第01讲 直线的斜率与倾斜角（3个知识点4大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第01讲 直线的斜率与倾斜角 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【例1】（2025·高二·四川广安·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【例2】（2025·高二·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【例3】（2025·高二·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 【变式3-1】若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【变式3-2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【变式3-3】（2025·高二·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【例4】已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【变式4-1】（2025·高二·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【变式4-2】 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【变式4-3】（2025·高二·河南洛阳·期中）已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 1．（2025·高二·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·山西·期中）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 7．（2025·高二·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高二·广东揭阳·期末）已知为直线的倾斜角，则（   ） A． B． C． D． 11．已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 13．已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2025·高二·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 15．（多选题）（2025·高二·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 16．（多选题）若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 18．（2025·高一·上海·期末）直线的倾斜角为 . 19．直线过点，，则直线的倾斜角为 20．已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 21．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 22．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 23．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 24．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 25．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 26．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线的斜率与倾斜角 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【例1】（2025·高二·四川广安·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故选：B． 【变式1-1】已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 【变式1-2】（2025·高二·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为， 由直线可知其斜率为， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高二·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【例2】（2025·高二·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式2-1】（2025·高二·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 【变式2-2】（2025·高二·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 【变式2-3】（2025·高二·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【例3】（2025·高二·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【解析】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 【变式3-1】若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【答案】./. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 【变式3-2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 【变式3-3】（2025·高二·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【例4】已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 【变式4-1】（2025·高二·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【解析】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-2】 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高二·河南洛阳·期中）已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图所示，若直线或与线段相交， 当直线斜率时，， 当直线斜率时，， 综上所述，或， 故答案为：. 1．（2025·高二·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（2025·高二·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 3．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 4．（2025·高二·山西·期中）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率，解得. 故选：D. 5．（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 6．（2025·高二·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【解析】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 7．（2025·高二·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 8．（2025·高二·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为. 故选：B. 9．（2025·高二·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 10．（2025·高二·广东揭阳·期末）已知为直线的倾斜角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线方程，得直线斜率， 又为直线的倾斜角，所以， 所以. 故选：B. 11．已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 12．（2025·高二·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 13．已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 14．（多选题）（2025·高二·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【答案】ABD 【解析】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 15．（多选题）（2025·高二·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【解析】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 16．（多选题）若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 如图，设的直角边所在直线的斜率为2，设其倾斜角为，则， 以为等腰直角三角形的直角边，为直角可作和， （以为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等）， 则易得斜边所在直线的倾斜角，此时， 斜边所在直线的倾斜角，此时， 故选：AB. 17．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【解析】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则， 所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 18．（2025·高一·上海·期末）直线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 19．直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【解析】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 20．已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 21．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 22．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 23．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【解析】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 24．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 25．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上， 此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 26．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【解析】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$