1.1 直线的斜率与倾斜角（7大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.1 直线的斜率与倾斜角 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：直线的倾斜角 2 题型二：直线斜率的定义 2 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 2 题型四：已知两点求斜率 3 题型五：已知斜率求参数 3 题型六：斜率公式的应用 3 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 4 02 重难点拓展 5 题型一：直线的倾斜角 1．（2025·高二·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 2．（2025·高二·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 4．（2025·高二·广东佛山·期中）下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 题型二：直线斜率的定义 5．（2025·高二·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 6．在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·天津南开·期中）下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 8．（2025·高二·北京·期中）直线的斜率为（    ） A．0 B．2 C． D．不存在 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 9．（2025·高二·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 11．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：已知两点求斜率 13．（2025·高二·内蒙古·期中）已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为 . 14．在平面直角坐标系中，已知点，则直线的倾斜角为 . 15．（2025·高二·四川·期中）若直线经过，则直线的斜率为 . 16．（2025·高二·云南·期中）过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为 . 题型五：已知斜率求参数 17．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 18．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知点，则直线的斜率为2，则 19．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 20．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 题型六：斜率公式的应用 21．（2025·高二·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 22．已知，平面内三点共线，则 ． 23．若三点共线，则a＝ ． 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 24．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 26．直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 27．（2025·高二·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 4．某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 9．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高三·山东枣庄·期中）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）． 该研究小组得到以下结论，正确的是（    ） A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高 B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高 C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高 D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低 11．（多选题）已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（    ） A． B． C． D． 12．已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为 ． 13．（2025·高二·福建福州·期中）矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是 . 14．已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 15．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 16．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线（不考虑斜率不存在的情况）的斜率的取值范围是 . 17．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 18．（2025·全国·模拟预测）已知点，，则直线的倾斜角为 ． 19．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 20．已知边长为的正三角形，分别在边上，满足，连接，则和的夹角为 . 21．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 . 22．已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 23．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为 ． 24．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是 . 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 直线的斜率与倾斜角 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：直线的倾斜角 2 题型二：直线斜率的定义 3 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 4 题型四：已知两点求斜率 5 题型五：已知斜率求参数 6 题型六：斜率公式的应用 7 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 8 02 重难点拓展 11 题型一：直线的倾斜角 1．（2025·高二·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2．（2025·高二·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为. 故选：B. 3．已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】因为直线的方程为，故轴， 所以，直线的倾斜角为. 故选：B. 4．（2025·高二·广东佛山·期中）下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，直线的斜率，则倾斜角； 对于B，直线的倾斜角； 对于C，直线的斜率，则倾斜角； 对于D，直线的倾斜角， 所以直线的倾斜角最大. 故选：C. 题型二：直线斜率的定义 5．（2025·高二·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【解析】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 6．在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 故选：D. 7．（2025·高二·天津南开·期中）下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 【答案】D 【解析】当直线与轴垂直，斜率不存在，A正确； 截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确； 由斜率与倾斜角的关系知C正确； 直线l的斜率为1，则它的倾斜角为，D错． 故选：D． 8．（2025·高二·北京·期中）直线的斜率为（    ） A．0 B．2 C． D．不存在 【答案】D 【解析】的倾斜角为，斜率不存在. 故选：D 题型三：斜率与倾斜角的变化关系 9．（2025·高二·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 11．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 12．已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，且，解得. 故选：C. 题型四：已知两点求斜率 13．（2025·高二·内蒙古·期中）已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【解析】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，已知点，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】由题意得，， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 15．（2025·高二·四川·期中）若直线经过，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【解析】因为直线经过， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 16．（2025·高二·云南·期中）过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为 . 【答案】 【解析】 不妨设，则，， 由题意可得，解得或， 经过检验不符合，故舍去， 故其斜率为. 故答案为：. 题型五：已知斜率求参数 17．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 18．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知点，则直线的斜率为2，则 【答案】 【解析】依题意，得，所以. 故答案为： 19．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【解析】由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 20．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【答案】 【解析】由直线过点，， 得直线的斜率， 又直线过点和， 得直线的斜率， 因为两条直线的斜率相等， 所以，解得. 故答案为：. 题型六：斜率公式的应用 21．（2025·高二·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 22．已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【解析】因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 23．若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【解析】三点共线，则，即＝，即，∴. 故答案为：4. 题型七：直线与线段相交关系求斜率范围 24．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B 25．设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 26．直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线l过点. 如图，由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为， 于是或， 而，因此或， 即k的取值范围是. 故选：D. 27．（2025·高二·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 1．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为， 故选：C． 2．（2025·高二·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 3．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为. 故选：C. 4．某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得的方程为，而点在的侧取决于的符号. 所以条件等价于，即，此即或. 故选：B. 5．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 结合图可知，. 故选：C 6．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 7．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 8．（2025·高二·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 9．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 10．（多选题）（2025·高三·山东枣庄·期中）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）． 该研究小组得到以下结论，正确的是（    ） A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高 B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高 C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高 D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低 【答案】AD 【解析】分别将原点与图中各点相连. 设线段的斜率为，根据题意有， 即越小，颗粒物过滤效率越高。 由图可知，； 在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确； 在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误； 由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误； ，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确. 故选：AD. 11．（多选题）已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设, 则， 如图， 由图可知，当时，直线与线段相交， 故选：AC 12．已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点， 根据反射的对称性，知点关于轴的对称点与在同一直线上， 所以，所以，解得， 所以点的坐标为． 故答案为：. 13．（2025·高二·福建福州·期中）矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【解析】设与轴夹角为，由题意可知，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 14．已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 15．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题中条件画出图形，如图所示， 因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 16．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线（不考虑斜率不存在的情况）的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图，由题意可知. 要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 17．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则，斜率. 由题意，直线的斜率，则： 当时，； 当时，； 综上知，直线的倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 18．（2025·全国·模拟预测）已知点，，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】方法一：设直线的倾斜角为， 则. 直线的倾斜角为； 方法二：由三角函数的定义可知：点在圆上，如图所示， 设为直线与轴的交点，则，， ，又，， ，直线的倾斜角为. 故答案为：. 19．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 20．已知边长为的正三角形，分别在边上，满足，连接，则和的夹角为 . 【答案】/ 【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系， 所以，， 因为，可得，， 则直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，两直线的夹角的正切值为， 所以，所求夹角为. 故答案为：. 21．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 . 【答案】 【解析】由方程，令，解得，令，解得，设， 由表示的是点与点所连直线的斜率，则问题等价于过点与线段相交的直线的斜率的取值范围，作图如下： 则直线的斜率，直线的斜率，即， 故答案为： 22．已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 【答案】 【解析】由题意可知：的几何意义为点和点连线所在直线的斜率． 如图所示，， 分别为图中直线①，直线②，直线③的斜率， 根据图像知， 故答案为： 23．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有 过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，． 的斜率的取值范围是，，，即，，， 故答案为：． 24．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围， 如图，，则，，故的取值范围是. 故答案为： 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$