1.1 直线的斜率与倾斜角（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.1 直线的斜率与倾斜角 目录 01 课标要求 2 02 题型归纳目录 2 03 思维导图 3 04 知识梳理 4 知识点一：直线的斜率 4 知识点二：直线的倾斜角 4 知识点三：倾斜角和斜率的应用 4 05 题型归纳，典型例题 6 题型一：直线的倾斜角 6 题型二：直线斜率的定义 6 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 7 题型四：已知两点求斜率 8 题型五：已知斜率求参数 8 题型六：斜率公式的应用 8 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 9 1、了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2、理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3、了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 知识点二：直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为． 注意点： (1)从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角． (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角． (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置． 知识点三：倾斜角和斜率的应用 1、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 题型一：直线的倾斜角 【例1】（2025·高二·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等； 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1-1】（2025·高二·广东揭阳·期末）已知为直线的倾斜角，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·安徽·开学考试）已知直线过点，则的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 题型二：直线斜率的定义 【例2】（2025·高二·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 【变式2-1】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【变式2-2】（多选题）（2025·高二·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【变式2-3】（多选题）（2025·高一·重庆沙坪坝·期末）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（    ） A．－8 B．－5 C．3 D．4 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 【例3】如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式3-1】（2025·高二·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：已知两点求斜率 【例4】（2025·高二·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 【方法技巧与总结】 直接利用公式求解 【变式4-1】（2025·高二·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【变式4-2】（2025·高二·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【变式4-3】（2025·高二·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 题型五：已知斜率求参数 【例5】（2025·高二·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【方法技巧与总结】 直接利用公式求解 【变式5-1】经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【变式5-2】（2025·高二·广东茂名·期中）已知点，，若直线的斜率为2，则 . 【变式5-3】（2025·高二·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 题型六：斜率公式的应用 【例6】（2025·高二·吉林白城·期中）已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 【方法技巧与总结】 直接利用公式求解 【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式6-2】（2025·高二·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【变式6-3】若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 【例7】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式7-1】（2025·高二·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 直线的斜率与倾斜角 目录 01 课标要求 3 02 题型归纳目录 3 03 思维导图 4 04 知识梳理 5 知识点一：直线的斜率 5 知识点二：直线的倾斜角 5 知识点三：倾斜角和斜率的应用 5 05 题型归纳，典型例题 7 题型一：直线的倾斜角 7 题型二：直线斜率的定义 8 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 9 题型四：已知两点求斜率 11 题型五：已知斜率求参数 13 题型六：斜率公式的应用 14 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 16 1、了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2、理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3、了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 知识点二：直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为． 注意点： (1)从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角． (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角． (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置． 知识点三：倾斜角和斜率的应用 1、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 题型一：直线的倾斜角 【例1】（2025·高二·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为， 由直线可知其斜率为， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等； 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1-1】（2025·高二·广东揭阳·期末）已知为直线的倾斜角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线方程，得直线斜率， 又为直线的倾斜角，所以， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（2025·高二·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式1-3】（2025·高二·安徽·开学考试）已知直线过点，则的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线过点，得，解得， 则，故的倾斜角为. 故选：C. 题型二：直线斜率的定义 【例2】（2025·高二·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，则， 又，故. 故选：C 【方法技巧与总结】 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 【变式2-1】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【解析】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 【变式2-2】（多选题）（2025·高二·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【答案】ABC 【解析】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确． 故选：ABC． 【变式2-3】（多选题）（2025·高一·重庆沙坪坝·期末）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（    ） A．－8 B．－5 C．3 D．4 【答案】AD 【解析】由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知， 时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合． 故选：AD． 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 【例3】如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式3-1】（2025·高二·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 【变式3-2】（2025·高二·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 【变式3-3】（2025·高二·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 题型四：已知两点求斜率 【例4】（2025·高二·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 【答案】 【解析】， 故答案为： 【方法技巧与总结】 直接利用公式求解 【变式4-1】（2025·高二·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【解析】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高二·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 【变式4-3】（2025·高二·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】由题意：， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为： 题型五：已知斜率求参数 【例5】（2025·高二·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 直接利用公式求解 【变式5-1】经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【答案】0 【解析】因为经过两点，的直线的斜率等于2， 所以，解得. 故答案为：0. 【变式5-2】（2025·高二·广东茂名·期中）已知点，，若直线的斜率为2，则 . 【答案】0 【解析】易知. 故答案为：0 【变式5-3】（2025·高二·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 【答案】 【解析】由直线过点，，可得的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，所以. 故答案为：. 题型六：斜率公式的应用 【例6】（2025·高二·吉林白城·期中）已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 【答案】是 【解析】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率. 因为， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点， 所以，，三点在同一直线上． 故答案为：是 【方法技巧与总结】 直接利用公式求解 【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为． 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高二·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由条件知，，， 因为直线的斜率为，又， 所以直线的斜率， 设点的坐标为，则，， 联立，解得，故 所以，， 故答案为：. 【变式6-3】若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 【答案】/ 【解析】 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3， 建立如图平面直角坐标系， 设对角线OB所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 则 故答案为： 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 【例7】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式7-1】（2025·高二·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B. 【变式7-2】已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 【变式7-3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$