四川省叙永第一中学校2024-2025学年高一下学期数学模拟试题（二）

叙永一中高2024级2025年春期期末模拟数学试卷（二） 参考答案 一、选择题： 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D B D B AC AC BC D 二、填空题： 52 12.-1 13.2 14.3+22 三、解答题： 15.已知向量a=(0,0),万=(2,2) (1)求2a+35的坐标及2a+361: (2)若向量c=b-ā，求c与a的夹角的余弦值. 【解答】解：(1)由题可得2ā+3动=(2,0)+(6,6)=8，)， 3 分 所以2a+36V82+6=10. …6分 (2)由题可得c=b-a=(2,2)-1,0)=(1,2). 则alc=P+2=5 ā0=1×l+0×2=1,10分 os(a,c)=- a.c1-5 所以 lallal 1xv5 5, 5 即c与ā的夹角的余弦值为5， .13 分 o)=sin(x+）+sin(x-乃+cosx+a 16.已知函数 6 6 的最大值为1. (1)求常数a的值： (2)求四的单调递增区间： (3)求x.0成立的x的取值集合. f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a 【解答】解：(1)由题意：函数 6 6 f(x)=sin.xcos+cos xsin+sin xcos-cos xsin+cosx+a 化简得： 6 6 6 6 =√3sinx+cosx+a =2sinr+）+a 6 6分 "sin(x+ 6的最大值为1， .fx)=2×1+a=1 解得：a=-1 f(x)=2sin(x+Z)-1 所以函数 6 8分 (2)由题意： fx).0,即 sim(xr+5）-1.0 6 可得： 10分 2kπ+π 6+石2kx+ 5π 6,(k∈Z) 12分 2knnkn2kr+2r 解得： 3 4分 2π 所以f0成立的x的取值范围是 {x|2kπ，x,2kπ+ 3,(keZ) 15 分 B 17.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， 2,且满足 3bsin C+c-cos B=3c. (1)求B: (2)若a=2,且△ABC的面积为V5,求△ABC的周长. 【解答】解：(I)由已知和正弦定理得：√3 sin BsinC+sin CcosB=√3sinC, 因为sinC≠0，所以V3sinB+cosB=3】 sin(B+)= 即 6 2, 分 <B+<7 因为0<B<π，所以6 66, ππ B+ B+ π2π 所以+63或+63， B=T B=π 故6或 f2,,44a444444444444441404440n44494g44444a44446分 B B 因为2，所 6: 7分 1 1 S=acsin B=×2×cx=3 (2)△ABC的面积2 所以c=25 10分 B=d2+c2-2 accos=4+12-2x2x25x5-4 由余弦定理得： 12分 所以b=2, 14分 所以△ABC的周长为a+b+c=4+2V5 15分 18.如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形， 且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB=V2,AB=2,PA=1 (1)求证：AB/I平面PCD: (2)求证：BC⊥平面PAC: (3)若M是PC的中点，求三棱锥C-MAD的体积. p M 【解答】解：(1)，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°， ∴AB//CD, 2分 又AB丈平面PCD,CDC平面PCD, 4分 AB/平面PCD. 45分 (2)∠ABC=45°，CB=V2,AB=2, 4C=+BC2BBC:60545=4+2-2x2xx=2 2 则AC2+BC2=AB,BC1AC.7分 PAL平面4BCD,BCC平面ABCD,六PA⊥BC.….9分 又PA∩AC=A 10s分 六BC⊥平面PAC.… 1分 (3)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E, 则四边形ADCE为矩形，.AE=DC,AD=EC」 E=BC.co45°=2×5-l 在RI△CEB中，可得 2 CB=Bc.sim45°=2x5-l 2,AE=AB-BE=2-1=1 .5.DC.CEx 13分 M是PC的中点，.M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，I5分 ∴n=-m=写xSAm×P0=3*222】 1111 3 7分 19.法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣。很多数学的定理和公式都以他的名 字来命名，如柯西不等式，柯西积分公式，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题 中有着广泛的应用.柯西不等式的一般形式为：设4，a,4,…,4。,6,b,b, …,b.eR,则(G+a+…+aG+++b).(ah+a6++ab.厂，当且仅当 6=0=1,2,…,m或存在一个数k,使得4=仙=1,2，…，m时等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元(n=2)形式： (2)若f=V丘+-2x,求（的最大值： (3)设P是棱长为V2的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为4、 d,、d、d,求4+d+d店+d的最小值. 【解答】解：(1)证明：依题意，柯西不等式的二元形式为：设4,4，么，6∈R, 则(a+aG+)2(a,4+a,b)} 3分 当且仅当6=，时取等号.。4分 (2)由(1)， -方a+12≤岁+r+-2- 8分 当且仅当 $$\sqrt { 2 x } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } ， \sqrt { 1 - 2 x } ， 则 x = \frac { 1 } { 6 }$$ 时 时取等号，.... ....... 10分 f(x) 所以5(x)的最大值是 $$\frac { \sqrt 6 } { 2 }$$ .11分 (3)取 BC 的中点 M ，连接 DM， ，则 DM⊥BC， 过点4作 AN⊥ 平面 BCD， ，则点 N 在 DM 上，且 DN=2MN， 因为 $$B M = C M = \frac { \sqrt 2 } { 2 } ，$$ 由勾股定理得 $$D M = \sqrt { C D ^ { 2 } - C M ^ { 2 } } = \frac { \sqrt 6 } { 2 } ，$$ $$D N = \frac { 2 } { 3 } D M = \frac { \sqrt 6 } { 3 } ，$$ $$A N = \sqrt { A D ^ { 2 } - D N ^ { 2 } } = \sqrt { 2 - \frac { 2 } { 3 } } = \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 } ，$$ 则正四面体 ABCD 的体积 $$V = \frac { 1 } { 3 } S . _ { A C D } \cdot A N = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times \sqrt 2 \times \frac { \sqrt 6 } { 2 } \times \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } ，$$ ..13 分 由正四面体 ABCD 的体积 $$V = V _ { P - A B C } + V _ { P - \triangle B A C } + V _ { P - C O A } + V _ { P - D A B }$$ $$\frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { \sqrt 3 } { 4 } \times \left( \sqrt 2 \right) ^ { 2 } \left( d _ { 1 } + d _ { 2 } + d _ { 3 } + d _ { 4 } \right) ，$$ ， 所以 $$d _ { 1 } + d _ { 2 } + d _ { 3 } + d _ { 4 } = \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 }$$ ..... ..15 分 又 由 柯 西 不 等 式 得 $$\left( d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } + d _ { 3 } ^ { 2 } + d _ { 4 } ^ { 2 } \right) \left( 1 + 1 + 1 + 1 \right) . \left( d _ { 1 } + d _ { 2 } \cdot { 1 + d _ { 3 } } + d _ { 4 } \cdot { d _ { 4 } ^ { 2 } } + d _ { 1 } + d _$$ 则 $$d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } + d _ { 3 } ^ { 2 } + d _ { 4 } ^ { 2 } \geq \frac { \left( d _ { 1 } + d _ { 2 } + d _ { 3 } + d _ { 4 } \right) ^ { 2 } } { 4 } = \frac { 1 } { 3 }$$ ....1 .16分 当且仅当 $$d _ { 1 } = d _ { 2 } = d _ { 3 } = d _ { 4 } = \frac { \sqrt 3 } { 6 }$$ 时等号成立， 所以+d+d+di 的最小值 . $$d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } + d _ { 3 } ^ { 2 } + d _ { 4 } ^ { 2 }$$ ... .17分 叙永一中高2024级2025年春期期末模拟数学试卷（二） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。 1．已知集合，，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣1≤x≤1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1} 2．复数，则在复平面内对应的点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．四边形中，，是对角线与的交点，下列选项中正确的是　　 A． B． C． D． 4．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的　　 A．充分不必要条 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知为锐角，且，则的值为　　 A． B． C． D． 6．学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为　　 A． B． C． D． 7．斜拉桥（如图是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁．已知主塔垂直于桥面，斜拉索，与桥面所成角，（如图，主塔的高度为，则间的距离为　　 A． B． C． D． 8．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D． 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分。 9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为　　 A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 11．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，点，分别为，的中点，则　　 A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 　 　 ． 13．△中，，，，则 　 　． 14．在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量． （1）求的坐标及； （2）若向量，求与的夹角的余弦值． 16．已知函数的最大值为1． （1）求常数的值； （2）求的单调递增区间； （3）求成立的的取值集合． 17．已知，，分别为△三个内角，，的对边，，且满足． （1）求； （2）若，且△的面积为，求△的周长． 18．如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形， 且，，，， （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若是的中点，求三棱锥的体积． 19．法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式，柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，，，，，，，，则，当且仅当，2，，或存在一个数，使得，2，，时等号成立． （1）请你写出柯西不等式的二元形式； （2）若，求的最大值； （3）设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$