专题05 不等式与不等式组（5个知识点+7个核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题05 不等式与不等式组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 不等式】 1．不等式的定义：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． （1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。 一般用 x>a、x<a、x≥a、x≤a 来表示。 （2）数轴表示法： 4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 【典例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2】用不等式表示： (1)x的与3的差大于2；(2)与3的和小于或等于零；(3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数；(5)x与17的和比x的5倍小． 【知识点2 不等式的性质】 1．不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。 即若，则 。 2．不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。 若，则 。 3．不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。 若，则 。 【典例3】有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】 1．一元一次不等式的概念： 只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母不含有 字母 。 2．一元一次不等式组的概念： 把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 3．一元一次不等式组的解集： 几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。 4．一元一次不等式组的解集的求法： 先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。 5．不等式组的解的情况与图示（a<b）： ①同大取大：，图示：，解集为 x>b 。 ②同小取小：，图示：，解集为 x<a 。 ③大小小大中间找：，图示：，解集为 a<x<b 。 ④大大小小无解答：，图示：，解集为 无解 。 【典例4】有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【典例5】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【典例6】将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【知识点4 解一元一次不等式（组）】 解一元一次不等式具体步骤： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ） ②去括号：利用去括号的法则去括号。 ③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ） ④并：利用合并同类项法则进行合并。 ⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。（根据不等式的性质 2或3 ） 【典例7】解不等式组：，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为：___________． (5)原不等式组所有整数解的和为：___________． 【知识点5 用一元一次不等式（组）解决实际问题】 列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； （5）解：解出所列的不等式（组）的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 考点一：由不等式（组）的解集求参 例1.若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-3】如果不等式组的解集是． (1)求的取值范围； (2)不等式的解集为，求m的取值范围． 考点二：由不等式（组）中的整数解求参 例2．关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 考点三：由不等式（组）有解和无解情况求参 例3．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的正整数解． (2)当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集． 【变式3-3】已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 考点四：由不等式（组）与方程（组）综合求参 例4．已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式4-2】关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【变式4-3】已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，．求的取值范围． 考点五：不等式（组）中新定义问题 例5．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 【变式5-1】定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式 的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【变式5-2】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”． (1)方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围． 【变式5-3】如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 考点六：一元一次不等式（组）解最多至少问题 例6．综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【变式6-1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【变式6-2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【变式6-3】一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 考点七：一元一次不等式（组）解方案选择问题 例7．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【变式7-1】中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【变式7-2】“保护环境，低碳出行”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车共10辆．已知购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需650万元；购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买型公交车辆，完成下表： 数量（辆） 购买总费用（万元） 载客总量（万人次） 型车 型车 （3）若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1150万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于640万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？ 【变式7-3】某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 3．已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 6．已知关于的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．我们用表示不大于的最大整数；用表示大于的最小整数．下列说法： ，； 如果，则满足条件的所有正整数只有和； 已知，满足方程组，则，的取值范围，． 其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 9．在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？ (2)若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？ 10．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式与不等式组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 不等式】 1．不等式的定义：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． （1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。 一般用 x>a、x<a、x≥a、x≤a 来表示。 （2）数轴表示法： 4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 【典例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 【典例2】用不等式表示： (1)x的与3的差大于2；(2)与3的和小于或等于零；(3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数；(5)x与17的和比x的5倍小． 【详解】（1）解：x的与3的差大于2即 （2）解：与3的和小于或等于零，即 （3）解：a的2倍与4的差是正数，即 （4）解：b的与c的和是非负数，即 （5）解：x与17的和比x的5倍小，即 【知识点2 不等式的性质】 1．不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。 即若，则 。 2．不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。 若，则 。 3．不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。 若，则 。 【典例3】有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【详解】解：若，当时，，故①不正确； 由时，则，即，故②正确； 若且时，则，故③错误； 若，即，则，故④正确． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】 1．一元一次不等式的概念： 只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母不含有 字母 。 2．一元一次不等式组的概念： 把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 3．一元一次不等式组的解集： 几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。 4．一元一次不等式组的解集的求法： 先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。 5．不等式组的解的情况与图示（a<b）： ①同大取大：，图示：，解集为 x>b 。 ②同小取小：，图示：，解集为 x<a 。 ③大小小大中间找：，图示：，解集为 a<x<b 。 ④大大小小无解答：，图示：，解集为 无解 。 【典例4】有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 【典例5】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【详解】解：已知是关于的一元一次不等式， ∴， ∴或，且， ∴或，且， ∴， 故答案为：1 ． 【典例6】将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 解集表示在数轴上如图所示， ， 故选：B ． 【知识点4 解一元一次不等式（组）】 解一元一次不等式具体步骤： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ） ②去括号：利用去括号的法则去括号。 ③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ） ④并：利用合并同类项法则进行合并。 ⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。（根据不等式的性质 2或3 ） 【典例7】解不等式组：，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为：___________． (5)原不等式组所有整数解的和为：___________． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：作图如下， （4）解：不等式①的解集是，不等式②的解集是，根据“大小小大中间找”原则，公共部分为． （5）解：不等式组的整数解为，，，它们的和为． 【知识点5 用一元一次不等式（组）解决实际问题】 列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； （5）解：解出所列的不等式（组）的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 考点一：由不等式（组）的解集求参 例1.若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，进而根据意义得到，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， ， ， ， 故选：B 【变式1-1】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1-2】关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 【变式1-3】如果不等式组的解集是． (1)求的取值范围； (2)不等式的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键． （1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围； （2）根据不等式的基本性质得出m的取值范围，再结合（1）中m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：， 由①得，， 不等式组的解集是， ； （2）不等式的解为， ， 解得：， 由（1）知，， 考点二：由不等式（组）中的整数解求参 例2．关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出的范围是解题的关键． 由不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式恰有三个非负整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式2-1】若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为0、1、2， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2-2】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 【变式2-3】若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．求出不等式的解集，利用不等式组的所有整数解之和等于20，求出a的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a的值之和． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解之和等于20， 即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，， ∴，或， 解得：，或， ∴a的整数值可以是6、7、8，或，，， ∴所有满足条件的整数为， 故选：A． 考点三：由不等式（组）有解和无解情况求参 例3．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴． 故选：C． 【变式3-1】若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查不等式组无解的情况，解题的关键是熟知不等式组的解集．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵该不等式组无解， ∴， 故选：B． 【变式3-2】已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的正整数解． (2)当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集． 【答案】(1)不等式的正整数解为1，2，3 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． （1）把代入不等式，求出解集即可； （2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出a的范围，进而求出解集即可． 【详解】（1）解：将代入不等式，得， 去分母，得， 解得， 所以此不等式的正整数解为1，2，3． （2）解：由得， 整理得，即， 所以当，即时，该不等式有解． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式3-3】已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 考点四：由不等式（组）与方程（组）综合求参 例4．已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，把代入求出、即可；②把代入，求出的值，再根据判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④根据和求出，再求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ①当时，，， 所以、互为相反数，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ， 此时符合，故②正确； ③当时， ，， 方程组的解是， 把，代入方程得：左边右边， 即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确； ④∵， ， 即， ∵， ∴， ， ， ，故④正确； 故选：D． 【变式4-1】若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至多有3个整数解， ∴， ∴， ， ， 解得， ∵方程有非负整数解， ∴（x为非负整数）， ∴，且为整数， ∴， ∴， ∵， ∴符合条件的所有整数a的值为：0，3，8， ∴符合条件的所有整数a的和是：． 故答案为：11． 【变式4-2】关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， 关于的方程组的解为整数， ，解得：， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【变式4-3】已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，．求的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． （1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于m的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解； （3）根据（2）的结论，计算，同时得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组（m是常数）的解也是方程的解， ∴x，y满足方程组 解得 把代入，得 ， 解得． （2）关于x，y的方程组的解为 ∵， ∴， 解得． ∴ ． （3）由于关于x，y的方程组的解为 ∴． 又∵，， ∴， 解得 ∴-， ∴， 即， ∴． 考点五：不等式（组）中新定义问题 例5．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 【答案】(1)是； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义即可求解； （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义得出，然后求解集即可； （）由解不等式得，解不等式得，由得，根据“关联方程”定义得出，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由， ， ∴在范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， 故答案为：是； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由得， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：； （3）解： 解不等式得：， 解不等式得：， 由得， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式 的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． （1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，不满足，故舍去； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【变式5-2】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”． (1)方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)③； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于和的不等式组是解此题的关键． （1）先计算方程的解为，分别计算不等式的解，比较即可求解； （2）解不等式组得，求解方程，进而求解； （3）分别解方程，解方程，根据题意分为两种情况，求解即可； 【详解】（1）解：， 解得：； ， 解得：， ，不符合题意； ， 该不等式无解，不符合题意； ， 解得：； ， 方程是的“浯溪水亦香方程”； 故答案为： （2）解：解不等式组 得：． 解方程 得：， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即的取值范围是； （3）解：解方程， 得， 解方程 得， ∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 【变式5-3】如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 考点六：一元一次不等式（组）解最多至少问题 例6．综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】（1），，；（2）甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；（3）0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意可得答案； （2）根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 【详解】解：（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是米， 故答案为：；；； （2）由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 【变式6-1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解． （1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得：， 解得：； （2）解：当用水量为时，水费为：元，元， ∵， ∴小王家6月份的用水量超过， 设小王家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， ∴小王家6月份最多用水． 【变式6-2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 【变式6-3】一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， 又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为 ∴的最小值为 答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值． 考点七：一元一次不等式（组）解方案选择问题 例7．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元 (2)A型号的取暖器最多能采购22台 (3)能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得 解得 答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元． （2）解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台． 根据题意，得， 解得． 答：A型号的取暖器最多能采购22台． （3）解：由（2）可得， 解得， 因为且a为整数， 所以a可取21或22， 所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标． 购进方案： 方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台． 方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台． 【变式7-1】中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论． 【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则 ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得， 解得： 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆； 第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆； 第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆． 元； 元； 元； ∵ ∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【变式7-2】“保护环境，低碳出行”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车共10辆．已知购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需650万元；购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买型公交车辆，完成下表： 数量（辆） 购买总费用（万元） 载客总量（万人次） 型车 型车 （3）若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1150万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于640万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1）购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元；（2）150（10﹣x），100（10﹣x），见解析；（3）有三种方案：（一）购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；（二）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；（三）购买A型公交车9辆，B型公交车1辆；购买A型公交车9辆，B型公交车1辆即第三种购车方案总费用最少，最少总费用是1050万元 【分析】（1）设购买每辆A型公交车x万元，购买每辆B型公交车每辆y万元，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据（1）中的数据计算即可； （3）设购买x辆A型公交车，则购买（10﹣x）辆B型公交车，依题意列不等式组计算即可； 【详解】解：（1）设购买每辆A型公交车x万元，购买每辆B型公交车每辆y万元，依题意列方程得， ， 解得 ， ∴购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元． （2）由（1）中的可得： 故答案是： 数量（辆） 购买总费用（万元） 载客总量（万人次） A型车 x 100x 60x B型车 10﹣x 150（10﹣x） 100（10﹣x） （3）设购买x辆A型公交车，则购买（10﹣x）辆B型公交车，依题意列不等式组得， ，解得 7≤a≤9， ∵x是整数， ∴x=7，8，9. 有三种方案（一）购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；           （二）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；           （三）购买A型公交车9辆，B型公交车1辆； 即该公司有3种购车方案； 因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案． 最少费用为：9×100+150×1=1050（万元）． 【变式7-3】某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 【答案】(1)甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元 (2)共有3种进货方案 (3)当，（2）中所有方案获利相同 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意得到数量关系式是解题的关键． （1）设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出关于a的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，可得到m的值，即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元： 由题意：，                       解得，                                     答：甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元； （2）解：设购进甲款笔记本本．则：                               解得：． 的正整数解为30，31，32． 共有3种进货方案； （3）解：设购进甲款笔记本本，则总获利为： ． ∵使（2）中所有的方案获利相同， ∴， 即当，（2）中所有方案获利相同． 1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质及其解法，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．运用不等式的基本性质，不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．求解即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， ∴； 故选：D． 2．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 3．已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，方程组的解法，不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由，，整理得，，然后通过整式的加减，方程组的解法，不等式解法逐一排除即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 、得：， ∴，原选项正确，不符合题意； 、得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、得，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 4．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据题意可知第一次运算的结果要小于等于13，则，第二次运算的结果要大于13，则，据此建立不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 5．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 6．已知关于的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法．先分别解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴此不等式组的解集为：， 由题可知：此不等式组的解集为：， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 7．已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可． 【详解】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解，故①正确； ∵不等式组无解， ∴，故②错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴，故③正确； ∵不等式组只有三个整数解， ∴，故④错误； ∴正确的序号为①③， 故选B． 8．我们用表示不大于的最大整数；用表示大于的最小整数．下列说法： ，； 如果，则满足条件的所有正整数只有和； 已知，满足方程组，则，的取值范围，． 其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组，解不等式组，按照题目所给的新定义逐一判断即可，学会新定义并且掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ，，正确， ∵， ∴， 解得：， ∴所有正整数只有和，故正确； 解方程组得：， ∴，，故错误， ∴正确的为，正确的个数为个， 故选：． 9．在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？ (2)若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？ 【答案】(1)购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克 (2)每天卖出的耙耙柑至少是36千克 (3)最低可以打8折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，根据“柠檬的进价是4元/千克，耙耙柑的进价是3元/千克，一共花费840元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据“每天利润不少于536元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设耙耙柑打折销售，根据“销售耙耙柑的总利润不低于716元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【详解】（1）解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克， 根据题意得：， 解方程得， （千克） 答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克； （2）解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得： ， 解不等式，得：， 答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克； （3）解：设耙耙柑打折销售，根据题意得： 耙耙柑的总利润为：， 解不等式得：， 答：最低可以打8折． 10．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】(1)A工种工人的月工资为1万元，B工种工人的月工资为1.2万元 (2)三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为68万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元； （2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$