专题1.1直线的斜率与倾斜角（四个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题1.1直线的斜率与倾斜角 一、求直线的倾斜角及斜率 三、斜率公式的应用 二、斜率与倾斜角的关系 ①处理共线问题 ①由倾斜角求斜率（范围） ②斜率公式的几何意义应用 ②由斜率求倾斜角（范围） 四、直线与线段的相交关系求斜率范围 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点3 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 重难点一 求直线的倾斜角及斜率 1．若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B 2．过点和点的直线的斜率为 . 【答案】 【详解】因为直线过点和点， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 3．（多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 4．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 5．若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 6．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 重难点二 斜率与倾斜角的关系 ①由倾斜角求斜率（范围） 7．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 8．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 9．若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】，且， 或， 即的取值范围是. 故答案为：. 10．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 11．已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由于直线的倾斜角为锐角，故，解得. 故答案为：. ②由斜率求倾斜角（范围） 12．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，， 因为正切函数在、上均为增函数， 当时，即，此时，； 当时，即，此时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 13．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B．∪ C． D． 【答案】D 【详解】直线l的斜率， 因为，所以， 设直线l的倾斜角为，则， 因为，所以或， 所以直线l的倾斜角的取值范围是 故选：D. 14．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 15．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 16．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 【答案】 【详解】直线的斜率取值范围为，即，则， 所以倾斜角的范围为. 故答案为： 17．已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为； 当时，由斜率公式得. （2）当时，直线AB的倾斜角为； 当时，因为， 所以， 所以. 由正切函数图象可知，    综上，倾斜角的取值范围为. 直线的倾斜角和斜率的关系 （1）直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． （2）直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 重难点三 斜率公式的应用 ①处理共线问题 18．若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 19．若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【详解】三点共线，则，即＝，即，∴. 故答案为：4. 20．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 21．已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 【答案】A，B，C共线，A，B，D不共线． 【详解】因为， 所以，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 22．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. ②斜率公式的几何意义应用 23．已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 24．已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 25．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    26．已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 【答案】 【详解】由题意可知：的几何意义为点和点连线所在直线的斜率． 如图所示，， 分别为图中直线①，直线②，直线③的斜率， 根据图像知， 故答案为： 27．设，比较的大小． 【答案】 【详解】令， 而可统一成格式， 表示函数上的点到点的斜率，    结合图象与条件，则构造的斜率都是正数， 所以图象的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得. 28．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 重难点四 直线与线段的相交关系求斜率范围 29．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 30．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 31．已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 32．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 33．已知点，若直线过点且与线段没有交点，则直线的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：    当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大， 此时，； 当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至， 此时，. 综上所述，直线与线段有交点时，其斜率的取值范围是， 所以直线与线段没有交点时，其斜率的取值范围是. 故答案为: . 34．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 一、单选题 1．过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可知直线斜率， 所以直线倾斜角满足，且，所以. 故选：B 2．如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 又，得，，得， . 故选：C. 3．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 5．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 6．已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 二、多选题 7．若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】记直线的倾斜角为，斜率为， 则，即， 由正切函数图象可得. 故选：AD    8．已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【详解】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则，    所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 9．直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 【答案】 【详解】因为，且，则， 所以直线l斜率为. 故答案为：. 10．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【答案】 【详解】由直线过点，， 得直线的斜率， 又直线过点和， 得直线的斜率， 因为两条直线的斜率相等， 所以，解得. 故答案为：. 11．已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 故直线与线段有交点，则,即， 故答案为：    四、解答题 12．已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 13．若，且，，三点共线，求的最小值． 【答案】16． 【详解】根据，利用直线的两点式方程可求得直线AB的方程为． 又因为在该直线上，所以．又因为，故，． 根据基本不等式，从而（舍去）或， 故，当且仅当时取等号，即的最小值为16． 14．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1直线的斜率与倾斜角 一、求直线的倾斜角及斜率 三、斜率公式的应用 二、斜率与倾斜角的关系 ①处理共线问题 ①由倾斜角求斜率（范围） ②斜率公式的几何意义应用 ②由斜率求倾斜角（范围） 四、直线与线段的相交关系求斜率范围 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点3 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 重难点一 求直线的倾斜角及斜率 1．若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．过点和点的直线的斜率为 . 3．（多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 5．若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 6．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 重难点二 斜率与倾斜角的关系 ①由倾斜角求斜率（范围） 7．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是 . 10．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 11．已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ． ②由斜率求倾斜角（范围） 12．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B．∪ C． D． 14．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 15．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 16．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 17．已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 直线的倾斜角和斜率的关系 （1）直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． （2）直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 重难点三 斜率公式的应用 ①处理共线问题 18．若三点，， (其中)共线，则 . 19．若三点共线，则a＝ ． 20．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 21．已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 22．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． ②斜率公式的几何意义应用 23．已知实数满足，试求的取值范围． 24．已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 25．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 26．已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 27．设，比较的大小． 28．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 重难点四 直线与线段的相交关系求斜率范围 29．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 30．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 32．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 33．已知点，若直线过点且与线段没有交点，则直线的斜率的取值范围为 ． 34．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 一、单选题 1．过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 3．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 6．已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 二、多选题 7．若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 9．直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 10．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 11．已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 . 四、解答题 12．已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 13．若，且，，三点共线，求的最小值． 14．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$