第13讲 幂函数讲义-2026届高三数学一轮复习

幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 例如：，，均为幂函数． 2．常见的5种幂函数的图象 3．常见的5种幂函数的性质 函数特征 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0]减， [0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 性质总结如下： 图像 一定过第一象限，一定不过第四象限 定点 （0,0），（1,1） （1,1） 单调性 在上是增函数 在上是减函数 4．幂函数解析式需满足三个条件： (1)指数为常数； (2)底数为自变量； (3)系数为1． 5．指数α对图像的影响：右侧，从下往上，指数α变大． 考点一 幂函数的概念 【例1】1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】设幂函数为，图象过点，故，故， ，.故选：B 【训练1】1．已知幂函数的图像过点，则方程的解是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意幂函数为，图象过点，即，解得， ∴即为，∴． 2．若幂函数的图象经过点，则______． 【答案】 【解析】由题意为幂函数，∴，又∵图象经过点，∴，∴． 3．若为幂函数，则f（3）＝（　　） A． B． C．9 D． 【答案】C 【解析】f（x）为幂函数，则log2m+1＝1，解得m＝1，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝9，故选：C． 考点二 幂函数的图像 【例2】1．函数的图象是( ) 【答案】B 【解析】显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，＞x；当x＞1时，＜x， 知只有B选项符合． 2．下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________． 【答案】②③④⑤ 【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；图象是直线上去掉点，②错误； 函数的定义域是，则它的值域是，③错误； 函数的定义域是，则它的值域是，④错误； 若函数的值域是，则它的定义域也可能是，⑤错误， 故答案为：②③④⑤． 【训练2】1．幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( ) A． －1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3； 又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入， 可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求． 2．已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( ) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 【答案】B 【解析】当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方， 作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B． 3．如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( ) A．－2，，，2 B．2，，，－2 C．，－2，2， D．2，，－2， 【答案】B 【解析】由指数α对图像的影响：右侧，从下往上，指数α变大，可得B． 4．如图是幂函数与在第一象限内的图象，则( ) A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 【答案】B 【解析】由指数α对图像的影响：右侧，从下往上，指数α变大，在结合图像，可得B． 考点三 幂函数的性质 【例3】1．已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 又因为在上单调递减，则.故选：A 2．设，则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵在上单调递减，得∴值可能为， 又∵为奇函数，∴值可能为，∴2个，选B． 【训练3】1．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________． 【答案】 【解析】因为幂函数在上为严格减函数，所以，所以， 又因为幂函数奇函数，且，所以． 2．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C 3．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增，并且在其定义域上是偶函数，∴，解得，∴． 4．已知幂函数（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足的a的取值范围是　 　． 【答案】（﹣∞，﹣1）∪（） 【解析】∵（m∈N*）在（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3． ∵m∈N*，∴m＝1，或m＝2．又∵（m∈N*）的图象关于y轴对称， ∴m2﹣2m﹣3是偶数，∴m＝1．∵g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数， 且当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，， ∴0＞a+1＞3﹣2a，或a+1＞3﹣2a＞0，或a+1＜0＜3﹣2a，解得（﹣∞，﹣1）∪（）． 5．已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（　　） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【解析】由题意得：m2﹣m﹣5＝1，解得：m＝3或m＝﹣2，若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2， 满足，则f（x）在（0，+∞）单调递增，m＝3时，f（x）＝x3，符合题意， m＝﹣2时，f（x），不合题意，故f（x）＝x3，由于a，b∈R，且a+b＞0，所以a＞﹣b， 由于函数为单调递增函数和奇函数，故f（a）＞f（﹣b），所以f（a）＞﹣f（b），所以f（a）+f（b）＞0，即f（a）+f（b）的值恒大于0，故选：A． 6．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，所以0， 因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D. 考点四 幂函数比较大小 【例4】1．设,,,则的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】:∵指数函数在R上为减函数∴,即. ∵,∴,即.∴. 2．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：，即，解得：， 所以实数a的取值范围为.故答案为： 【训练4】1．设,,,则的大小关系是_________． 【答案】 【解析】∵指数函数在R上为减函数∴,即. ∵,∴,即.∴. 2．已知a＝，b＝，c＝log2.51.5，则a，b，c的大小关系（　　） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【答案】A 【解析】1＞a＝>0.5，b＝>1，c＝log2.51.5<0.5，∴a，b，c的大小关系为：c＜a＜b．选：A． 3．已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象上，设a＝f（），b＝f（lnπ），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】A 【解析】点（m，8）在幂函数f （x）＝（m﹣1）xn的图象上，可得m﹣1＝1，即m＝2，2n＝8， 可得n＝3，则f（x）＝x3，且f（x）在R上递增，0<a<1，lnπ＞1，0，可得c＜a＜b，故选：A． 4．（23天津） 若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵为增函数，∴，又∵为增函数，∴，故选D． 考点五 幂函数的综合问题 【例5】1．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围： （3）若实数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【解析】（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数， 在上单调递增，则，，所以或2．所以； （2）由（1）偶函数在上递增， ．所以的范围是． （3）由（1），，， ，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是2． 【训练5】1．已知幂函数(，)在区间上单调递减． （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得 又，，则，此时，，即，所以的解析式是； （2）由（1）得，于是得不等式在上恒成立， 令，由，当且仅当，即时等号成立， 即，所以实数的取值范围是 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点． （1）求函数f(x)的解析式，利用定义法证明函数的单调性； （2）求满足f（1＋a）＞f（3－a）的实数a的取值范围． 【答案】（1），证明见解析；（2）． 【解析】（1）设，代入点得，解得，即， 故函数f(x)的定义域为设，则， 在上单调递増． （2）由于f(x)的定义域为，且在上递增，由已知f（1＋a）＞f（3－a）可得， 解得1＜a≤3，故a的范围是． 3．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k． （1）求m的值； （2）当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围； （3）设＝﹣kx+1﹣k2，且在[0，1]上单调递增，求实数k的取值范围． 【答案】（1）m＝0；（2）k的取值范围是[0，1]；（3）﹣1≤k≤0或k≥2． 【解析】（1）依题意得：（m﹣1）2＝1，解得m＝0或m＝2， 当m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，成立； 当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，不成立．综上，m＝0． （2）由（1）得f（x）＝x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A＝[1，4）， 当x∈[1，2）时，g（x）＝[2﹣k，4﹣k），即B＝[2﹣k，4﹣k）， ∵p是q成立的必要条件，∴B⊆A，∴，解得0≤k≤1，∴k的取值范围是[0，1]． （3）由题意可知，F（x）＝x2﹣kx+1﹣k2，又在[0，1]上单调递增， ∴或，∴﹣1≤k≤0或k≥2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 例如：，，均为幂函数． 2．常见的5种幂函数的图象 3．常见的5种幂函数的性质 函数特征 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 单调性 定点 ， 性质总结如下： 图像 定点 单调性 在上 在上 4．幂函数解析式需满足三个条件： (1)指数为常数； (2)底数为自变量； (3)系数为1． 5．指数α对图像的影响：右侧，从下往上，指数α变大． 考点一 幂函数的概念 【例1】1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【训练1】1．已知幂函数的图像过点，则方程的解是（ ） A．4 B． C．2 D． 2．若幂函数的图象经过点，则______． 3．若为幂函数，则f（3）＝（　　） A． B． C．9 D． 考点二 幂函数的图像 【例2】1．函数的图象是( ) 2．下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________． 【训练2】1．幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( ) A． －1 B．0 C．1 D．2 2．已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( ) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 3．如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( ) A．－2，，，2 B．2，，，－2 C．，－2，2， D．2，，－2， 4．如图是幂函数与在第一象限内的图象，则( ) A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 考点三 幂函数的性质 【例3】1．已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 2．设，则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【训练3】1．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________． 2．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知幂函数（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足的a的取值范围是　 　． 5．已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（　　） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 6．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 考点四 幂函数比较大小 【例4】1．设,,,则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为__________． 【训练4】1．设,,,则的大小关系是__________． 2．已知a＝，b＝，c＝log2.51.5，则a，b，c的大小关系（　　） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 3．已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象上，设a＝f（），b＝f（lnπ），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 4．（23天津） 若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 考点五 幂函数的综合问题 【例5】1．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围： （3）若实数满足，求的最小值． 【训练5】1．已知幂函数(，)在区间上单调递减． （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点． （1）求函数f(x)的解析式，利用定义法证明函数的单调性； （2）求满足f（1＋a）＞f（3－a）的实数a的取值范围． 3．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k． （1）求m的值； （2）当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围； （3）设＝﹣kx+1﹣k2，且在[0，1]上单调递增，求实数k的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$