1.2 直线的方程 （思维导图+5大知识点+12大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版2019选择性必修第一册）

1．2 直线的方程 目录 01 课标要求 2 02 题型归纳目录 2 03 思维导图 3 04 知识梳理 4 知识点一：直线的点斜式方程 4 知识点二：直线的斜截式方程 4 知识点三：直线的两点式方程 4 知识点四：直线的截距式方程 5 知识点五：直线方程的一般式 5 05 题型归纳，典型例题 6 题型一：点斜式方程 6 题型二：斜截式方程 7 题型三：两点式求方程 9 题型四：截距式方程 10 题型五：一般式方程 11 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 13 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 14 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 15 题型九：直线一般式方程的应用 18 题型十：直线方程的灵活应用 20 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 24 1、理解直线方程的五种基本形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）及其适用条件． 2、能根据已知条件（如斜率、点坐标、两点坐标等）灵活选择合适的直线方程形式． 3、掌握直线方程的互化方法，如从点斜式到一般式的转换． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距． 知识点五：直线方程的一般式 关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 题型一：点斜式方程 【例1】（2025·高二·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1-1】（2025·高二·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：斜截式方程 【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解题总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【变式2-1】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【变式2-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【变式2-3】已知直线过点和． （1）求直线的点斜式方程； （2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距． 【变式2-4】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 题型三：两点式求方程 【例3】（2025·高二·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【解题总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式3-1】已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 【变式3-2】（2025·高二·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【变式3-3】经过点，的直线在轴上的截距为 ． 题型四：截距式方程 【例4】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【解题总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式4-1】已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ． 【变式4-2】（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【变式4-3】已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. 题型五：一般式方程 【例5】若，则方程表示的不同直线的条数为（    ） A．30 B．25 C．23 D．21 【解题总结】 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式5-1】已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（    ） A．40 B．20 C．17 D．15 【变式5-2】直线的系数，可以在0，1，2，3，5，7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有（    ） A．30条 B．23条 C．22条 D．14条 【变式5-3】（2025·高二·河北石家庄·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 【例6】已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【解题总结】 已知点、，则AB的中点． 【变式6-1】（2025·高二·四川南充·期中）已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【变式6-2】已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为 . 【变式6-3】（2025·高二·广东广州·期末）若直线与直线，分别交于点､，且线段的中点坐标为，直线的一般式方程是 . 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 【例7】（2025·高二·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 合并参数 【变式7-1】（2025·高一·四川成都·开学考试）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 【例8】若直线过一、三、四象限，则的取值范围为 . 【解题总结】 含参数的一般式方程的处理方法 （1）若方程表示直线，则需满足A，B不全为0． （2）令可得在y轴上的截距．令可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． （3）解分式方程要注意验根． 【变式8-1】如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【变式8-2】已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【变式8-3】（2025·高二·广东佛山·期中）在中，已知， (1)求边的高线的方程; (2)求边的中线的方程; (3)求的平分线的方程. 题型九：直线一般式方程的应用 【例9】（2025·高二·四川雅安·期中）已知直线： ⑴求证：不论实数取何值，直线总经过第一象限 ⑵为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围 【解题总结】 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【变式9-1】已知直线l：. （1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 【变式9-2】已知直线. （1）求证：无论实数a为何值，直线l总经过第一象限； （2）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 【变式9-3】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知直线 ： （1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点. （2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围. （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 题型十：直线方程的灵活应用 【例10】在平面直角坐标系中， (1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC边上高线所在的直线的方程． (2)若直线的方程为（），且直线在轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程． (3)过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．求当取得最小值时直线的方程． 【解题总结】 直线方程的选择技巧 （1）已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． （2）若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． （3）若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． （4）不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【变式10-1】（2025·高二·福建福州·期中）已知直线过点， (1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程； (2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程. 【变式10-2】如图，直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. （1）若点为线段的中点，求直线的方程； （2）若点在线段上满足，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、 分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【变式10-3】已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 【例11】已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【解题总结】 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 【变式11-1】已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【变式11-3】已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 直线的方程 目录 01 课标要求 2 02 题型归纳目录 2 03 思维导图 3 04 知识梳理 4 知识点一：直线的点斜式方程 4 知识点二：直线的斜截式方程 4 知识点三：直线的两点式方程 4 知识点四：直线的截距式方程 5 知识点五：直线方程的一般式 5 05 题型归纳，典型例题 6 题型一：点斜式方程 6 题型二：斜截式方程 7 题型三：两点式求方程 9 题型四：截距式方程 10 题型五：一般式方程 11 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 13 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 14 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 15 题型九：直线一般式方程的应用 18 题型十：直线方程的灵活应用 20 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 24 1、理解直线方程的五种基本形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）及其适用条件． 2、能根据已知条件（如斜率、点坐标、两点坐标等）灵活选择合适的直线方程形式． 3、掌握直线方程的互化方法，如从点斜式到一般式的转换． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距． 知识点五：直线方程的一般式 关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 题型一：点斜式方程 【例1】（2025·高二·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 【解题总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1-1】（2025·高二·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 【变式1-2】（2025·高二·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为， 又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：， 故选：C. 【变式1-3】（2025·高二·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 题型二：斜截式方程 【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 【解题总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【变式2-1】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【解析】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 【变式2-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. （3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 【变式2-3】已知直线过点和． （1）求直线的点斜式方程； （2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距． 【解析】（1）直线的斜率， 故直线的点斜式方程为（或）． （2）由得， 所以直线的斜截式方程为， 当时，，所以直线在轴上的截距为． 【变式2-4】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【解析】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 题型三：两点式求方程 【例3】（2025·高二·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 【解题总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式3-1】已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 【答案】 【解析】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 【变式3-2】（2025·高二·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】将点代入两条直线可得， 所以点都在直线上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是， 故答案为：. 【变式3-3】经过点，的直线在轴上的截距为 ． 【答案】27 【解析】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 故答案为：27. 题型四：截距式方程 【例4】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【答案】 或 或 【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以，整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5， 则所求直线方程为或 故答案为：（1）或；（2）或. 【解题总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式4-1】已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍， 当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即， 当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点， 所以，得到，故直线方程为，即， 故答案为：或. 【变式4-2】（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【解析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 【变式4-3】已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. 【解析】（1）∵，∴△ABC中平行于BC边的中位线的斜率， 又线段AB的中点为， ∴△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为，化为一般式6x﹣8y﹣13=0， 可得截距式：. （2）BC边的中点为D（2，3）， ∴BC边的中线所在直线的方程为y﹣3=7（x﹣2）， 化为一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程. 题型五：一般式方程 【例5】若，则方程表示的不同直线的条数为（    ） A．30 B．25 C．23 D．21 【答案】D 【解析】当时，方程不是直线； 当时，方程表示直线； 当时，方程表示直线； 当，且时，方程表示的直线为； 当且时，从中分别取2个数作为，有种取法， 其中与表示同一条直线，与表示同一条直线， 所以方程表示的不同直线的条数为. 故选：D. 【解题总结】 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式5-1】已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（    ） A．40 B．20 C．17 D．15 【答案】C 【解析】因为直线的斜率为正，则， 当时，的取值有2种取法，的取值有2种取法，的取值有5种取法，共有种取法， 其中和和和表示同一条直线， 故符合条件的直线共有条． 当时，此时所得直线与时所得直线相同． 故选：C． 【变式5-2】直线的系数，可以在0，1，2，3，5，7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有（    ） A．30条 B．23条 C．22条 D．14条 【答案】B 【解析】当时，表示同一直线； 当，时，表示直线； 当，时，表示直线； 当，，时有条直线， 故共有条直线． 故选：B 【变式5-3】（2025·高二·河北石家庄·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为该直线的斜率为，所以倾斜角为. 故选：C. 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 【例6】已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 【解题总结】 已知点、，则AB的中点． 【变式6-1】（2025·高二·四川南充·期中）已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【解析】（1）由直线变形得， 令，解得：，                             由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）设，则由已知有，联立解得：， 所以直线的截距式方程为，即的方程为，. 【变式6-2】已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为 . 【答案】 【解析】因为点，，线段PQ的中点为， 所以，所以， 所以， 所以直线PQ的方程为，即， 故答案为：. 【变式6-3】（2025·高二·广东广州·期末）若直线与直线，分别交于点､，且线段的中点坐标为，直线的一般式方程是 . 【答案】 【解析】由题意，，，， 即，，， 直线的方程是，即． 故答案为：． 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 【例7】（2025·高二·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 【解题总结】 合并参数 【变式7-1】（2025·高一·四川成都·开学考试）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由，可得，所以， 当时，所以对为任意实数均成立, 故直线过定点. 故选：A. 【变式7-2】已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 【变式7-3】已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 【例8】若直线过一、三、四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为直线方程为，即为， 又因为直线过一、三、四象限， 所以直线在轴上的截距小于零， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【解题总结】 含参数的一般式方程的处理方法 （1）若方程表示直线，则需满足A，B不全为0． （2）令可得在y轴上的截距．令可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． （3）解分式方程要注意验根． 【变式8-1】如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【解析】（1）由，整理得， 由解得，即直线经过定点； （2） 如图，因，，，,可得：, 即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点）， 则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意）， 设交点为，依题意，由，可得, 解得，则.设点， 由,可得，解得，即, 于是，,故直线的方程为：， 即. 【变式8-2】已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 【变式8-3】（2025·高二·广东佛山·期中）在中，已知， (1)求边的高线的方程; (2)求边的中线的方程; (3)求的平分线的方程. 【解析】（1）依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； （2）边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； （3） 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 题型九：直线一般式方程的应用 【例9】（2025·高二·四川雅安·期中）已知直线： ⑴求证：不论实数取何值，直线总经过第一象限 ⑵为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围 【解析】⑴证明：由得，则直线恒过定点 ∵点在第一象限 ∴直线l恒过第一象限 ⑵点M与原点连线的斜率为，故要使直线不过第二象限，其斜率应满足 ，即实数的取值范围为 【解题总结】 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【变式9-1】已知直线l：. （1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 【解析】（1）直线l为， 即， ，解得， 不论a为何值，直线l总过第一象限的点， 即直线l过第一象限； （2）因为直线的斜率显然存在， 又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限， 所以斜率只能为正，且直线与轴不能交于正半轴； 因此；解得， 的取值范围是. 【变式9-2】已知直线. （1）求证：无论实数a为何值，直线l总经过第一象限； （2）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 【解析】（1）直线化为，令 即直线恒过定点，直线l总经过第一象限. （2）直线化为，当时，得，直线经过第二象限； 要使l不经过第二象限，须有，解得. 【变式9-3】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知直线 ： （1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点. （2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围. （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【解析】（1）直线方程整理得：， 联立，解得， 所以直线恒过定点； （2）当时，直线垂直轴． 当时由（1）画图知：斜率得， 综上： ； (3)由题知则， 令，则, 令，则. 所以 所以当时三角形面积最小， 直线l方程为：. 题型十：直线方程的灵活应用 【例10】在平面直角坐标系中， (1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC边上高线所在的直线的方程． (2)若直线的方程为（），且直线在轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程． (3)过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．求当取得最小值时直线的方程． 【解析】（1）∵， ∴BC边上高线所在直线的斜率为， 又高线过， ∴高线所在直线方程为，即； （2）由题意直线在两轴上截距都存在，则， 令得，令得， 因为直线在轴上截距是轴上截距的， 若轴上截距都为0，即直线过原点时，，此时直线为； 若轴上截距不为0，则，解得，此时直线为； 综上，直线方程为或； （3）设不妨取，，，， 过点P，所以有， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当取得最小值时， 直线l的方程为，即． 【解题总结】 直线方程的选择技巧 （1）已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． （2）若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． （3）若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． （4）不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【变式10-1】（2025·高二·福建福州·期中）已知直线过点， (1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程； (2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程. 【解析】（1）法一：设直线的方程为 则与轴的交点为，与轴的交点， 由已知可得 即 ，即 ， 解得 或. 直线的方程为或， 即或. 法二：当直线过原点时，符合题意， 则， 即， 当直线不过原点时，设b为直线l的纵截距，直线的方程为，且过点， ，解得 ， ，即， 故直线的方程为或. （2）法一：设直线的方程为， 则与轴的交点，与轴的交点， ，=， ， 当且仅当，即等号成立， 故的最小值为， 直线的方程为，即直线的方程为， 法二：直线的方程为，且过点， ， 则与轴的交点，与轴的交点， ，， 当且仅当，即等号成立， 故的最小值为， 直线的方程为，即直线的方程为. 【变式10-2】如图，直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. （1）若点为线段的中点，求直线的方程； （2）若点在线段上满足，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、 分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设，有， 所以直线的方程为，即. （2）设，有， 由得，所以， 设，有， ∴直线的方程为，即， 将代入直线方程得，即， 令，所以直线必过定点. 【变式10-3】已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 【解析】（1），所以，直线的方程为，即， ，所以，直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的两点式方程为． 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 【例11】已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【解析】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 故直线的方程为， 即. 方法二：设直线：， 因为直线l过点， 所以， 则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 此时，故直线的方程为， 即. 【解题总结】 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 【变式11-1】已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 【变式11-2】直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【解析】（1）设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）设直线方程为， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 【变式11-3】已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【解析】（1）证明： 直线l的方程可化为，故无论k取何值，直线l总过定点． （2）直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$