精品解析：上海市浦东新区上海海事大学附属北蔡高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

海大附中高一第二学期5月月考数学试卷 （考试时间：90分钟） 2025.5 一、填空题（3*12=36） 1. 空间三点最多可确定______条直线. 2. 已知直线，则直线与直线的位置关系为______________. 3. 已知复数满足，则的值为______． 4. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_______. 6. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 7. 已知向量，，且，则__________________． 8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 9. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 10. 如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________. ①直线与直线垂直； ②直线与直线相交； ③直线与直线平行； ④直线与直线异面； 11. 已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________. 12. 已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______． 二、选择题（3*4=12） 13. 若复数z满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 14. 设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 16. 设，函数，若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知复数，，其中是实数. （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求. 18. 如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点.求证： MN与PQ是异面直线. 19. 已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数在上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求. 20. 如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点. （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求异面直线与所成角的大小. 21. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海大附中高一第二学期5月月考数学试卷 （考试时间：90分钟） 2025.5 一、填空题（3*12=36） 1. 空间三点最多可确定______条直线. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三点的位置情况分类确定即可得解. 【详解】当空间三点共线时，三点可以确定1条直线；当三点不共线时，三点可以确定3条直线， 所以空间三点最多可确定3条直线. 故答案为：3 2. 已知直线，则直线与直线的位置关系为______________. 【答案】异面或平行或相交 【解析】 【分析】根据空间中直线的位置关系即可判断. 【详解】由题意有：直线与直线可能异面或平行，相交， 故答案为：异面或平行或相交 3. 已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 4. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算求，，再结合投影向量的定义求解即可. 【详解】由，， 得，， 则向量在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 6. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 7. 已知向量，，且，则__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示化简得出的值，然后利用诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为向量，，且，则， 所以，． 因此， . 故答案为：. 8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 【答案】且 【解析】 【分析】由题意得四边形为平行四边形，要使四边形为正方形即可得解. 【详解】由分别为中点，所以且， 同理且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 同理得，要使四边形为正方形，则且， 故答案为：且. 9. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解析】 【分析】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 10. 如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________. ①直线与直线垂直； ②直线与直线相交； ③直线与直线平行； ④直线与直线异面； 【答案】①④ 【解析】 【分析】画出正方体，，，故，① 正确，根据相交推出矛盾得到② 错误，根据，与相交得到③ 错误，排除共面的情况得到④ 正确，得到答案. 【详解】如图所示的正方体中，，，故，① 正确； 若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误； ，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误； ，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确； 故答案为：① ④. 11. 已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】取中点，先通过平行关系分析异面直线与所成的角为或其补角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出的长度. 【详解】取中点，连接，因为分别为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成的角即为或其补角， 当异面直线与所成的角为时， ，且，所以为等边三角形，所以； 当异面直线与所成的角为的补角时， ，且，所以， 所以， 综上可知，长为或， 故答案为：或. 12. 已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设向量与的夹角为，，则， ， 所以当时，取得最小值为， 即， 所以. 如图所示，设，三角形是等边三角形， 设是的中点，则， 由于，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为， 根据圆的几何性质可知，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题. 二、选择题（3*4=12） 13. 若复数z满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围. 【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 14. 设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 15. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且， 原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 16. 设，函数，若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，解得，对讨论，结合一元二次方程的根的情况，即可分类讨论得解. 【详解】令，解得， 令，则， 若，则无解， 因此在内有7个不同的根， 由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度小于2， 因此在内不可能有7个不同的根， 当时，此时只有一个实根， 此时在内需有6个不同的实数根， 由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度等于2， 因此在内不可能有6个不同的根， 当时，此时有两个不相等的实根， 若，则， 此时在有两个不相等的实根， 要使在区间内恰有7个零点， 只需要在内有5个不同的根， 则，得， 故，解得， 若，则， 此时在只有一个实根， 要使在区间内恰有7个零点， 只需要在内有6个不同的根， 则，得， 故，解得， 综上可知：或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知复数，，其中是实数. （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值. （2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答. 【小问1详解】 复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. 【小问2详解】 复数，，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 18. 如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点.求证： MN与PQ是异面直线. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 利用反证法,假设MN与PQ不是异面直线,则共面.利用点和直线的位置关系可得矛盾,进而假设不成立,即原结论成立. 直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线. 【详解】证明：方法一:（反证法）假设MN与PQ不是异面直线 则MN与PQ在同一平面内,设此平面为 ∴,,, ∵, ∴ 又∵ ∴ 又∵,,, ∴, ∴a,b,c共面于,这与a,b,c不共面矛盾 ∴假设不成立 ∴MN与PQ是异面直线 方法二:∵ ∴由a,c确定一个平面,设为 ∵, ∴, ∴,且, 又∵a,b,c不共面, ∴ ∴MN与PQ是异面直线 【点睛】本题考查了异面直线的证明,反证法在几何定理中的证明应用,属于基础题. 19. 已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数在上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解； （2）根据，可得，再利用余弦定理结合正弦定理即可得解. 【小问1详解】 将图象向右平移个单位长度， 得的图象， 再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得的图象， 由，得，所以， 故函数在上的值域为； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，所以， 由余弦定理得，又，所以， 由正弦定理得，又， 故. 20. 如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点. （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）相交，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接、、，证明出，，可知、是梯形的两腰，即可证得结论成立； （2）连接、、，分析可知、所成的角为或其补角，判断出的形状，即可得解； （3）连接、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线与所成角为，结合余弦定理可求得结果. 【小问1详解】 连接、、，如下图所示， 因为、分别为、的中点，所以，， 在正方体中，，， 因为、分别是、的中点，所以，， 因为四边形为平行四边形，所以，， 所以，，所以、是梯形的两腰. 因此直线与相交. 【小问2详解】 连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以、所成的角为或其补角， 易知为等边三角形，故， 因此异面直线与所成的角为. 【小问3详解】 取线段的中点，连接、、，如下图所示： 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角为， 不妨设正方体的棱长为，则， 同理可得，， 由余弦定理可得. 因此，异面直线与所成角为. 21. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1） ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2） ； （3） ，的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $