高一数学期末模拟卷（北京专用，人教A版2019必修第二册全部）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B C C C B B A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13．250 14． / 15．①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 【详解】（1）在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面... ……………………（6分） （2）在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为．.. ……………………（13分） 17．（满分13分） 【详解】（1）由可得；.. ……………（4分） （2）.. ……………………（8分） （3）. 即可得与夹角的余弦值为... ……………………（13分） 18．（满分14分） 【详解】（1）由，得， 在中，由余弦定理，得，又， 所以. （2）由，解得，， 由余弦定理，得，解得， 所以的周长为... ……………………（14分） 19．（满分15分） 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为， 由各组频率知第百分位数， 由，解得， 所以第85百分位数为... ……………………（7分） （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：... ……………………（15分） 20．（满分15分） 【详解】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面... ……………………（5分） （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面... ……………………（10分） （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为... ……………………（15分） 21．（满分15分） 【详解】（1）由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则... ……………………（4分） （2）由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为... ……………………（9分） （3）由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为.. ……………………（15分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D 2．为不同的平面，为不同的直线，则下列判断正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】A选项，若，，则m与n可能相交、异面或平行，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，根据线面垂直的性质定理，若，，则，C正确； D选项，若，，则或，D错误. 故选：C 3．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 4．已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点在，位于第二象限. 故选：B 5．“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选:C. 6．甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【答案】C 【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 7．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 8．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 9．某地自2018年起实行湖长制后，境内湖泊水质不断提升．为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法正确的是（   ） A．估计该地水质差的湖泊数量逐年递增 B．估计该地水质好的湖泊数量逐年递增 C．该地平均每年新增8个湖泊 D．估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊 【答案】B 【详解】对于A，根据题图可得，2018年到2022年，估计该地水质差的湖泊总量分别为，，，，，故A错误； 对于B，根据题图可得，2018年到2022年，估计该地水质好的湖泊总量分别为，，，，， 该地水质好的湖泊总量数逐年递增，故B正确； 对于C，根据题图中湖泊总量折线图可得，从2018年到2022年，该地平均每年新增的湖泊个数为，故C错误； 对于D，从2018年到2022年，估计该地平均每年新增水质好的湖泊个数为 ，故D错误． 故选：B 10．窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．的最大值为 B．在方向上的投影向量为 C． D．若函数，则函数的最小值为 【答案】A 【详解】    如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设，在中，由余弦定理，，解得. 则 . 对于A，取中点为，则， 则， 两式相减，可得，从而， 由正八边形的对称性，可知当点与点或点重合时，取最大值. 此时不妨取， 则， 故的最大值为，故A正确； 对于B，因 ， 则在方向上的投影向量为：，故B错误； 对于C，，而， 故，即C错误； 对于D，因，， 则 ， 则当时，， 故函数的最小值为，故D错误. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，，，的夹角为，则 . 【答案】 【详解】， 故答案为：. 12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 【答案】 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 13．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ． 【答案】250 【详解】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为， 所以，解得， 从而． 故答案为：250 14．在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】如图建立平面直角坐标系，易知， 则，所以，又， 则，所以， 设，所以，又为中点，所以， 所以，则， 图象开口向上，对称轴为，又， 由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为， 故答案为：##，. 15．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的 ①．在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②．三棱锥的体积为定值 ③．异面直线与直线所成的角为定值 ④．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 【答案】①②③ 【详解】对于①：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故A正确； 对于②：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于③：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故C正确； 对于④：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项B的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故④错误. 故选：①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【详解】（1）在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为． 17．已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 【详解】（1）由可得； （2） （3）. 即可得与夹角的余弦值为. 18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【详解】（1）由，得， 在中，由余弦定理，得，又， 所以. （2）由，解得，， 由余弦定理，得，解得， 所以的周长为. 19．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为， 由各组频率知第百分位数， 由，解得， 所以第85百分位数为. （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：. 20．如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 21．在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. （2）由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. （3）由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 2．为不同的平面，为不同的直线，则下列判断正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 4．已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 7．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 8．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 9．某地自2018年起实行湖长制后，境内湖泊水质不断提升．为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法正确的是（   ） A．估计该地水质差的湖泊数量逐年递增 B．估计该地水质好的湖泊数量逐年递增 C．该地平均每年新增8个湖泊 D．估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊 10．窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．在方向上的投影向量为 C． D．若函数，则函数的最小值为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，，，的夹角为，则 . 12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 13．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ． 14．在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的 ①．在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②．三棱锥的体积为定值 ③．异面直线与直线所成的角为定值 ④．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 17．（13分）已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 18．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 19．（15分）第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 20．（15分）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 21．（15分）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 2．为不同的平面，为不同的直线，则下列判断正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 4．已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 7．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 8．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 9．某地自2018年起实行湖长制后，境内湖泊水质不断提升．为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法正确的是（   ） A．估计该地水质差的湖泊数量逐年递增 B．估计该地水质好的湖泊数量逐年递增 C．该地平均每年新增8个湖泊 D．估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊 10．窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．的最大值为 B．在方向上的投影向量为 C． D．若函数，则函数的最小值为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，，，的夹角为，则 . 12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 13．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ． 14．在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的 ①．在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②．三棱锥的体积为定值 ③．异面直线与直线所成的角为定值 ④．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 17．（13分）已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 18．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 19．（15分）第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 20．（15分）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 21．（15分）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$