如图，如图取的中点E，连接、， ， ， ， ， 当，，三点共线时， 此时取得最大值， 轴时，点A与点O距离不是最大， A的结论不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求反比例函数，直角三角形面积转换求斜边的高，勾股定理等，根据题意取的中点E，判断出何时取得最大值是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： ． 12．（3分）（24-25八年级·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰纸片，边与轴重合，点坐标为，若反比例函数与边交于点，与边交于点． （1）当点为中点时，则的值为 ； （2）将如图放置的纸片的沿过点的直线翻折，当点落到中点时， ； （3）若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． （1）作于点F，求出，得到点B的坐标，利用中点坐标公式求出点D的坐标即可求解； （2）求出点的坐标，求出直线的解析式，设，利用勾股定理求出m的值，进而可求出k的值； （3）数形结合，找出临界点求出k的值即可． 【详解】解：（1）作于点F， ∵点A坐标为，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：； （2）如图，点B落在上中点处，连接． 由（1）可知，， ∴， ∵点A坐标为，点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把点A和点B的坐标代入， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵点A坐标为，， ∴若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则这两个点一定是点A和点， 把代入得，把代入得， ∴． 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）一次函数的表达式为 ． （2）点在x轴的负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，n的值为 ． 【答案】 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出，再求出的坐标，由待定系数法，即可求解； （2）由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，由点的平移规律求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：（1）将代入反比例函数得， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 一次函数的表达式为； 故答案为：； （2） ，， 四边形是平行四边形， ，， 点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ， ，， ， 在反比例函数图像上， ， 解得：， 经检验：是此方程的根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，平行四边形的判定及性质，点的平移规律等；平行四边形的判定及性质得到平移的方式是解题的关键． 14．（3分）（24-25八年级·山东德州·期末）如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，找到规律，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级·甘肃张掖·期末）如图，的三个顶点分别为．若函数在第一象限内的图象与有交点，则整数k的个数有 个． 【答案】11 【分析】本题考查反比例函数与三角形有交点，解题的关键必须找出临界点． 当值由小变大时，先经过点A，把点A的坐标代入即可；最后和直线有交点时最大，即联立的方程中，解题即可． 【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是， ∵过点的反比例函数解析式为 ∴ 随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意, 经过点的直线解析式设为，代入得 ，解得， ∴， 由 得，根据，得 综上可知 ． 则整数k的个数有11个． 故答案为: 11 16．（3分）（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 【答案】 4 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标． （2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求出此时的值，再根据只有两个点的对应的值相等即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有、、、、、 则分别过以上点的双曲线的值分别为：， 所以当与正方形网格线有两个交点，的值可以为， 满足条件的正整数的值有4个． 故答案为：4． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由，先求出点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值，进而可得反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为可求出点坐标，将、两点坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式； （2）由（1）得，，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）根据两个三角形面积相等，可推出点一定在正比例函数或直线的图象上，联立方程组求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：设， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为， ， ， ， 、两点在一次函数的图象上， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：，， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式时x的取值范围为：或； （3）解：， 根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上， ， 解得：， 点的坐标为：或； 当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上， ， 解得：或， 点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求一次函数解析式，求反比例函数解析式，根据交点确定不等式的解集，一次函数图象平移问题，三角形的面积公式，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 18．（6分）（24-25八年级·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 19．（8分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（）设，， 由勾股定理得，即得，，即得到，进而求出点坐标即可求解； （）连接，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，据此即可求证； （）设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，证明得，证明得，，即得，进而得，即得到，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）证明：连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点的横坐标为，且反比例函数 的图象经过点， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（8分）（24-25八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点” （1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________； （2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________； （3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）；；（2）1；（3）或． 【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转180°，根据中心对称即可求得； （2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点”即可求得； （3）根据点是点的“影射点"，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图像上一点，分类讨论①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得，②同①的方法，如图，当时，过点作 轴，分别过向作垂线，垂足为，先求得点的坐标，进而证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得． 【详解】（1）设的坐标是 的坐标是， ，绕点旋转180°， ， ，， ， ； ， 故答案为：；， （2）根据定义，是轴上的点，设， 点在一次函数，令，得,则与轴的交点为， 其“影射点”在一次函数，令，得，则与轴的交点为， ， 解得：， 故答案为：1， （3）①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上， ， 解得 或者， ， ， ， ， ②如图，当时，过点作 轴，分别过向作垂线，垂足为， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 解得：， ， ，， 即， ， 在上， ， 解得 ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，中点坐标，一次函数与坐标轴交点问题，反比例函数的定义，三角形全等的性质与判定，求一个数的平方根，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键． 21．（10分）（24-25八年级·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段． (1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值． (2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】(1)如图，过点作轴于点，由旋转的性质证出为等边三角形，再由等边三角形的性质和反比例函数的性质证明即可得解； (2)如图，过点作轴于点，先证出，再由勾股定理和反比例函数的性质证出，进而利用三角形的面积的和差即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， 将绕点O顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， ， 点B在反比例函数的图象上， ， ； （2）解：如图，过点作轴于点， 双曲线的对称轴为直线， ， ，关于直线对称， ， ， ， ， ，， ，都在反比例函数图象上， ， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 22．（10分）（24-25八年级·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】(1)反比例函数 (2) (3)串入的滑动电阻需增加欧姆 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 23．（12分）（24-25八年级·山西晋中·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②是定值 【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可． （2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可； ②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可． （3）①根据定义，得，整理表示y即可． ②根据，变形得即，变形解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得， ∴矩形的周长为，面积为，不相等， ∴点不是“美好点”； ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得． 故答案为：不是；4． （2）①解：∵点是“美好点”（）， ∴， 解得， ∴点， 把代入解析式中，得， 解得； ②解：∵， ∴双曲线的解析式为， ∵点在上， 解得， 故点， 过点F作轴于点H，交的延长线于点G， 设，直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）①解：∵点是第一象限内的“美好点”． ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． ②解：是定值，且为．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 故是定值，且为． 【点睛】本题考查了矩形的周长和面积，点与象限，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$