第06讲 变量之间的关系（思维导图+6知识点+5考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第06讲 变量之间的关系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 常量与变量 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 知识点02 自变量与因变量 如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量． 知识点03 用表格表示的变量间关系 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法． 观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。 知识点04 用关系式表示变量之间的关系 表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 知识点05 用图象表示变量之间的关系 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 知识点06 从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 考点一：常量、自变量、因变量 例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、路程 B．速度、时间 C．路程、时间 D．速度、路程与时间 【变式1-1】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【变式1-2】（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【变式1-3】（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【变式1-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）在冬天，人们会选择较厚的冰层进行冰钓，这是因为冰层越厚，所能承受的压力就越大，则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中，自变量是 ，因变量是 ． 考点二：用表格表示的变量间关系 例2. （23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式2-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【变式2-3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量 y(件)之间的关系如下表： 降价金额x/元 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 155 160 165 170 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)可以估计降价前的日销量是 件． (3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件． 考点三：用关系式表示变量之间的关系 例3．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【变式3-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【变式3-3】（23-24七年级下·山东济南·期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计)    素材2 对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分的长度x(cm) 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度y(cm) 75 74 73 72 … 0 根据上述的素材，解决以下问题： (1)根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为 (2)请写出双层部分的长度与单层部分长度之间的关系式 ； (3)根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度． 考点四：用图象表示变量之间的关系 例4.（23-24六年级下·山东烟台·期末）某双休日，姊妹俩在社区公园里面荡秋千（如图①），若秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图②所示，结合图象： (1)在变量中，指出其中的自变量、因变量，求出h最大值和最小值相差多少m； (2)当时，根据图像写出h的值，除此之外，并指出与之高度相同的次数； (3)请写出秋千摆动第一个来回的时间． 【变式4-1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)货车在乙地卸货停留了多长时间？ 【变式4-2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 考点五：从图象中获取信息 例5. （23-24七年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 【变式5-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象．根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)图中点表示的意义题什么？ (3)在范围内，当温度为多少时，水的密度为？ (4)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ 【变式5-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【变式5-3】（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量 2．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）一个长方形的周长为，其中它的长为自变量，宽为因变量，则与之间的关系式为 ． 7．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ． 8．（23-24七年级下·广东清远·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 kg． 10．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 高度（） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度． 12．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 13．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位数按下列规律设置： 排数 1 2 3 4 5 6 … 座位数 60 64 68 72 76 ______ … (1)请将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，请说明座位数是随排数的增长而怎样变化的？ (3)当排数是7时，该排的座位数是多少？ 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知的边的长为．高的长为cm． (1)求的面积(单位：)与x之间的关系式； (2)写出关系式中的自变量与因变量； (3)当时，求的面积为多少? 15．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）周末聪聪和家人一起驾车从家出发去博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)聪聪家距离博物馆多少千米？博物馆距离姑妈家多少千米？ 16．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）随着科学技术的不断发展，电动汽车成为人们日常出行的重要交通工具，电动汽车的电池容量与续航里程成为人们最为关心的问题．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（度）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程（千米） 0 10 20 40 … 剩余电量（度） 80 78 76 72 … (1)表中自变量是________，因变量是__________． (2)该型号电动汽车的电池容量为______度； (3)请根据表中直接写出该电动汽车剩余电量（度）与行驶里程（千米）之间的关系式； (4)求剩余电量为时电动汽车的行驶里程． 17．（23-24七年级下·河北保定·期末）【综合与实践】某学校在操场上举办“绑腿跑”比赛，要求每队若干名队员并列立于起跑线后，每相邻的两名队员把腿绑在一起，队员通过协调配合在跑道上共同行进．赛前某班队员在长方形比赛场地中(如图2所示)进行适应性训练，把这组“绑腿跑”队员表示为图中线段．线段可匀速向右或向左平行移动，该组“绑腿跑”队员从长方形内平行于边的某地出发向右匀速奔跑4s之后到达终点边，停留后又向左返回，匀速平行奔跑直至与边重合． 【问题分析】 （1）图3反映队员奔跑时与边的距离(即线段的长度)随时间变化而变化的情况． ①这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； ②当这组队员开始出发时，到边的距离是 m； ③当时，求该“绑腿跑”队员向右运动的速度？ 【实践探索】 （2）图4反映了队员在奔跑过程中形成长方形的面积． 随时间变化的情况， ①长方形中边的长为 m； ②当时，请写出S与y之间的关系式． 18．（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 变量之间的关系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 常量与变量 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 知识点02 自变量与因变量 如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量． 知识点03 用表格表示的变量间关系 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法． 观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。 知识点04 用关系式表示变量之间的关系 表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 知识点05 用图象表示变量之间的关系 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 知识点06 从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 考点一：常量、自变量、因变量 例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、路程 B．速度、时间 C．路程、时间 D．速度、路程与时间 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】此题主要考查了自变量和因变量．在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断． 【详解】解：由题意得：，路程随时间的变化而变化，则行驶时间t是自变量，行驶路程s是因变量； 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【答案】B 【知识点】函数的概念、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：A、是自变量，故A选项错误，不符合题意； B、是常量，故B选项正确，符合题意； C、是因变量，故C选项错误，不符合题意； D、是常量，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量即可求解． 【详解】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量． 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【答案】C 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了变量，常量， 根据半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变，即可得出答案． 【详解】解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变， 所以R,C是变量，2，是常量． 故选：C． 【变式1-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）在冬天，人们会选择较厚的冰层进行冰钓，这是因为冰层越厚，所能承受的压力就越大，则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 冰层厚度 冰层所能承受的压力 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】根据函数的关系，确定自变量和因变量即可，本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】根据题意，得冰层厚度是自变量；其所能承受的压力是因变量， 故答案为：冰层厚度，所能承受的压力． 考点二：用表格表示的变量间关系 例2. （23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、函数的三种表示方法 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式2-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【答案】(1)自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 (2)表格见解析 (3)小时 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、函数解析式 【分析】本题考查函数关系式， （1）根据自变量和因变量即可解答； （2）根据“游泳池的存水换水前存水放水速度×放水时间”即可解答； （3）根据“（换水前存水游泳池的存水）放水速度放水时间”即可解答； 理解题意，找准等量关系式是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； （2）当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 表格如下： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 （3）（小时）， ∴当放水时间为小时时，游泳池的存水量为立方米． 【变式2-3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量 y(件)之间的关系如下表： 降价金额x/元 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 155 160 165 170 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)可以估计降价前的日销量是 件． (3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件． 【答案】(1)自变量是该商品降价金额（元），因变量是日销量（件）． (2)150 (3)200件 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【详解】（1）解：上表中的自变量是该商品降价金额（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：估计降价前的日销量是（件）， 故答案为：150； （3）该商品的日销量为（件）． 考点三：用关系式表示变量之间的关系 例3．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 【变式3-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 【知识点】列代数式、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查代数式： （1）根据常量和变量的定义即可求得答案； （2）根据表格数据可知，每分钟放水立方米； （3）根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：常量：每分钟的放水量． 变量：放水时间，水池中剩余水量． （2）∵表格数据可知，每分钟放水立方米，且原本有50立方米的水， ∴． （3）根据题意，得 ． 解得 ． 答：当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【答案】(1)剩下的圆环面积 (2) (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义： （1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积； （2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案； （3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小， ∴因变量是剩下的圆环面积； 故答案为：剩下的圆环面积； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）把代入中得：， ∴剩下的圆环面积为． 【变式3-3】（23-24七年级下·山东济南·期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计)    素材2 对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分的长度x(cm) 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度y(cm) 75 74 73 72 … 0 根据上述的素材，解决以下问题： (1)根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为 (2)请写出双层部分的长度与单层部分长度之间的关系式 ； (3)根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了表格表示函数关系式，一元一次方程的应用； （1）由表格可知，单层部分的长度，双层部分的长度就减少，进而得出答案； （2）由表格可知，单层部分的长度，双层部分的长度就减少，进而得出答案； （3）由已知可得，再将代入，列出关于的方程式，即可得出答案． 【详解】（1）由表格可知，单层部分的长度，双层部分的长度就减少， 则空白处的数据为， 故答案为：． （2）． 故答案为：． （3）， ， 解得：， 答：此时单层部分的长度． 考点四：用图象表示变量之间的关系 例4.（23-24六年级下·山东烟台·期末）某双休日，姊妹俩在社区公园里面荡秋千（如图①），若秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图②所示，结合图象： (1)在变量中，指出其中的自变量、因变量，求出h最大值和最小值相差多少m； (2)当时，根据图像写出h的值，除此之外，并指出与之高度相同的次数； (3)请写出秋千摆动第一个来回的时间． 【答案】(1)变量，中，自变量是，因变量是，最大值和最小值相差 (2)当时，的值是，除此之外，还有7次与之高度相同 (3)秋千摆动第一个来回． 【知识点】用图象表示变量间的关系、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象和函数的定义可以解答本题； （2）根据函数图象可以解答本题； （3）根据函数图象中的数据可以解答本题． 【详解】（1）由图象可知：变量，中，自变量是，因变量是，最大值和最小值相差． （2）由图象可知：当时，的值是，除此之外，还有7次与之高度相同； （3）由图象可知：秋千摆动第一个来回． 【变式4-1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)货车在乙地卸货停留了多长时间？ 【答案】(1)时间是自变量，货车距乙地的距离是因变量 (2)1小时 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了自变量与因变量、从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据自变量和因变量的概念并结合题意即可得出答案； （2）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：时间x是自变量，货车距乙地的距离y是因变量． （2）解：由图象可得：（小时）， 答：货车在乙地卸货停留了1小时． 【变式4-2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)离家时间，离家距离 (2)2000，20 (3)5 (4)小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系、函数的概念 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）所给图象中横轴为自变量，纵轴为因变量； （2）根据图象中的数据可直接得出答案； （3）根据图象中的数据可直接得出答案； （4）根据速度等于路程除以时间求解． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）解：由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米；小明共用了20分钟； （3）解：由图象可得：从第10分钟开始到15分钟在修车，故小明修车用了5分钟， （4）解：由图象可得，小明修车前的速度为：（米/分钟）； 小明修车后的速度为：（米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】(1)1.5 (2)60，80，110 (3)270 (4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； （3）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； （4）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 考点五：从图象中获取信息 例5. （23-24七年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 【答案】(1)小明的游览时间，小明步行的路程 (2)4 (3)0.35 (4)小明游览时间为时，步行的路程为 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键． （1）由题意直接得到； （2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解； （3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解； （4）根据其横纵坐标说明即可． 【详解】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程． 故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程； （2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：， 时间为： ∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 故答案为：4； （3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：， ∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：， ∴在景点好汉坡处逗留的时间是， 故答案为：0.35； （4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为． 故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为． 【变式5-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象．根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)图中点表示的意义题什么？ (3)在范围内，当温度为多少时，水的密度为？ (4)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ 【答案】(1)温度，水的密度 (2)当4℃时，水的密度为 (3)当温度为时，水的密度为 (4)当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了从函数图象获取信息的能力； （1）根据自变量和因变量的定义可得答案； （2）根据横、纵坐标表示的意义可得答案； （3）根据图象，找出纵坐标为时对应的t的值即可； （4）根据图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是温度，因变量是水的密度， 故答案为：温度，水的密度； （2）图中点表示当4时，水的密度为； （3）由图可得，当温度为时，水的密度为； （4）由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量 (2)； (3)当点在上运动时；当点在上运动时 【知识点】用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 【变式5-3】（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【知识点】用图象表示变量间的关系、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查变量与常量，根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量， 故选：D． 2．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量等于原蓄水量加注水量得出函数关系式即可，理解题意、明白等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水， ∴蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格获得有效信息是解题的关键． 通过分析表格数据，理解变量之间的关系以及随着自变量的变化因变量的变化趋势，即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，故选项错误； B．h每增加，减小的值不一定，故选项错误； C．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故选项错误； D. 随着h逐渐升高，小车下滑的时间逐渐变小，小车下滑的平均速度逐渐加快，故选项正确； 故选：． 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态， 因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意； 内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意； 小王派送快递的平均速度是， 小王派送快递的平均速度是， 因为， 所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意； 点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意； 故选D． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 二、填空题 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）一个长方形的周长为，其中它的长为自变量，宽为因变量，则与之间的关系式为 ． 【答案】/ 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查列关系式，根据长方形的周长为14列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可． 【详解】解：∵长方形的周长为，长为，宽为， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据总容量蓄水量单位时间内的注水量注入时间就可以表示出与之间的关系式，再根据水池的容积是求出自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 水池的容积是， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·广东清远·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 【答案】 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以． 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 kg． 【答案】24 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格中的数字规律，得到与的函数关系，将代入即可得到答案， 本题考查函数的表示方法，得到函数关系式是解题的关系． 【详解】解：由表中数据可以看出，对于每组数据，均有，将其整理得：与的函数关系为． 当时，， 故答案为：24． 10．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【知识点】用图象表示变量间的关系、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【详解】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 高度（） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度． 【答案】(1)碗的数量是自变量，高度是因变量 (2) 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了利用表格、关系式表示变量之间的关系．理解题意是解决问题的关键． （1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断； （2）求出每只碗增加的高度可得，代入求值即可． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的高度随着碗的数量变化而变化，则碗的数量是自变量，高度是因变量； （2）由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ， ； 当时， 这摞碗的高度为． 12．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】函数的概念、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 13．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位数按下列规律设置： 排数 1 2 3 4 5 6 … 座位数 60 64 68 72 76 ______ … (1)请将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，请说明座位数是随排数的增长而怎样变化的？ (3)当排数是7时，该排的座位数是多少？ 【答案】(1)80 (2)座位数随排数的增长而增长 (3)84 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，找到数据的变化规律是解题的关键． （1）由表格可知，当排数每增加1排时，座位数就会增加4，据此作答即可； （2）根据表格中的数据，可得出座位数是随排数的增长的变化情况； （3）根据表格中的规律，计算出当排数是7时，该排的座位数． 【详解】（1）由表格可知，当排数每增加1排时，座位数就会增加4， 当排数为6排时，座位数为80． 故答案为：80； （2）根据表格中的数据，可得出座位数随排数的增长而增长． （3）， 答：当排数是7时，该排的座位数是84． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知的边的长为．高的长为cm． (1)求的面积(单位：)与x之间的关系式； (2)写出关系式中的自变量与因变量； (3)当时，求的面积为多少? 【答案】(1) (2)是自变量，是因变量 (3)的面积为 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系、求自变量的取值范围 【分析】本题考查用函数表示变量间的关系，自变量与因变量的定义． （1）根据三角形面积公式即可求解； （2）根据自变量和因变量的定义即可求解； （3）直接代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵的边的长为．高的长为cm，的面积为， ∴； （2）是自变量，是因变量 （3）当时，， ∴当时，求的面积为． 15．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）周末聪聪和家人一起驾车从家出发去博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)聪聪家距离博物馆多少千米？博物馆距离姑妈家多少千米？ 【答案】(1)离开家的时间，离开家的距离 (2)15千米，25千米， 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的图象，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离． （2）由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米， 博物馆到姑妈家的距离是：（千米）． 16．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）随着科学技术的不断发展，电动汽车成为人们日常出行的重要交通工具，电动汽车的电池容量与续航里程成为人们最为关心的问题．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（度）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程（千米） 0 10 20 40 … 剩余电量（度） 80 78 76 72 … (1)表中自变量是________，因变量是__________． (2)该型号电动汽车的电池容量为______度； (3)请根据表中直接写出该电动汽车剩余电量（度）与行驶里程（千米）之间的关系式； (4)求剩余电量为时电动汽车的行驶里程． 【答案】(1)行驶里程（千米）；剩余电量（度） (2)80 (3) (4)300千米 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义，由表格写函数关系式，根据表格找到两个量之间的关系是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）根据表格计算出行驶1公里，消耗电量为0.2度，可得出函数关系； （4）令时，求x的值即可． 【详解】（1）解：表中自变量是行驶里程（千米），因变量是剩余电量（度）； （2）解：该型号电动汽车的电池容量为80度； （3）解：由表格可知，行驶10公里，则消耗电量为（度）， 则行驶1公里，消耗电量为：（度） ∴该电动汽车剩余电量（度）与行驶里程（千米）之间的关系式为：； （4）解：当时，代入得， 解得：， 答：剩余电量为时，电动汽车的行驶里程为300千米． 17．（23-24七年级下·河北保定·期末）【综合与实践】某学校在操场上举办“绑腿跑”比赛，要求每队若干名队员并列立于起跑线后，每相邻的两名队员把腿绑在一起，队员通过协调配合在跑道上共同行进．赛前某班队员在长方形比赛场地中(如图2所示)进行适应性训练，把这组“绑腿跑”队员表示为图中线段．线段可匀速向右或向左平行移动，该组“绑腿跑”队员从长方形内平行于边的某地出发向右匀速奔跑4s之后到达终点边，停留后又向左返回，匀速平行奔跑直至与边重合． 【问题分析】 （1）图3反映队员奔跑时与边的距离(即线段的长度)随时间变化而变化的情况． ①这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； ②当这组队员开始出发时，到边的距离是 m； ③当时，求该“绑腿跑”队员向右运动的速度？ 【实践探索】 （2）图4反映了队员在奔跑过程中形成长方形的面积． 随时间变化的情况， ①长方形中边的长为 m； ②当时，请写出S与y之间的关系式． 【答案】（1）①时间（或），到边的距离（或）； ②10； ③（2）①14 ；② 【知识点】从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查从图像中获取信息解决实际问题，读懂题意，看懂图像，通过问题，找准需要的相关信息是解决问题的关键． （1）①由题意及图像，获取信息填空即可得到答案； ②由图像1可知，当时，，即当这组队员开始出发时，到边的距离是； ③由图像1可知，当时，该“绑腿跑”队员向右运动的速度为 （2）①图像2可知，当时，，则由长方形面积公式得到长方形中边的长为 ②用关系式表示出变量之间的关系即可. 【详解】解：（1）①由图可知，自变量是时间（），因变量是到边的距离（）； ②由图像1可知，当时，，即当这组队员开始出发时，到边的距离是； ③由图像1可知，当时，该“绑腿跑”队员向右运动的速度为； 故答案为：时间（或），到边的距离（或）；10；； （2）①由（1）②可知，当时，，即当这组队员开始出发时，到边的距离是； 由图像2可知，当时，，则由长方形面积公式得到长方形中边的长为； 故答案为：14 ②由题意可知，当时， 与之间的关系式为. 18．（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【答案】(1)时间，记忆保持量 (2)① (3)记忆9小时后记忆保持量约为 (4)见解析 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了图象表示变量之间的关系． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）结合图象可知，内曲线下降的最快，即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； （2）由图象可知，在学习后内遗忘的速度最快． 故答案为：①． （3）结合图象可知，图中点表示的意义是：记忆9小时后记忆保持量约为； 故答案为：记忆9小时后记忆保持量约为； （4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$