精品解析：2025年辽宁省葫芦岛市绥中县中考二模数学试题

九年级中考模拟考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，这是由6个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，由图形可得该几何体的俯视图有三层，第一层最左边有一个小正方形，第二层有三个小正方形，第三层最右边有一个小正方形，由此即可得解． 【详解】解：由题意可得，该几何体的俯视图有三层，第一层最左边有一个小正方形，第二层有三个小正方形，第三层最右边有一个小正方形，如图： ， 故选：C． 2. 在实数，，，1中，最小的数是（ ） A B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴最小的数是． 故选：B． 3. 交通是经济发展的“开路先锋”，辽宁正全力建设交通重点项目．一季度，全省完成交通投资121.5亿元，同比增长；集装箱海铁联运量及占比保持全国前列，交通运输领域工作全面稳定向好．将数据“12150000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将数据“12150000000”用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，同类项的定义，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 运用积的乘方、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、同类项的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、与非同类项，无法计算，故原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 6. 书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（ ） A. 取出的是社会科学类图书 B. 取出的是教育类图书 C. 取出的是自然科学类图书 D. 取出的是文化艺术类图书 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：. 根据等可能事件的概率公式，求出取出每种书的概率，然后比较即可 【详解】解：取出的是社会科学类图书的概率是：， 取出的是教育类图书的概率是：， 取出的是自然科学类图书的概率是：， 取出是文化艺术类图书的概率是：， 故可能性最大的为：取出的是社会科学类图书， 故选：A 7. 今年是乙巳年，生肖为蛇，则下列关于蛇的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万．如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足10000钱．所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意可得， ． 故选D． 9. 如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积为（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质．先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B 10. 如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标，折叠的性质等知识，由矩形的性质得到，，，由的图象经过点，求出点，得到，由折叠可得，，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵的图象经过点， ∴当时，， ∴点， ∴， 由折叠可得：，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案：． 13. 如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简进行，即可作答． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， 因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， 所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， 所以，足球从踢出到落地所需的时间是， 故答案为：4 15. 如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】先由平行线性质得到，再根据题中尺规作图-作角平分线得到，结合平行线性质得到，从而由等腰三角形的判定与性质求出，过点作，如图所示，结合尺规作图-作垂线，从而得到，由含的直角三角形性质求出，最后由矩形的判定与性质，数形结合表示出线段代值求解即可得到答案． 【详解】解：在四边形中，，，则， 由题意可知，平分，则， ， ， ， 过点作，如图所示： 由题意可知，， 在中，，，则， ， ， ， ，则四边形是矩形， ， ，为的中点， ，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及平行线性质、尺规作图-作角平分线、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、尺规作图-作垂线、含的直角三角形性质、矩形的判定与性质、中点定义等知识，熟记相关几何性质，掌握尺规作图-作角平分线、尺规作图-作垂线的操作是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，按照各自的运算法则一一计算即可． （1）先化简二次根式，化简绝对值，再计算乘除法，最后再进行二次根式的混合运算． （2）先计算分式乘除法，再计算分式加减法即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 17. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品件，产品件，共收入元；销售产品件，产品件，共收入元． （1）求，两种产品的销售单价． （2）若该工厂销售，两种产品共件，总收入不超过元，则最少要销售产品多少件？ 【答案】（1）产品每件销售元，产品每件销售元 （2）最少要销售产品件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系式列出方程组，根据不等关系式列出不等式． （1）设产品每件销售元，产品每件销售元，根据销售产品件，产品件，共收入元；如果销售产品件，产品件，共收入元，列出方程组，解方程组即可； （2）设销售产品件，则销售产品件，根据销售、两种产品总费用不超过元列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得： ， 解得：， 答：产品每件销售元，产品每件销售元． 【小问2详解】 解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得： ， 解得：， 答：最少要销售产品件． 18. 随着辽宁省人工智能创新发展大会暨青年AI创新大赛全面启动，某校为了了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：；B：；C：；D：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在C等级的数据：72，73，74，74，76，76，77，78，78． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）求所抽取的学生成绩为D等级的人数． （2）求所抽取的学生成绩的中位数． （3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）D等级的人数为14人 （2）中位数为分 （3）估计成绩为A等级的人数约为150人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据B等级的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、C等级的人数即可； （2）总人数为40人，因此中位数是第20和21名同学的成绩的平均数，由于A等级中4人，B等级中12人，故中位数是C等级中从大到小的第4和5名同学的成绩的平均数，据此即可求解； （3）用1500乘以A等级的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：样本容量为， （人）， 即所抽取的学生成绩为D等级的人数为14人； 【小问2详解】 解：，， ∴中位数是C等级中从大到小的第4和5名同学的成绩的平均数， ∴抽取的学生成绩的中位数为（分）； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计成绩为A等级的人数约为150人． 19. 某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元 【解析】 【分析】本题考查一次函数解应用题、一元二次方程解应用题，读懂题意，准确求出一次函数关系式，由等量关系列出一元二次方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设与之间的函数关系式为，由函数图象，将，，代入函数关系式，由待定系数法解方程组即可得到答案； （2）由总利润单个商品利润销量得到，解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，设与之间的函数关系式为． 根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：能． 由题意，可得， 整理，得， 解得． 答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元． 20. 某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． （1）求． （2）求居民楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）该居民楼的高度约为7.9米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）首先求出，然后在中，解直角三角形即可求解； （2）如图，过点作，交于点，首先得到，然后由设，，表示出，，然后在中，解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 根据题意，可得． 解：在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点． 根据题意，可得． 由（1），可得，设，， 则． 在中，， 解得， ∴（米）． 答：该居民楼的高度约为7.9米． 21. 如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． （1）如图1，若，，求的值． （2）如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，即可得出，结合已知条件可得出，根据勾股定理得出，由等弧所对的圆周角相等可得出，再根据正切的定义求解即可． （2）过点作于点．由垂径定理进一步证明，由相似三角形的性质得出，再证明，进一步即可得出． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点． ∵是的中点，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ． ， 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，正切的定义，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22. 如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形． （2）如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明． （3）如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G． ①求证：． ②若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）．证明见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质得出，再结合即可得出，进而可证． （2）延长交于点．由折叠的性质，可得．由菱形的性质可进一步推出， 设，则，得出，证明，由相似三角形的性质即可得出． （3）①由折叠的性质，可得，由等边对等角可得出，再利用菱形的性质得出 ，等量代换可得出，再根据等角对等边可得出． ②延长，交的延长线于点．先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出 ，进一步即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， 是的垂直平分线， ． ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 ．证明如下： 证明：如图1，延长交于点． 由折叠的性质，可得． 四边形是菱形， ，， ． ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ①证明：由折叠的性质，可得， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． ②如图2，延长，交的延长线于点． ． ， ， ， ， ． 由折叠的性质，可得． 四边形是菱形， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 23. 将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． （1）如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． （2）若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． （3）如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②等腰直角三角形；③存在，或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数及反比例函数的性质，新定义理解，特殊四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，当时，设函数表达式为，利用待定系数法代入确定，再由对偶点的定义得出的对偶点为，代入即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，求解即可； （3）①先将二次函数化为顶点式，确定顶点坐标为，根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变，即可确定函数解析式；②由①得，利用两点之间的距离公式及勾股定理判定即可；③根据平行四边形的性质求点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，设函数表达式为， ∵函数图象经过点， ∴， ∴， ∵的对偶点为， ∴当时，函数表达式为， ∴“偶函数图象”的表达式为： ； 【小问2详解】 ∵点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”， ∴， 解得：， ∴或； 【小问3详解】 ①∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变， ∴当时， ②如图，由①得， ∴， ∵， ∴是以C为直角顶点的等腰直角三角形； ③存在，理由如下： 由②得， 设点， 当为对角线时，点D与点C关于AB对称， ∴在y轴上，不符合题意，舍去； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ∴， 解得：， ∴符合题意； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ∴， 解得：， ∴符合题意； 综上可得：点D的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级中考模拟考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，这是由6个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，，，1中，最小数是（ ） A. B. C. D. 1 3. 交通是经济发展的“开路先锋”，辽宁正全力建设交通重点项目．一季度，全省完成交通投资121.5亿元，同比增长；集装箱海铁联运量及占比保持全国前列，交通运输领域工作全面稳定向好．将数据“12150000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（ ） A. 取出的是社会科学类图书 B. 取出的是教育类图书 C. 取出的是自然科学类图书 D. 取出的是文化艺术类图书 7. 今年是乙巳年，生肖为蛇，则下列关于蛇的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万．如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足10000钱．所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积为（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 10. 如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是____． 12. 因式分解：________． 13. 如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是______． 15. 如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为______．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）计算：． 17. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品件，产品件，共收入元；销售产品件，产品件，共收入元． （1）求，两种产品销售单价． （2）若该工厂销售，两种产品共件，总收入不超过元，则最少要销售产品多少件？ 18. 随着辽宁省人工智能创新发展大会暨青年AI创新大赛全面启动，某校为了了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：；B：；C：；D：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在C等级的数据：72，73，74，74，76，76，77，78，78． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）求所抽取的学生成绩为D等级的人数． （2）求所抽取学生成绩的中位数． （3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 19. 某网店销售某种品牌商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 20. 某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． （1）求． （2）求居民楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 21. 如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． （1）如图1，若，，求的值． （2）如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 22. 如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形． （2）如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明． （3）如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G． ①求证：． ②若，，求的值． 23. 将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． （1）如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． （2）若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． （3）如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$