专题08 空间向量及其应用综合检测巩固卷-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量及其应用综合检测巩固卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【答案】C 【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 2．四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， 因为E为棱BC的中点， 所以, 故选：C 3．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 4．已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 5．下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】C 【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断. 【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 所以，所以， 设为的中点，所以，所以， 所以点在平面内，且为的重心，所以B正确， 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，所以C错误， 对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面， 则存在不全为0的实数，，使，所以D正确， 故选：C. 6．正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量法求得异面直线所成角的正弦值，在正方体中截取正四面体，根据坐标得到向量，即可求解. 【详解】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示： ，， 所以， 则， 因为， 所以，则，， 根据， 则， 所以异面直线PQ与BD所成角的正弦值为. 故选：D. 7．如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【答案】D 【分析】利用线面平行判定定理证明即可判断A正确，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由法向量的关系可证明得出B正确，易知当点为的中点时，使得平面，可得C正确，由空间向量证明可得，可得D错误, 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由中位线性质可得，显然，所以, 即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面， 易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，可得， 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令，可得； 所以 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，可得，； 所以， 显然，即，所以平面平面，即B正确； 对于C，取的中点为，连接，如下图所示： 当为的中点时，可得，且， 又且，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 又平面，平面，即平面； 所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确； 对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示： 可得，即， 设，则； 此时，即不成立； 所以不存在点，使得，即D错误. 故选：D 8．在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以， 故选B.      【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 【答案】ABD 【分析】由平面向量的数量积计算求解即可判断选项A；空间向量的基底不共面即可判断选项B；由向量共面与直线共面的关系即可判断选项C；由直线异面与直线的方向向量的关系即可判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以， ，所以，故A正确； 对于B，若是空间向量的一组基底，则线性无关，故也线性无关，故可以构成空间向量的另一组基底，故B正确； 对于C，向量共面是指向量所在的直线可以平行于同一个平面，而直线共面是指直线都在同一平面上，则前者无法推出后者，故C错误； 对于D，直线异面意味着方向向量不平行，但方向向量不平行不一定意味着直线异面，它们可能相交，故D正确； 故选：ABD. 10．在平行六面体中，，,下列结论正确的是（    ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D． 【答案】ABD 【分析】设，，，将用基底表示并两边平方结合向量数量积即可求得，可判断A；将分别用基底表示，并由向量数量积计算根据结果可判断B；用基底表示，并判断其是否共面即可判断C；将与分别用基底表示即可判断D. 【详解】设，，，则为空间的一个基底， 因为，， 所以，， 对于A，，得，故A正确； 对于B，，， ，可得，故B正确； 对于C，，，， 则，所以共面，不能作为空间的一个基底，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（   ） A．不存在点E，使平面 B．存在点E，使平面 C．若点E为中点，则点C到平面的距离为 D．二面角夹角最大时， 【答案】BC 【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面， 故平面，A错误， 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，， 由于，故， 设，则， 则， 要使平面，则， 解得，故存在点，当时，，结合， 平面，故平面，B正确， 对于C， 点为中点，此时， 设平面的一个法向量为， 故，， ，令，则， 则点到平面的距离为，故C正确， 对于D，设平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 故，， ，令，则， 设平面的一个法向量为， 故 ，令，则， ， 显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误， 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在三棱锥中，，，，则 . 【答案】/ 【分析】结合图形，将向量分解转化，利用题设条件和向量数量积的定义即可求得. 【详解】 如图，因，，， 则 故答案为：. 13．已知，与的夹角为，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量模的坐标表示求出，进而结合空间向量的数量积及运算律求解即可. 【详解】由，得， 所以， 则， ， ， 所以. 故答案为：. 14．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．若直线l上存在点，使直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，则的长为 ．    【答案】1 【分析】先根据圆的性质及面面垂直的性质得到平面，结合题意可得平面AEF，再结合线面平行的性质可得，建立空间直角坐标系，结合空间向量列方程求解即可. 【详解】由题意，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点， 所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又E，F分别是PC，PB的中点， 所以， 又平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF， 又平面ABC，且平面与平面， 所以. 如图，以为原点，以为轴，以为轴，以过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设，平面AEF的一个法向量为， 则， 取，则， 又， 所以， ， 由题意，， 即，解得， 所以当时，直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余， 即. 故答案为：1.    【点睛】关键点睛：本题关键在于先得到平面和，以便于后面建立空间直角坐标系，进而利用空间向量列方程求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 【答案】(1)7； (2)19或13. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【详解】（1）向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. （2）由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，，所以值是19或13. 16．（15分） 如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【详解】（1）； （2）， 则； （3） ， 所以 ，所以，即. 17．（15分） 如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图建系，求出相关点的坐标，由，推得，，即可由线线垂直推出平面； （2）设的长为求出平面的法向量为，由平面可得即可求得. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，               由题设可得：，，，， ，，， ∴，，,            由， ， 可得，，                  又∵，平面MNC，∴平面； （2）设的长为则，点，进而得，          设平面的法向量为，因， 则，取得，          ∵，且平面， ∴，即 ，     解得，即的长为． 18．（17分） 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，由此能证明; （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法平面与平面所成角的余弦值; （3）直接利用空间中点到线的距离公式求解. 【详解】（1）证明：因为，故， 又平面，平面，可得， 又平面，所以平面, 又平面，故． （2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,，,,， ,,, 设平面的法向量为 则，取，得， 设平面的法向量为,,，则， 取，得, 设平面与平面的夹角为，， 故平面与平面所成角的余弦值为. （3）由（2） 则点到直线的距离. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用中位线的性质证得，再利用线面垂直证得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； （3）利用向量法结合空间向量的线性运算表示出线面角，求出的系数不符合题意，即可得到结论. 【详解】（1）连接与交于点，连接， 底面为菱形，点为的中点， 点为的中点， 又平面，平面， 又平面，平面平面. （2）平面，且底面为菱形，两两垂直. 以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 底面为菱形，且，则为等边三角形， ，， 分别为的中点，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则， 底面为菱形，， 平面平面，且平面平面平面， 平面， 为平面的一个法向量， 设二面角大小为， 则． 所以二面角的大小为； （3）不存在，理由如下： 因为点在线段上，设， 由可得， 则，则，则， 由题意，若直线与平面所成夹角为， 则， 整理得，解出 又因为，所以不符合题意，故线段上不存在这样的点． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量及其应用综合检测巩固卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 2．四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 4．已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 5．下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 6．正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 8．在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（   ） A． B． C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 10．在平行六面体中，，,下列结论正确的是（    ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D． 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（   ） A．不存在点E，使平面 B．存在点E，使平面 C．若点E为中点，则点C到平面的距离为 D．二面角夹角最大时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在三棱锥中，，，，则 . 13．已知，与的夹角为，则与夹角的余弦值为 ． 14．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．若直线l上存在点，使直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，则的长为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 16．（15分） 如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 17．（15分） 如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 18．（17分） 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求点到直线的距离. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$